Всі запитання ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1275

Завдання 1276 з 2001

Розв’яжіть рівняння $$ \frac{3x^2-6ax-a+2^{\log_2(x-a)}}{|\cos(\pi x)+1|-1}=0 $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні, тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, тригонометричні тівняння та їхні системи, розв'язувати рівняння, нерівності та системи з параметрами.

1. Знайдемо ОДЗ:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |\cos (\pi x)+1|-1\ne 0,\\ x-a\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} |\cos (\pi x)+1|\ne 1,\\ x\gt a, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} \cos (\pi x)+1\ne \pm 1,\\ x\gt a, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} \cos (\pi x)\ne 0,\\ \cos (\pi x)\ne -2, \end{array}\right.\\ x\gt a, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} \pi x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in Z,\\ x\gt a, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ne \frac 12+n,\ n\in Z,\\ x\gt a, \end{array}\right. \end{gather*}

2. Знайдемо корені рівняння

$$ 3x^2-6ax-a+2^{\log_2(x-a)}=0. $$

Використаємо основну логарифмічну тотожність $$ a^{\log_ab}=b, $$ маємо

\begin{gather*} 3x^2-6ax-a+x-a=0,\\[7pt] 3x^2+x(1-6a)-2a=0,\\[7pt] D=(1-6a)^2-4\cdot 3\cdot (-2a)=1-12a+36a^2+24a=36a^2+12a+1=(6a+1)^2. \end{gather*}

$D\ge 0$ при будь-яких значеннях $a$, тому корені квадратного рівняння:

$$ x_{1, 2}=\frac{6a-1\pm\sqrt{(6a+1)^2}}{6}. $$

Розглянемо окремо $D = 0\mathord{:}$ $$ x=\frac{6a-1}{6}=a-\frac 16, $$ при

\begin{gather*} a=-\frac 16,\\[6pt] x=-\frac 16-\frac 16=-\frac 13. \end{gather*}

Перевіримо, чи влаштовує цей корінь ОДЗ: \begin{gather*} x\gt a,\\[6pt] -\frac 13\gt -\frac 16 \end{gather*} не виконується, тому $$ x=a-\frac 16 $$ не є коренем.

При $D\gt 0$

\begin{gather*} x_1=\frac{6a-1+6a+1}{6}=2a,\\[6pt] x_2=\frac{6a-1-6a-1}{6}=-\frac 13. \end{gather*}

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x=2a,\\ x\gt a,\\ x\ne\frac 12+n,\ n\in Z \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x=-\frac 13,\\ x\gt a,\\ x\ne \frac 12+n,\ n\in Z, \end{array}\right. \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x=2a,\\ 2a\gt a,\\ 2a\ne\frac 12+n, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x=-\frac 13,\\ -\frac 13\gt a,\\ -\frac 13\ne \frac 12+n, \end{array}\right. \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x=2a,\\ a\gt 0,\\ a\ne\frac 14+\frac n2,\ n\in Z, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x=-\frac 13,\\ a\lt -\frac 13. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: якщо $a\lt -\frac 13$, то $x=-\frac 13$;
якщо $a\in \left[-\frac 13; 0\right]$ та $a=\frac 14+\frac n2,\ n=0$, $1$, $2\text{...}$, то коренів немає;
якщо $a\in (0; +\infty)$, та $a\ne \frac 14+\frac n2,\ n=0$, $1$, $2\text{...}$, то $x=2a.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1277 з 2001

Основою піраміди $SABCD$ є паралелограм $ABCD$ з гострим кутом $A.$ Ребро $SB$ перпендикулярне до прямих $AB$ і $BC.$ Проекцією ребра $SD$ на площину основи піраміди є відрізок довжиною $10$ см, який утворює зі стороною $AD$ кут $30^\circ.$ Визначте кут між площинами $(SAD)$ i $(ABC)$, якщо $SD=15$ см.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє ознаки перпендикулярності прямої та площини, проекції прямої на площину, кута між площинами піраміди.

1. За умовою $SB\ \perp\ AB$ та $SB\ \perp\ BC$, тому $SB\ \perp\ (ABC)$ за ознакою перпендикулярності прямої та площини.

$SB$ – висота піраміди.

2. $SB\ \perp\ (ABC)$, $SD$ – похила, тому $BD$ – проекція похилої. $BD=10$ см, $\angle BDA=30^\circ.$

3. $BK\ \perp\ AD$ – висота паралелограма. За теоремою про три перпендикуляри $SK\ \perp\ AD\Rightarrow AD\ \perp (SKB)$, а $\angle SKB$ – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами $(SAD)$ та $(ABC).$

4. У $\Delta BKD\ (\angle K=90^\circ)$, $\angle D=30^\circ$, $BD=10$ см.

\begin{gather*} BK=BD\sin 30^\circ=10\cdot \frac 12=5\ \text{см}. \end{gather*}

5. У $\Delta SBD\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SD^2=SB^2+BD^2,\\[7pt] SB=\sqrt{SD^2-BD^2}=\sqrt{15^2-10^2}=\sqrt{225-100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

6. У $\Delta SBK\ (\angle B=90^\circ)$

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ K=\frac{SB}{BK}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}. \end{gather*}

Отже, $\angle SKB=\mathrm{arctg}\ \sqrt{5}.$

Відповідь: $\mathrm{arctg}\ \sqrt{5}.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1278 з 2001

Задано функцію $y=\frac{2-x}{x^2+x-6}.$

1. Розв’яжіть рівняння $x^2+x-6=0.$

2. Спростіть вираз $\frac{2-x}{x^2+x-6}.$

3. Побудуйте графік функції $y=\frac{2-x}{x^2+x-6}.$

4. Користуючись графіком, визначте область значень цієї функції.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1279 з 2001

У прямокутній системі координат на площині зображено вектори $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ та $\overrightarrow{c}.$ Визначте косинус кута між векторами $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ та $\overrightarrow{c}.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати і вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координати точки, вміння знаходити скалярний добуток векторів, виконувати дії з векторами.

