ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту; уміння застосовувати теорему Піфагора до розв'язування прямокутного трикутника, властивості прямокутника.

Розглянемо випадок, коли вантажівка дотикається аркового проїзду. При цьому \(ON=OC=2\) м (радіус аркового проїзду).

Оскільки \(MN=2\mathord{,}4\) м, а \(MF=FN=1\mathord{,}2\) м. \(FN=OE=1\mathord{,}2\) м. Значення \(NE\) знайдемо за теоремою Піфагора з \(\Delta NEO\ (\angle E=90^\circ).\)

Висота \(h\) вантажівки складається з суми

При значенні \(3\mathord{,}6\) м вантажівка дотикається арки, тому максимально можливе значення – \(3\mathord{,}5\) м.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє знання властивостей модуля дійсного числа.

За властивістю модуля:

\(a-2\lt 0\) при \(a\lt 2\), тому розкривши модуль, отримаємо

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв'язування рівнянь, нерівностей та систем.

\(x^2+64\gt 0\) при будь-яких значеннях \(x\), тому, щоб добуток \((x^2+64)(x-5)\) був більше нуля, необхідно, щоб другий множник \((x-5)\) був більшим за нуль.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості піраміди до розв’язування стереометричних задач, знаходити відстані в просторі, використовувати пряму та обернену теореми про три перпендикуляри.

Піраміда – правильна, тому основа – квадрат, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей).

\(P_{ABCD}=4AB=72\) см, \(AB=18\) см.

\(SK\ \perp\ CD\) – апофема, \(SK=15\) см. \(\Delta SDC\) – рівнобедрений, тому \(SK\) – висота та медіана.

\(DK=KC\), \(AD=DC\), \(AO=OC\) звідси випливає \(OK=\frac 12AD=9\) см.

\(\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і почати аналізу. Функції. Логарифмічна функція. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифмічної функції, уміння користуватися графічним методом розв’язування і дослідження нерівностей.

Точка перетину графіків функцій \(y=\log_2x\) та \(y=b\) буде точка з координатами \((2^b; b).\)

Розв’язуючи графічно нерівність \(\log_2x\lt b\), знаходимо частину графіка \(y=\log_2x\), яка знаходиться нижче прямої \(y=b\) та значення \(x\), яке відповідає даній частині графіка. Це \(x\in (0; 2^b).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення. Функції. Основні властивості логарифмічної функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмічної функції.

Функція \(y=\log_2x\) зростаюча, тому

Тому \(x\in (3; 4).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

З означення арифметичної прогресії \(a_{n+1}=a_n+d.\) Так як \(a_5=a_4+3\), то \(d=3.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії $$ a_n=a_1+(n-1)d, $$ знаходимо:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання основних тригонометричних тотожностей та вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Паралельність і перпендикулярність прямої і площини. Паралельність площин.

Це завдання перевіряє знання можливого взаємного розташування прямих та площин у просторі.

I. Твердження є правильним, достатньо щоб пряма \(a\) була перпендикулярна до кожної з двох прямих \(c\) та \(b.\)

II. Твердження є правильним, через точку \(A\) можна провести безліч перпендикулярних площин до площини \(\mathbf{\alpha}.\) Достатньо, щоб побудована перпендикулярна площина проходила через пряму \(a\) з п. I.

III. Твердження є неправильним. Згідно з аксіомою стереометрії: якщо дві площини мають спільну точку, то вони або збігаються, або перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Тобто якщо провести через точку \(A\) паралельну площину \(\mathbf{\beta}\) – то вона збігатиметься з площиною \(\mathbf{\alpha}.\)

Відповідь: Г.