ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса.

Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту:

$$V=\frac 13Sh=\frac{Sh}{3}.$$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} p=5d+8,\\[7pt] 5d=p-8,\\[6pt] d=\frac 15(p-8). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з однією змінною, використовувати методи розв'язування раціональних рівнянь.

Якщо рівняння має вигляд добутку множників, що дорівнює нулю, то принаймні один з множників повинен дорівнювати нулю.

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x+1=0,\\ 2x-3=0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-1,\\ 2x=3, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-1,\\ x=1\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання кола та його елементів.

\begin{gather*} OA=12\ \textit{см},\\[7pt] O_1A=8\ \textit{см},\\[7pt] OO_1=OA-O_1A=12-8=4\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вмінняя виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання означення степеня з цілим показником та її властивостей.

$$ 0\mathord{,}8b^9:(8b^3)=0\mathord{,}1b^{9-3}=0\mathord{,}1b^6. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи нерівностей, що містять логарифмічні та тригонометричні вирази, розв'язувати нерівності та системи з параметрами.

1. \(\mathbf{\pi}^2-x^2\ge 0\),

\(x^2-\mathbf{\pi}^2\le 0\),

\(x\in [-\mathbf{\pi}; \mathbf{\pi}].\)

2. \(\log_3a(2\sin^2x-(2a-1)\sin x-a)\ge 0\),

\(\log_3a(\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\ge 0.\)

Розглянемо випадки:

I. \(a=1\), тоді \(\log_3a=0\) і нерівність набуває вигляду \(0\cdot (\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\ge 0\), тобто \(0\ge 0.\) Її розв'язками є множина \(x\in (-\infty; +\infty).\)

II. \(a\in (0; 1)\), тоді \(\log_3a\lt 0.\) Одержуємо:

\((\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\le 0\),

\(-0\mathord{,}5\le \sin x\le a\),

\(x\in\left[-\frac{\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k; \mathrm{arcsin}\ a+2\mathbf{\pi}k\right]\cup \left[\mathbf{\pi}-\mathrm{arcsin}\ a+2\mathbf{\pi}k; \frac{7\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k\right].\)

III. \(a\in (1; +\infty)\), тоді \(\log_3a\gt 0.\)

Розв'язуємо нерівність \((\sin x+0\mathord{,}5)(\sin x-a)\ge 0.\)

Перша система розв'язків не має, друга система еквівалентна нерівності \(\sin x\le -0\mathord{,}5\), звідки
\(x\in \left[-\frac{5\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k;\ -\frac{\mathbf{\pi}}{6}+2\mathbf{\pi}k\right].\)

3. Множиною розв'язків заданої системи для кожного значення \(a\) є всі ті значення \(x\), які одночасно належать множинам розв'язків і першої, і другої нерівностей системи для цього значення \(a.\)

Відповідь:  \(a=1\), тоді \(x\in [-\mathbf{\pi}; \mathbf{\pi}].\)
                   \(a\in (0; 1)\), тоді \(x\in \left[-\mathbf{\pi}; -\frac{5\mathbf{\pi}}{6}\right]\cup \left[-\frac{\mathbf{\pi}}{6}; \arcsin\ a\right]\cup [\mathbf{\pi}-\arcsin\ a; \mathbf{\pi}].\)
                   \(a\in (1; +\infty)\), тоді \(x\in \left[-\frac{5\mathbf{\pi}}{6}; -\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right].\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі, перерізи тіл обертання площиною, затосовувати властивості тіл та поверхонь обертання до розв'язування стереометричних задач.

1. Перерізом кулі площиною \(\mathbf{\beta}\), що проходить через точку \(A\), є круг, якому належить точка \(A\) (див. рисунок). \(O_1\) – центр цього круга, \(OO_1\ \perp\ \mathbf{\beta}\), отже, \(OO_1=d.\)

2. \(OA\) – радіус кулі, проведений в точку \(A\), \(O_1A\) – проекція \(OA\) на площину \(\mathbf{\beta}\), отже, \(\angle OAO_1=\mathbf{\alpha}.\)

3. \(O_1A=d\operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}\), \(S_\text{перерізу}=\mathbf{\pi}(O_1A)^2=\mathbf{\pi}d^2\operatorname{ctg}^2\ \mathbf{\alpha}.\)

Відповідь: 3. \(\mathbf{\pi}d^2\operatorname{ctg}^2\ \mathbf{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Степеневі функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, знаходити похідні елементарних функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці, складати рівняння дотичної до графіка функції в точці.

1. Графік функції \(f\) зобразимо на рисунку.

2. Координати точки \((x_0; y_0)\) перетину графіка функції \(f\) з прямою \(y=3\) є розв'язком системи

Одержуємо \(\sqrt{x}+2=3\), \(\sqrt{x}=1\), \(x_0=1\), \(y_0=3.\)

3. \(f'(x)=(\sqrt{x}+2)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=0\mathord{,}5.\)

4. Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції \(f\) у точці з абсцисою \(x_0\), має вигляд \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).\) Ураховуємо, що \(x_0=1\), \(f(x_0)=y_0=3\), \(f'(x_0)=f'(1)=0\mathord{,}5.\) Одержуємо: \(y=0\mathord{,}5(x-1)+3\), \(y=0\mathord{,}5x+2\mathord{,}5\) – шукане рівняння дотичної.

Відповідь: 3. \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=0\mathord{,}5.\)
                   4. \(y=0\mathord{,}5x+2\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Планіметрія. Координати і вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток, координати вектора.

Коло із центром в точці \(O\) задано рівнянням \(x^2+y^2=80.\)

\(M(x_0; y_0)\) лежить на колі, тому \(x_0^2+y_0^2=80.\)

\(O(0; 0)\), \(M(x_0; y_0)\) отже, \(\overline{OM}(x_0; y_0).\)

За умовою \(\overline{a}\ \perp\ \overline{OM}\), тому \(\overline{a}\cdot \overline{OM}=0\), \(\overline{a}(-2; 1)\), \(-2x_0+1\cdot y_0=0.\)

Складемо систему рівнянь:

За умовою \(x_0\lt 0\), а отже, \(x_0=-4.\)

Відповідь: \(-4.\)