ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, формули координат середини відрізка, вміння встановлювати належність точки координатній осі чи площині.

Розглянемо початки речень (1–4) та знайдемо твердження, які є правильними для наведених точок.

1. Точка \((4; 0; 0)\), у якої координати \(y\) та \(z\) дорівнюють \(0\), лежить на осі \(x.\) Отже, початку речення 1 відповідає закінчення речення Д. Зазначимо, що якщо точка у просторі лежить на одній з осей координат, то обов’язково дві її координати дорівнюють нулю. Наприклад, точка \((0; -2; 0)\) лежить на осі \(y\), а точка \((0; 0; 3)\) – на осі \(z.\) Якщо й третя координата дорівнює нулю, то точка \((0; 0; 0)\) є початком координат і належить одночасно координатним осям \(x\), \(y\) і \(z.\) Зауважимо також, що якщо точка лежить, наприклад, на осі \(x\), то вона також лежить у координатних площинах \(xy\) та \(xz\), оскільки вісь \(x\) є перетином цих площин.

2. Якщо лише одна з трьох координат точки, заданої у просторі, дорівнює нулю, то така точка лежить у певній координатній площині i водночас не належить жодній з осей координат, що лежать у цій площині. Зокрема, якщо координати \(y\) та \(z\) відмінні від нуля, то точка \((0; y; z)\) лежить у площині \(yz.\) Отже, точка \((0; -3; 5)\) лежить у площині \(yz.\) Таким чином, початку речення 2 відповідає закінчення речення Б.

3. Щоб знайти координати точки, що є серединною відрізка, потрібно обчислити півсуму відповідних координат точок, які є кінцями цього відрізка. Так, серединою відрізка \(OC\), де \(O(0; 0; 0)\), \(C(-2; 6; 0)\), є точка \(M(x_{m}, y_{m}, z_{m})\), у якої \begin{gather*} x_{m} = \frac{0 + (-2)}{2}=-1,\\[6pt] y_{m} = \frac{0 + 6}{2}=3,\\[6pt] z_{m} = \frac{0 + 0}{2}=0. \end{gather*} Отже, точка \((-1; 3; 0)\) є серединою відрізка \(OC\), тож початку речення 3 відповідає закінчення речення В.

4. Залишилося підібрати варіант відповіді для початку речення 4. Помічаємо, що координати точки \((2; -6; 0)\) протилежні відповідним координатам точки \(C(-2; 6; 0).\) Це означає, що ці точки симетричні відносно початку координат, тобто точки \(O(0; 0; 0).\) Отже, початку речення 4 відповідає закінчення речення Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Основні властивості функцій: парність, періодичність, монотонність. Екстремум функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій (степеневої, квадратичної та логарифмічної), заданих формулою, знаходити область визначення, значення функції в точці, використовувати перетворення графіків функцій, знання означення точки екстремуму функції.

1. Функція \(y = x^{3}\) визначена на всій дійсній осі, зростає на всій області визначення, екстремуму не має. Знайдемо значення функції в точці \(x = 8\mathord{:}\) $$ y(8) = 8^{3} \gt 0. $$ Знайдемо значення функції в точці \(x = -3\mathord{:}\) $$ y(-3) = (-3)^{3} = -27 \lt 0. $$ Отже, для початку речення 1 жоден із варіантів A—Г не може бути його закінченням. Функція \(y = x^{3}\) для будь-якого дійсного значення \(x\) задовольнює умову \begin{gather*} y(-x) = -y(x){,}\\[7pt] (-x)^{3} = -x^{3}, \end{gather*} тобто є непарною.

Отже, 1 – Д.

2. Функція \(y = (x + 2)^{2} - 3\) визначена на всій дійсній осі, графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору, абсциса вершини параболи є точкою мінімуму цієї функції, тобто в точці \(x = x_{в}\) функція має екстремум. Залишилося визначити значення \(x_{в}.\) Оскільки графік функції \(y = (x + 2)^{2} - 3\) можна отримати з графіка функції \(y = x^{2}\) за допомогою його перенесення вздовж осі \(x\) ліворуч на \(2\) одиниці й вздовж осі \(y\) вниз на \(3\) одиниці, то абсциса вершини заданої параболи \(x_{в} = -2\), тобто функція \(y = (x + 2)^{2} - 3\) в точці \(x = -2\) має екстремум.

Отже, 2 – В.

