ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Формули для обчислення площі трикутника. Теорема синусів. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач.

Дамо характеристику трикутникам, зображеним на рисунках 1–5.

А. Трикутник, у якого дві сторони рівні, є рівнобедреним. Оскільки кут між ними, тобто кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює \(60^\circ\), то кут при основі цього трикутника дорівнює $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ. $$ Отже, всі кути трикутника рівні, тому він є рівностороннім. А в рівносторонньому трикутнику центри описаного та вписаного кіл збігаються. Тому 1 – А.

Б. На цьому рисунку зображено прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють \(5\ \text{см}\). Гіпотенуза цього трикутника дорівнює \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Центр кола, описаного навколо цього трикутника, є серединою гіпотенузи. Тому діаметр описаного кола дорівнює довжині гіпотенузи, тобто \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Внутрішні кути дорівнюють \(45^\circ\), \(45^\circ\) та \(90^\circ\), а площа: $$ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\ \text{см}^2. $$ Отже, трикутник, зображений на рис. Б, не може бути відповіддю на жодне із запитань 1–4.

В. У прямокутному трикутнику, один з катетів якого удвічі менший за гіпотенузу, гострий кут, що є протилежним до меншого катета, дорівнює \(30^\circ.\) Оскільки катет трикутника дорівнює \(5\) см, а гіпотенуза \(10\) см, то гострий кут дорівнює \(30^\circ.\) Отже, 2 – В.

Г. У трикутнику задано два кути та одну сторону, тому можна скористатися теоремою синусів та наслідком з цієї теореми: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, $$ де \(R\) – радіус кола, описаного навколо трикутника із сторонами \(a\), \(b\), \(c\) та відповідними кутами \(\alpha\), \(\beta\) та \(\gamma.\)

Виконується рівність $$ \frac{10}{\sin 45^\circ} = 2R, $$ звідки отримуємо \begin{gather*} \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R,\\[6pt] 2R = 10\sqrt{2}. \end{gather*} Отже, діаметр кола, описаного навколо трикутника, зображеного на рис. Г дорівнює \(10\sqrt{2}\). Тому 4 – Г.

Д. Неохопленим залишилося лише запитання 3, якому може відповідати лише рисунок Д. Покажемо, що площа трикутника, зображеного на рис. Д, дорівнює \(10\ \text{см}^2.\) Висота цього трикутника ділить трикутник на два прямокутні трикутники з катетами \(2\ \text{см}\) і \(3\ \text{см}\) та \(2\ \text{см}\) і \(7\ \text{см}.\) Сума площ цих трикутників становить площу заданого трикутника і дорівнює

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Основні властивості функцій: монотонність, парність та непарність, область значень.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

Щоб розв’язати це завдання, потрібно знати означення зростаючої (спадної) функції, парної та непарної функцій, області значень функції.

Функція \(y = f(x)\) називається зростаючою на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_{1} \in (a; b)\) і \(x_{2} \in (a; b)\) таких, що \(x_{1} \lt x_{2}\), виконується нерівність \(f(x_{1}) \lt f(x_{2})\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає більше значення функції.

Функція \(y = f(x)\) називається спадною на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_{1} \in (a; b)\) і \(x_{2} \in (a; b)\) таких, що \(x_{1} \lt x_{2}\), виконується нерівність \(f(x_{1}) \gt f(x_{2})\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає менше значення функції.

Функція \(y = f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x) = f(x).\)

Функція називається непарною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення виконується рівність \(f(-x) = -f(x).\)

Область визначення і парної, і непарної функції симетрична відносно точки \(x = 0.\) Графік парної функції симетричний відносно осі \(y\), а непарної – відносно початку координат.

Розглянемо кожну з функцій 1–4 окремо.

1. Функція \(y = x^{2}\) є парною: \((-x)^{2} = x^{2}\) для будь-якого дійсного \(x.\) Отже, 1 – Г.

