ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та вміння знаходити відсоток від числа.

Нехай \(x\) – кількість музичних дисків в магазині. Тоді \(5x\) – кількість дисків із науково–популярними фільмами, а \(10x\) – кількість дисків із художніми фільмами в магазині. За умовою, загальна кількість дисків дорівнює \(192\), отже \(x + 5x + 10x = 192\), звідки \(x = 12.\)

1. Позначимо загальну кількість дисків у магазині \((192)\) за \(100\text{%}\), а кількість музичних дисків \((12)\) за \(y\text{%}.\) Тоді $$ \frac{192}{12} = \frac{100}{y}, $$ звідки \(y = 6{,}25\text{%}.\)

2. Кількість дисків із науково–популярними фільмами дорівнює \(5x\), тобто \(5 \cdot 12 = 60.\)

Зауваження. Першу частину цієї задачі можна розв’язувати без знаходження кількості музичних дисків у магазині. Після введення змінної \(x\) складаємо пропорцію:

Тоді $$ y=\frac{100x}{16x}=6{,}25\text{%}. $$

Відповідь: 1. \(6{,}25.\)
                   2. \(60.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь та на площину, формули координат вектора та середини відрізка.

Розглянемо початки речень (1–4) та знайдемо координати точок, для яких отримані твердження є правильними.

1. Знаходимо координати \((x_{0}; y_{0}; z_{0})\) середини відрізка \(AB\):

Отже, 1 – А.

2. Знаходимо координати вектора \(\overrightarrow{AB}(x_{0}; y_{0}; z_{0})\):

Отже, 2 – Г.

3. Проєкцію точки \(B(-4; 2; 6)\) на площину \(xz\) є точка, ордината якої дорівнює \(0\), а абсциса й апліката збігаються з абсцисою та аплікатою точки \(B.\) Отже, 3 – В. Зазначимо, що лише точка у варіанті В належить площині \(xz.\)

4. Проєкцією точки \(B(-4; 2; 6)\) на вісь \(y\) є точка, у якої абсциса та апліката дорівнюють \(0\), а ордината збігається з ординатою точки \(B.\) Отже, 4 – Б. Завуважимо, що лише точка у варіанті Б належить осі \(y.\)

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – В, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Площа круга та його частин.

Це завдання перевіряє знання формул площі круга і сектора.

Обчислимо площі геометричних фігур (1 – 4).

1. Площу круга радіуса \(4\) см, зображеного на рисунку 1, обчислюємо за формулою \begin{gather*} S =\pi R^{2},\\[7pt] S = \pi\cdot 4^{2} = 16\pi\ \text{см}^{2}. \end{gather*} Отже, 1 – Б.

2. Площу півкруга радіуса \(6\) см, зображеного на рисунку 2, обчислюємо за формулою \begin{gather*} S = \frac{\pi R^{2}}{2} = \frac{\pi\cdot 6^{2}}{2} = 18\pi\ \text{см}^{2}. \end{gather*} Отже, 2 – В.

3. Площу сектора радіуса \(12\) см, зображеного на рисунку 3, обчислюємо за формулою \begin{gather*} S = \frac{R^{2}\alpha}{2}, \end{gather*} де \(\alpha\) – центральний кут сектора, $$ \alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6}. $$ Тоді $$ S = \frac{12^{2}\pi}{12} = 12\pi\ \text{см}^{2}. $$ Отже, 3 – А.

4. Площу кільця, обмеженого колами радіусів \(r = 4\) см і \(R = 6\) см, зображеного на рисунку 4, обчислюємо за формулою $$ S = \pi R^{2} - \pi r^{2} = \pi (R^{2} - r^{2}), $$ де \(R\) і \(r\) – відповідно радіуси більшого та меншого кіл. Тоді $$ S = \pi (6^{2} - 4^{2}) = 20\pi\ \text{см}^{2}. $$ Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії з ними.

Це завдання перевіряє знання означень оберненого дробу до даного, неправильного дробу, скороченого дробу.

Розглянемо кожен із дробів (А – Д).

А. Дріб \(\frac{5}{7}\) є оберненим до дробу \(\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}\), оскільки \(\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = 1.\) Отже, 4 – А.