Якщо $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, то координати вектора $\overrightarrow{AB}(x_2-x_1; y_2-y_1).$

Знайдемо координати векторів:

\begin{gather*} A_1(1; 4),\ \ A_2(3; 4),\ \ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{A_1A_2}=(\overrightarrow{2; 0}),\\[7pt] B_1(-1; 1),\ \ B_2(-3; 5),\ \ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{B_1B_2}=(\overrightarrow{-2; 4}),\\[7pt] C_1(2; 0),\ \ C_2(6; 3),\ \ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{C_1C_2}=(\overrightarrow{4; 3}). \end{gather*}

Координати вектора $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ дорівнюють $(a_1+b_1; a_2+b_2).$ $$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(0; 4). $$

Довжина вектора обчислюється за формулою

\begin{gather*} |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2},\\[7pt] |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{0^2+4^2}=4,\\[7pt] \overrightarrow{c}(4; 3),\ \ |\overrightarrow{c}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5. \end{gather*}

За формулою

$$ \cos \varphi=\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\cdot |\overrightarrow{c}|}. $$

Знаходимо косинус кута між векторами

$$ \cos \varphi=\frac{0\cdot 4+4\cdot 3}{4\cdot 5}=\frac{4\cdot 3}{4\cdot 5}=\frac 35=0\mathord{,}6. $$

Відповідь: $0\mathord{,}6.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1280 з 2001

Музей має надати чотири картини відомого художника для виставки, присвяченої дню його народження. Одну картину вибирають з діючої експозиції музею, що містить $5$ робіт цього художника, а три інші – з архіву, у якому є $10$ його картин. Скільки всього способів такого вибору?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1281 з 2001

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці $M(5; -9)$, паралельна осі абсцис. Обчисліть значення виразу $3\cdot f'(5)+10\cdot f(5).$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1282 з 2001

За $4$ кг огірків і $5$ кг помідорів заплатили $87$ гривень. Після того як огірки подорожчали на третину, а помідори подешевшали на третину, за $4$ кг огірків і $5$ кг помідорів заплатили $86$ гривень. Визначте початкову вартість $x$ одного кілограма огірків і початкову вартість $y$ одного кілограма помідорів. У відповіді запишіть суму $x+y$ (у грн).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння нерівності та їхні системи. Текстові задачі. Системи лінійних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь, текстові задачі.

Нехай початкова вартість $1$ кг огірків – $x$ грн, а $1$ кг помідорів – $y$ грн.

За $4$ кг огірків та $5$ кг помідорів заплатили $87$ грн, тому $4x+5y=87.$

Після подорожчання огірків на третину вони стали коштувати $\frac 43x$ грн за $1$ кг. Після подешевшання помідорів на третину їхня ціна стала $\frac 23y$ грн за $1$ кг.

За $4$ кг огірків та $5$ кг помідорів заплатили $86$ грн, тому

$$ 4\cdot \frac 43x+5\cdot \frac 23y=86. $$

Складемо систему рівнянь:

$$ \left\{\begin{array}{l} 4x+5y=87\ |\cdot 2,\\ \frac{16}{3}x+\frac{10}{3}y=86\ |\cdot 3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 8x+10y=174,\\ 16x+10y=258. \end{array}\right. $$

Віднімемо почленно рівняння системи:

\begin{gather*} 8x=84,\\[7pt] x=10\mathord{,}5. \end{gather*}

Підставимо значення $x$ в перше рівняння. Отримаємо

\begin{gather*} 4\cdot 10\mathord{,}5+5y=87,\\[7pt] 42+5y=87,\\[7pt] 5y=45,\\[7pt] y=9,\\[7pt] x+y=10\mathord{,}5+9=19\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $19\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1283 з 2001

Периметр трапеції дорівнює $132$ см, а довжина вписаного в неї кола становить $24\pi$ см.

1. Визначте довжину (у см) середньої лінії цієї трапеції.

2. Визначте площу (у см$^2$) цієї трапеції.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	33			792

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1284 з 2001

Перший автомат за $2$ хвилини наповнює гелієм $3$ однакові повітряні кульки, а другий автомат за цей самий час – на $100\ \text{%}$ більше таких кульок. Уважайте, що продуктивність роботи автоматів є сталою.

1. За скільки секунд другий автомат наповнює гелієм одну повітряну кульку?

2. Скільки всього повітряних кульок наповнять гелієм обидва автомати за $10$ хвилин одночасно?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	20			45

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1285 з 2001

У циліндрі з центрами основ $O$ i $O_1$ проведено хорду $AB$ в нижній основі (див. рисунок). $\angle AOB=90^\circ$, $\angle OBO_1=60^\circ.$ Площа основи циліндра дорівнює $9\pi.$
Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А – Д).

Величина

1радіус основи циліндра

2довжина хорди $AB$

3висота циліндра

4об'єм піраміди $O_1AOB$

Значення величини

А$\frac{9\sqrt{3}}{2}$

Б$3$

В$9\sqrt{3}$

Г$3\sqrt{2}$

Д$3\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на