Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1355

Завдання 1356 з 2089

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} xy=12,\\ x(y+2)=6. \end{array}\right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0+y_0=$

А$-7$

Б$7$

В$-1$

Г$8$

Д$-8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1357 з 2089

Розкладіть на множники вираз $(a-1)^2-(b-1)^2.$

А$(a-b)(a+b)$

Б$(a-b)(a+b+2)$

В$(a-b)^2$

Г$(a-b)(a+b-2)$

Д$(a+b)(a-b-2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1358 з 2089

На діаграмі відображено обсяг видобутку алмазів (у млн карат) у $2006$ році в п'яти країнах Африки. Користуючись діаграмою, визначте країни Африки, у кожній з яких маса алмазів, видобутих у $2006$ році, більш ніж удвічі перевищувала масу алмазів, видобутих у цьому році в Анголі.

Алише в ДРК

Блише в ПАР і в ДРК

Влише в Ботсвані

Глише в ПАР, у ДРК і в Ботсвані

Длише в ДРК і в Ботсвані

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1359 з 2089

$\log_3 54-\log_3 2=$

А$\log_3 52$

Б$3$

В$9$

Г$24$

Д$27$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1360 з 2089

Яка з наведених точок належить координатній площині $yz$ прямокутної системи координат у просторі?

А$(1; 0; 0)$

Б$(1; 0; 1)$

В$(1; 1; 0)$

Г$(0; 1; 1)$

Д$(1; 1; 1)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1361 з 2089

Розв'яжіть рівняння $4x^2=1.$

А$-2; 2$

Б$2$

В$0\mathord{,}25$

Г$0\mathord{,}5$

Д$-0\mathord{,}5; 0\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1362 з 2089

Визначте градусну міру кута $B$ трикутника $ABC$, якщо $\angle A+\angle C=70^\circ.$

А$20^\circ$

Б$70^\circ$

В$110^\circ$

Г$145^\circ$

Д$160^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1363 з 2089

Число $a$ в $5$ разів більше за додатне число $b.$ Тоді $a=$

А$b-5$

Б$\frac 5b$

В$b+5$

Г$5b$

Д$\frac b5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1364 з 2089

Розв’яжіть рівняння $$ \frac{3x^2-6ax-a+2^{\log_2(x-a)}}{|\cos(\pi x)+1|-1}=0 $$ залежно від значень параметра $a.$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні, тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, тригонометричні тівняння та їхні системи, розв'язувати рівняння, нерівності та системи з параметрами.

1. Знайдемо ОДЗ:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |\cos (\pi x)+1|-1\ne 0,\\ x-a\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} |\cos (\pi x)+1|\ne 1,\\ x\gt a, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} \cos (\pi x)+1\ne \pm 1,\\ x\gt a, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} \cos (\pi x)\ne 0,\\ \cos (\pi x)\ne -2, \end{array}\right.\\ x\gt a, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} \pi x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in Z,\\ x\gt a, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ne \frac 12+n,\ n\in Z,\\ x\gt a, \end{array}\right. \end{gather*}

2. Знайдемо корені рівняння

$$ 3x^2-6ax-a+2^{\log_2(x-a)}=0. $$

Використаємо основну логарифмічну тотожність $$ a^{\log_ab}=b, $$ маємо

\begin{gather*} 3x^2-6ax-a+x-a=0,\\[7pt] 3x^2+x(1-6a)-2a=0,\\[7pt] D=(1-6a)^2-4\cdot 3\cdot (-2a)=1-12a+36a^2+24a=36a^2+12a+1=(6a+1)^2. \end{gather*}

$D\ge 0$ при будь-яких значеннях $a$, тому корені квадратного рівняння:

$$ x_{1, 2}=\frac{6a-1\pm\sqrt{(6a+1)^2}}{6}. $$

Розглянемо окремо $D = 0\mathord{:}$ $$ x=\frac{6a-1}{6}=a-\frac 16, $$ при

\begin{gather*} a=-\frac 16,\\[6pt] x=-\frac 16-\frac 16=-\frac 13. \end{gather*}

Перевіримо, чи влаштовує цей корінь ОДЗ: \begin{gather*} x\gt a,\\[6pt] -\frac 13\gt -\frac 16 \end{gather*} не виконується, тому $$ x=a-\frac 16 $$ не є коренем.

При $D\gt 0$

\begin{gather*} x_1=\frac{6a-1+6a+1}{6}=2a,\\[6pt] x_2=\frac{6a-1-6a-1}{6}=-\frac 13. \end{gather*}

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x=2a,\\ x\gt a,\\ x\ne\frac 12+n,\ n\in Z \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x=-\frac 13,\\ x\gt a,\\ x\ne \frac 12+n,\ n\in Z, \end{array}\right. \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x=2a,\\ 2a\gt a,\\ 2a\ne\frac 12+n, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x=-\frac 13,\\ -\frac 13\gt a,\\ -\frac 13\ne \frac 12+n, \end{array}\right. \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x=2a,\\ a\gt 0,\\ a\ne\frac 14+\frac n2,\ n\in Z, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x=-\frac 13,\\ a\lt -\frac 13. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: якщо $a\lt -\frac 13$, то $x=-\frac 13$;
якщо $a\in \left[-\frac 13; 0\right]$ та $a=\frac 14+\frac n2,\ n=0$, $1$, $2\text{...}$, то коренів немає;
якщо $a\in (0; +\infty)$, та $a\ne \frac 14+\frac n2,\ n=0$, $1$, $2\text{...}$, то $x=2a.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1365 з 2089

Основою піраміди $SABCD$ є паралелограм $ABCD$ з гострим кутом $A.$ Ребро $SB$ перпендикулярне до прямих $AB$ і $BC.$ Проекцією ребра $SD$ на площину основи піраміди є відрізок довжиною $10$ см, який утворює зі стороною $AD$ кут $30^\circ.$ Визначте кут між площинами $(SAD)$ i $(ABC)$, якщо $SD=15$ см.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє ознаки перпендикулярності прямої та площини, проекції прямої на площину, кута між площинами піраміди.

1. За умовою $SB\ \perp\ AB$ та $SB\ \perp\ BC$, тому $SB\ \perp\ (ABC)$ за ознакою перпендикулярності прямої та площини.

$SB$ – висота піраміди.

2. $SB\ \perp\ (ABC)$, $SD$ – похила, тому $BD$ – проекція похилої. $BD=10$ см, $\angle BDA=30^\circ.$

3. $BK\ \perp\ AD$ – висота паралелограма. За теоремою про три перпендикуляри $SK\ \perp\ AD\Rightarrow AD\ \perp (SKB)$, а $\angle SKB$ – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами $(SAD)$ та $(ABC).$

4. У $\Delta BKD\ (\angle K=90^\circ)$, $\angle D=30^\circ$, $BD=10$ см.

\begin{gather*} BK=BD\sin 30^\circ=10\cdot \frac 12=5\ \text{см}. \end{gather*}

5. У $\Delta SBD\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SD^2=SB^2+BD^2,\\[7pt] SB=\sqrt{SD^2-BD^2}=\sqrt{15^2-10^2}=\sqrt{225-100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

6. У $\Delta SBK\ (\angle B=90^\circ)$

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ K=\frac{SB}{BK}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}. \end{gather*}

Отже, $\angle SKB=\mathrm{arctg}\ \sqrt{5}.$

Відповідь: $\mathrm{arctg}\ \sqrt{5}.$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на