Б. Дріб \(\frac{13}{27}\) менший за \(0{,}5\), оскільки \(\frac{13}{27} = \frac{26}{54} \lt \frac{27}{54}=\frac{1}{2}.\) Отже, 3 – Б.

В. Дріб \(\frac{41}{10}\) більший за \(1\), тому цей дріб є неправильним. Отже, 2 – В.

Г. Дріб \(\frac{7}{10}\) не задовольняє жодне з тверджень (1–4).

Д. Чисельник і знаменник дробу \(\frac{34}{51}\) діляться на \(17\), тому цей дріб скоротний. Отже, 1 – Д.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки функцій.

Це завдання перевіряє знання розташування графіків основних елементарних функцій та вміння виконувати геометричні перетворення графіків.

Побудуємо схематично графіки заданих функцій.

1. Графік функції \(y=-x^{2}-1\) отримаємо з графіка функції \(y=x^{2}\) віддзеркаленням відносно осі \(x\), після чого графік опускаємо на \(1\) одиницю вниз. Графік функції \(y=-x^{2}-1\) розташований у III та IV четвертях. Отже, 1 – Б.

2. Графік функції \(y=x+1\) розташований у I, II та III четвертях. Отже, 2 – В.

3. Графік функції \(y=-\frac{1}{x}\) отриманий з графіка функції \(y=\frac{1}{x}\) віддзеркаленням відносно осі \(x\) (осі \(y.\)) Графік функції \(y=-\frac{1}{x}\) розташований у II та IV чвертях. Отже, 3 – А.

4. Графік функції \(y=\cos x\) розташований у I, II, III та IV четвертях. Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності методом інтервалів.

Розв’яжемо нерівність «методом інтервалів». Для цього визначимо нулі функції $$ y = \frac{(x - 6)(x + 2)^{2}}{x - 3} $$ та точки, де функція не існує. Прирівняємо \(y\) до нуля:

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Тоді \begin{gather*} (x - 6)(x + 2)^{2} = 0,\\[7pt] x - 3 \ne 0. \end{gather*} Тоді \begin{gather*} x = 6,\\[7pt] x = -2,\\[7pt] x \ne 3. \end{gather*} Нанесемо точки на числову вісь \(x.\)

Визначимо знаки виразу $$ \frac{(x - 6)(x + 2)^{2}}{x - 3} $$ на кожному з отриманих проміжків (див. рисунок).

Отже, \(\{-2\} \cup (3; 6]\) – множина розв’язків заданої нерівності.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Геометричний зміст похідної.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Якщо пряма \(y = kx + b\) є дотичною, проведеною до графіка функції \(y = f(x)\) у точці з абсцисою \(x_{0} = 2\), то, згідно з геометричним змістом похідної, \(f'(x_{0}) = k.\) Оскільки \(f'(2) = -3\), то кутовий коефіцієнт \(k\) дотичної дорівнює \(-3.\) Визначимо кутові коефіцієнти всіх наданих дотичних. \begin{gather*} \text{А:}\ k = -\frac{3}{2},\\[6pt] \text{Б:}\ k = 3,\\[7pt] \text{В:}\ k = 2,\\[6pt] \text{Г:}\ k = \frac{3}{2},\\[6pt] \text{Д:}\ k = -3. \end{gather*} Серед наведених прямих лише варіант Д задовольняє цю умову.

Слід зауважити, що для розв’язання цього завдання не потрібно знаходити рівняння дотичної, проведеної до графіка функції.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння оцінювати значення логарифмічного виразу.

Оцінимо значення заданого логарифмічного виразу: $$ 0 = \log_{5} 1 \lt \log_{5} 4 \lt \log_{5} 5 =1. $$ Отже, значення виразу \(\log_{5} 4\) належить проміжку \((0; 1).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра.

Площу бічної поверхні циліндра, отриманого після згортання листа заліза, обчислюємо за формулою \(S_\text{бічн} = 2\pi Rh.\) У нашому випадку діаметр \(d = 2R = 20\) см, висота циліндра дорівнює довжині відрізка \(AB\), тому \(h = 50\) см. Підставивши ці значення у формулу, маємо

Відповідь: Б.