Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1275

Завдання 1276 з 2199

Обчисліть значення виразу $\sqrt{9a^2-24a+16}-\sqrt[3]{27a^3}$ за $a=0,7$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1277 з 2199

Розв'яжіть рівняння $x^4-x^2-20=0$. У відповіді запишіть добуток усіх його дійсних коренів.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1278 з 2199

Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити 6 різних новин: 2 політичні, 3 суспільні й 1 спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих 6 новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина – бути останньою? Уважайте, що кожну із цих 6 новин у стрічці не повторюють.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1279 з 2199

Задано функцію $y=x^3-3x$.

1. Для наведених у таблиці значень аргумента $x$ визначте відповідні їм значення $y$.

2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції $y=x^3-3x$ із віссю $x$.

3. Знайдіть похідну $f'$ функції $f(x)=x^3-3x$.

4. Визначте нулі функції $f'$.

5. Визначте проміжки зростання i спадання, точки екстремуму й екстремуми функції $f$.

6. Побудуйте ескіз графіка функції $f$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.

Задано функцію $y=x^3-3x$

1.

\begin{gather*} x=0,\ \ y=0^3-3\cdot 0=0\\[7pt] x=-1,\ \ y=(-1)^3-3\cdot (-1)=-1+3=2\\[7pt] x=2,\ \ y=2^3-3\cdot 2=8-6=2 \end{gather*}

x	y
0	0
–1	2
2	2

2. Точки перетину графіка $y=x^3-3x$ із віссю $x$ знаходимо за умови $y=0$: \begin{gather*} x^3-3x=0,\ \ x(x^2-3)=0,\\[7pt] x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x=0 & \\ x=\sqrt{3}& \\ x=-\sqrt{3}& \end{array}\right. \end{gather*} $(0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)$ – точки перетину з віссю $x$.

3.

\begin{gather*} f'(x)=(x^3-3x)'=3x^2-3 \end{gather*}

4. \begin{gather*} f'(x)=0,\ \ 3x^2-3=0,\\[7pt] 3(x^2-1)=0,\ \ 3(x-1)(x+1)=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x-1=0 & \\ x+1=0& \end{array}\right. \ \ \left [ \begin{array}{l l} x=1 & \\ x=-1& \end{array}\right. \end{gather*}

5. Визначимо проміжки зростання і спадання функції

При $f'(x)\gt 0$ функція зростає, при $f'(x)\lt 0$ – спадає. Отже,
$f(x)$ зростає при $x \in (-\infty;\ -1]$ i $[1;\ +\infty)$;
$f(x)$ спадає при $x\in [-1;\ 1]$.

Точки екстремуму: $x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1$,
екстремуми функції: $f_{max}=f(-1)=2;\ \ f_{min}=f(1)=-2$.

6.

Відповідь:

1. $x=0,\ \ y=0,$
$x=-1,\ \ y=2,$
$x=2,\ \ y=2$.
2. $(0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)$.
3. $f'(x)=3x^2-3$.
4. $x=1;\ \ x=-1$.
5. Проміжки зростання: $(-\infty;\ -1],\ [1;\ +\infty)$
проміжок спадання: $[-1;\ -1]$
$x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1$.
$f_{max}=2;\ \ f_{min}=-2$.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1280 з 2199

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить в нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\mathbf{\beta}$.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр i його осьовий переріз $ABCD$.

2. Укажіть кут $\mathbf{\beta}$, що утворює пряма $AC$ із площиною нижньої основи циліндра.

3. Визначте об’єм циліндра.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1281 з 2199

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\mathbf{\beta}$. На колі нижньої основи вибрано точку $K$ так, що градусна міра дуги $\overset{\smile}{AK}$ дорівнює 90°.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут $\mathbf{\gamma}$ між площиною $(KBD)$ і площиною нижньої основи циліндра. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут $\mathbf{\gamma}$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 2.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. Прямокутник $ABCD$ - осьовий переріз циліндра.

$AC=BD=d$. Точка $K$ лежить на колі нижньої основи циліндра $\overset{\smile}{AK}=90^\circ$, тому $\angle AOK=90^\circ$.

Пряма $KD$ – пряма перетину площини $(KBD)$ з площиною нижньої основи.

$\angle AKD=90^\circ$ (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то $AK\perp KD$.

\begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} AB\perp (AKD) & \\ BK\ -\ \text{похила на площину}\ (AKD) & \\ AK\ -\ \text{проекція похилої}\ BK &\\ AK\perp KD,\ KD \subset\ (AKD) & \end{array}\right| \rightarrow \text{за теоремою про три перпендикуляри}\ BK \perp KD. \end{gather*}

Таким чином, $\angle AKB=\mathbf{\gamma}$ – лінійний кут двогранного кута між площинами ($BKD)$ і площиною основи циліндра.