Зазначимо, що графіком цієї функції є парабола з вершиною в точці \((0; 0)\), вітки якої напрямлені вгору і симетричної відносно осі ординат (див. рисунок).

Область значень: \(E(x^{2}) = [0; +\infty)\) (важливо не обрати замість Г варіант Д).

2. Функція \(y = x^{3} + 1\) визначена на всій дійсній осі й зростає на всій області визначення. Графік цієї функції можна отримати з графіка \(y = x^{3}\) шляхом перенесення останнього на одну одиницю вгору вздовж осі \(y.\) Оскільки функція \(y = x^{3}\) є зростаючою на проміжку \((-\infty; +\infty)\), то функція \(y = x^{3} + 1\) також є зростаючою на цьому проміжку, тобто на всій області визначення. Отже, 2 – А.

3. Графіком лінійної функції \(y = 3 - x\) є пряма (див. рисунок). Для побудови графіка достатньо встановити, що пряма проходить через точки \((0; 3)\) та \((3; 0).\)

З рисунка видно, що функція \(y=3-x\) є спадною на всій числовій прямій. Отже, 3 – Б.

4. Для будь-якого \(x \in (-\infty; +\infty)\) виконується рівність \(\sin(-x) = -\sin x.\) Отже, функція \(y = \sin x\) є непарною, тому 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння перетворювати вирази, що містять тригонометричні функції.

Для розв’язання завдання потрібно знати основну тригонометричну тотожність: $$ \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1 $$ та формули синуса та косинуса подвійного кута: \begin{gather*} \sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha, \\[7pt] \cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha. \end{gather*}

Тоді $$ 1 - \cos^{2}\alpha = \sin^{2}\alpha. $$ Отже, 1 – Д.

$$ 2\sin\alpha \cos\alpha= \sin 2\alpha. $$ Отже, 2 – В.

$$ \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = \cos 2\alpha. $$ Отже, 3 – Б.

Перетворимо вираз 4:

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – В, 3 – Б, 4 – А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямокутний паралелепіпед. Розгортка прямокутного паралелепіпеда. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

Це завдання перевіряє вміння за розгорткою многогранника визначати його об’єм.

Основою прямокутного паралелепіпеда, розгортка якого зображена на рисунку, є прямокутник із сторонами \(3\ \text{см}\) і \(4\ \text{см}.\) Сума довжин бічного ребра паралелепіпеда і більшої сторони його основи дорівнює \(12\ \text{см}\), тому довжина бічного ребра дорівнює $$ 12 - 4 = 8\ \text{см}. $$ Отже, висота паралелепіпеда дорівнює \(8\ \text{см}.\)

Об’єм паралелепіпеда визначається за формулою: $$ V = abc, $$ де \(a, b, c\) – виміри прямокутного паралелепіпеда, тобто довжина і ширина його основи та висота. Тоді

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну раціональної функції, графік якої проходить через задану точку.

Нагадаємо, що функція \(F(x)\) називається первісною для функції \(f(x)\) на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-якого \(x \in (a; b)\) виконується рівність \(F'(x) = f(x).\)

Якщо \(F(x)\) – первісна для функції \(f(x)\), то для цієї функції існує безліч первісних і всі ці первісні мають вигляд \(F(x) + C\), де \(C \in R\) – довільна стала.

Правило знаходження первісних. Якщо \(F_{1}(x)\) – первісна для функції \(f_{1}(x)\), а \(F_{2}(x)\) – первісна для функції \(f_{2}(x)\), то \(F_{1}(x) + F_{2}(x)\) є первісною для \(f_{1}(x) + f_{2}(x).\)

У нашому випадку \(f_{1}(x) = 2x\), \(f_{2}(x) = 2\), тоді \(F_{1}(x) = x^{2}\), оскільки \((x^{2})' = 2x\), \(F_{2}(x) = 2x\), оскільки \((2x)' = 2.\)

Отже,

загальний вигляд первісної для функції $$ f(x) = 2x + 2, $$ де \(C\) – довільна стала.

