Визначте кут між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}+\vec{c}\) у градусах, якщо відомо, що \(\vec{a}(2;2)\), \(\vec{b}(2;4)\) і \(\vec{c}(-2;-6)\).

Використовуючи графік рівняння \(|y|=1-|x-12|\) (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра \(a\), при яких система

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |x-12|+|y|=1,\\ (x-a)^2+y^2=4 \end{array}\right. \end{gather*}

має єдиний розв'язок. У відповідь запишіть їхню суму.

У коробці є \(80\) цукерок, з яких \(44\) – з чорного шоколаду, а решта – з білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.

Маємо два водно-сольових розчини. Концентрація солі в першому розчині становить \(0{,}25\), а в другому – \(0{,}4\). На скільки більше треба взяти кілограмів одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою \(50\) кілограмів, концентрація солі в якому – \(0{,}34\).

Розв’яжіть рівняння \(x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0\). Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.

Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої \(b_n=5\cdot3^{-n}\).

Обчисліть \(2\sqrt{13}\cos(\operatorname{arctg}\dfrac{2}{3})\).

У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.

На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких – \(3\) см і \(6\) см. Визначте об’єм цього тіла.