2. $\triangle AKD$ – рівнобедрений ($KO$ – медіана та висота) $AD=d\cos\mathbf{\beta}$, тому за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AK^2+KD^2=2AK^2,\\[6pt] AK^2=\frac{AD^2}{2}=\frac{d^2\cos^2\mathbf{\beta}}{2},\\[6pt] AK=\sqrt{\frac{d^2\cos^2\mathbf{\beta}}{2}}=\frac{d\cos\mathbf{\beta}}{\sqrt{2}}.\\[6pt] AB=d\sin\mathbf{\beta}.\\[6pt] \text{У}\ \triangle ABK\ (\angle A=90^\circ)\ \operatorname{tg}\mathbf{\gamma}=\frac{AB}{AK}, \operatorname{tg}\mathbf{\gamma}=\frac{d\sin\mathbf{\beta}\cdot \sqrt{2}}{d\cos\mathbf{\beta}}=\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}. \end{gather*}

Отже, $\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)$.

Відповідь: 2. $\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)$.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1282 з 2199

Доведіть тотожність
$$ \frac{2a^2+5a-3}{a+3}=\frac{1-2a}{2\cos 240^\circ}. $$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 3.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1283 з 2199

Задано систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} ax^2+3ax+4^{1+\sqrt{y}}=8,\\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1, \end{array} \right. $$ де $x,\ y$ – зміннi, $a$ – довільна стала.

1. Розв'яжіть систему, якщо $a=0$.

2. Визначте всі розв'язки заданої системи залежно від значень $a$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Розв'яжемо систему, якщо $a=0$.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 4^{1+\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} 4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} 4^{\sqrt{y}}=2, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1. & \end{array}\right. \end{gather*}

Підставимо у друге рівняння замість $4^{\sqrt{y}}$ число 2.

\begin{gather*} x+2\cdot 2=1,\ \ x+4=1,\ \ x=-3.\\[6pt] 4^{\sqrt{y}}=2,\ \ 2^{2\sqrt{y}}=2^1,\ \ 2\sqrt{y}=1,\ \ \sqrt{y}=\frac 12,\ \ y=\frac 14. \end{gather*}

Отже, за $a=0$ розв'язком системи є $(-3;\ 0,25)$.

2. Нехай $a\ne 0$.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}-1=0\ |\cdot (-2); & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8,& \\ -2x-4\cdot 4^{\sqrt{y}}+2=0. & \end{array}\right. \end{gather*}

Почленно додамо рівняння \begin{gather*} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}-2x-4\cdot 4^{\sqrt{y}}+2=8\\[7pt] ax^2+3ax-2x-6=0,\\[7pt] ax^2+(3a-2)x-6=0. \end{gather*}

Отримаємо квадратне рівняння.

\begin{gather*} D=(3a-2)^2-4a\cdot (-6)=9a^2-12a+4+24a=(3a+2)^2\\[7pt] x_1=\frac{-3a+2+3a+2}{2a}=\frac{2}{a};\\[7pt] x_2=\frac{-3a+2-3a-2}{2a}=-3. \end{gather*}

Система рівносильна сукупності систем:

\begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ \frac 2a+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ -3+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ 4^{\sqrt{y}}=\frac{a-2}{2a}; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ y=\frac 14. & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \ \ \ (1) \end{gather*}

Оскільки $4^{\sqrt{y}}\geq 1\ \left(y\geq 0,\ \sqrt{y}\geq 0,\ 4^{\sqrt{y}}\geq 4^0\right)$, отримуємо

\begin{gather*} \frac{a-2}{2a}\geq 1,\ \ \frac{a-2}{2a}-1\geq 0,\ \ \frac{a-2-2a}{2a}\geq 0,\\[6pt] \frac{-a-2}{2a}\geq 0,\ \ \frac{a+2}{2a}\leq 0. \end{gather*}

Тоді \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ \sqrt{y}=\log_4\frac{a-2}{2a}, & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ y=\log^2_4\frac{a-2}{2a}. & \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь:
1. $(-3;\ 0,25)$
2. якщо $a\in (-\infty;\ -2)\cup [0;\ +\infty)$, то розв'язком є $(-3;\ 0,25)$
якщо $a\in [-2;\ 0)$, то розв'язками є $(-3;\ 0,25)$ та $\left(\frac 2a;\ \log^2_4\frac{a-2}{2a}\right)$.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1284 з 2199

У під'їзді шістнадцятиповерхового будинку на першому поверсі розташовано 6 квартир, а на кожному з решти поверхів – по 8. На якому поверсі квартира № 31, якщо квартири від № 1 і далі пронумеровано послідовно від першого до останнього поверху?

А3

Б4

В5

Г6

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1285 з 2199

Кількість відвідувачів ботанічного саду протягом червня становила чверть від їхньої сумарної кількості в травні й червні. На якій із діаграм правильно зображено розподіл відвідувачів цього ботанічного саду впродовж цих двох місяців?

	– кількість відвідувачів у травні
	– кількість відвідувачів у червні

А

Б

В

Г

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Поверхи	Номери квартир
1	1–6
2	7–14
3	15–22
4	23–30
5	31–38