Якщо графік первісної \(y = F(x)\) проходить через точку \((1; 4)\), то виконується умова \(4 = F(1).\) Підставивши у рівняння первісної $$ F(x) = x^{2} + 2x + C $$ значення \(x = 1\) і \(F(1) = 4\), отримаємо: $$ 4 = 1 + 2 + C, $$ звідки \(C = 1\). Отже, первісна функції \(y = 2x + 2\), що проходить через точку \((1; 4)\), має вигляд $$ F(x) = x^{2} + 2x + 1. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Поділимо обидві частини нерівності на \(2\mathord{:}\) $$ (0{,}3)^{x} \lt 0{,}09 $$ (оскільки \(2 \gt 0\), то знак нерівності не змінюється). Запишемо число \(0{,}09\) як степінь з основою \(0{,}3\mathord{:}\) $$ 0{,}09 = 0{,}3^{2}. $$ Отримаємо нерівність: $$ (0{,}3)^{x} \lt (0{,}3)^{2}. $$

Оскільки \(0{,}3 \lt 1\), то функція \(y = (0{,}3)^{x}\) є спадною на всій області визначення, і нерівність $$ (0{,}3)^{x} \lt (0{,}3)^{2} $$ рівносильна нерівності \(x \gt 2\), тобто \(x \in (2; +\infty).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Модуль числа. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення модуля числа та вміння розкривати модуль буквенного виразу.

За означенням модулем числа \(x\) називають саме це число, якщо воно є невід’ємним, і протилежне до \(x\) число, якщо воно є від’ємним, тобто

Отже,

Визначимо проміжки знакосталості виразу \(a^{2}-a-6.\) Для цього визначимо нулі цього тричлена, прирівнявши його до нуля: \(a^{2}-a-6=0\), звідки \(a_{1}=-2\), \(a_{2}=3.\) Визначимо знак виразу \(a^{2}-a-6\) на проміжках \((-\infty; -2)\), \((-2; 3)\) і \((3; +\infty) \) (див. рисунок).

Оскільки на проміжку \((-2; 3)\) вираз \(a^{2}-a-6\) набуває лише від’ємних значень, то на цьому проміжку

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Область визначення функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, заданої аналітично.

Функція $$ y = \frac{4 - x}{5} $$ є лінійною:

Отже, ця функція визначена на всій дійсній осі, тобто область визначення є проміжок \((-\infty; +\infty).\)

Можна не акцентувати увагу на тому, що задана функція є лінійною. Достатньо зауважити, що знаменник дробового виразу $$ \frac{4 - x}{5}, $$ тобто число \(5\), не залежить від \(x\) і не дорівнює нулю, а чисельник \(4 - x\) має сенс за будь-якого значення \(x.\) Отже, функція $$ y = \frac{4 - x}{5} $$ визначена для всіх \(x \in (-\infty; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Кут між мимобіжними прямими.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії та означення кута між мимобіжними прямими у просторі.

Щоб визначити кут між мимобіжними прямими \(a\) і \(b\) у просторі, проведемо пряму \(c\), яка паралельна прямій \(b\) і перетинає пряму \(a\). Кут між прямими \(a\) і \(c\), що лежать в одній площині, і буде шуканим кутом між прямими \(a\) і \(b\).

Прямі \(AA_{1}\) і \(DD_{1}\) паралельні (як прямі, що проходять через паралельні ребра куба). Отже, кут між прямими \(AB_{1}\) і \(DD_{1}\) дорівнює куту між прямими \(AB_{1}\) і \(AA_{1}\) і становить \(45^\circ\), оскільки діагональ \(AB_{1}\) квадрата \(AA_{1}B_{1}B\) утворює зі стороною \(AA_{1}\) кут \(45^\circ.\)

Відповідь: B.