3. Функція \(y = \log_{0{,}5} x\) визначена на проміжку \((0; +\infty)\), тому визначена в точці \(x = 1\) і не визначена в точці \(x = -3\). Оскільки основа логарифма \(0{,}5 \lt 1\), то функція є спадною на всій області визначення, отже, не має екстремумів. Окрім зазначеного, функція \(y = \log_{0{,}5} x\) перетинає вісь \(x\) у точці \((1; 0)\), на проміжку \((0; 1)\) набуває додатних значень, а на проміжку \((1; +\infty)\)   від’ємних значень. Таким чином, $$ y(8) = \log_{0{,}5} 8 = -3 \lt 0. $$

Отже, 3 – А.

4. Функція \(y = \sqrt{x - 4}\) визначена для всіх \(x\), що задовольняють умову \(x - 4 \ge 0\), тобто \(x \ge 4.\) Отже, вона не визначена в точках \(x = 1\) і \(x = -3.\) З двох варіантів, що залишилися, для 4 обираємо варіант Б (в точці \(x = -3\) ця функція не може набувати не лише додатного значення, але й жодного іншого).

Отже 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – А, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Подільність чисел.

Це завдання перевіряє вміння знаходити дільники чисел, знання означень простого числа і числа, кратного іншому числу.

1. Серед наведених чисел квадратом натурального числа є число \(16 =4^{2}\), отже, 1 – Б.

2. Натуральне число, більше за одиницю, називається простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю та саме число. Іншими словами, просте число ділиться націло лише на \(1\) та на себе. Усі парні натуральні числа більше \(2\) не є простими, оскільки, крім \(1\) та самого числа, вони обов’язково мають дільник \(2.\) Отже, парні числа \(8\), \(16\) та \(56\) не є простими. Число \(27\) також не є простим, воно ділиться націло на \(1\), \(3\), \(9\) і \(27.\) Залишається число \(17.\) Воно має лише два дільники: \(1\) та \(17\), тобто є простим. Отже, 2   В.

3. Число \(a\) називається дільником числа \(c\), якщо \(c\) ділиться на \(a\) націло. Серед наведених чисел на \(8\) націло ділиться тільки число \(8.\) Зауважимо також, що дільник числа не може бути більшим за саме число. Отже, 3 – А.

4. Число \(c\) називають кратним числу \(a\), якщо \(c\) ділиться націло на \(a.\) Серед наведених чисел на \(7\) націло ділиться тільки число \(56\), отже 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – A, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Прямокутник та його властивості. Площа прямокутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити площу та периметр прямокутника, застосовувати теорему Піфагора, знання співвідношень у прямокутному трикутнику.

Розглянемо кожне твердження:

1. Площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін. Цей добуток дорівнює \(48\) для прямокутника зі сторонами \(6\) та \(8\), зображеного на рисунку B. Отже, твердженню 1 відповідає прямокутник B.

2. Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин всіх його сторін. Ця сума дорівнює \(14\) для прямокутника зі сторонами \(2\) та \(5\), зображеного на рисунку A: $$ 2 \cdot (2 + 5) = 14. $$ Отже, 2 – A.

3. Серед варіантів Б, Г та Д, що залишилися, варіант Д не може відповідати твердженню 3, адже кут між діагоналями квадрата не може дорівнювати \(60^\circ\) (він становить \(90^\circ\)). Залишилося проаналізувати варіанти Б та Г.

Розглянемо прямокутник \(ABCD\), діагоналі якого перетинаються в точці \(O\) (див. рисунок).

\(\angle AOB\) – гострий кут між діагоналями прямокутника. Оскільки діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл, то \(AO = OB\), отже, трикутник \(AOB\) є рівнобедреним. Кут \(AOB\) між діагоналями прямокутника є в трикутнику \(AOB\) кутом при вершині рівнобедреного трикутника. Якщо \(\angle AOB = 60^\circ\), то кути при основі цього трикутника дорівнюють $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ, $$ отже, цей трикутник є рівностороннім.

У рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні, тому серед прямокутників, зображених на рисунках Б та Г, визначаємо той, у якого половина діагоналі дорівнює стороні \(AB.\) Це твердження виконується для прямокутника, зображеного на рисунку Б. Справді, з прямокутного трикутника \(ABC\) за теоремою Піфагора

Прямокутник \(ABCD\), у якого діагоналі перетинаються під кутом \(60^\circ\), можна встановити також за допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику \(ABC.\)

Оскільки \(\angle BAC = 60^\circ\), то $$ \frac{BC}{AB} = \mathrm{tg}\ \angle BAC = \sqrt{3}. $$ Ця умова виконується лише для прямокутника зі сторонами \(4\) та \(4\sqrt{3}\) на рисунку Б: $$ \frac{BC}{AB} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} = \mathrm{tg}\ 60^\circ. $$ Отже, 3 – Б.

4. Діагональ квадрата зі стороною \(7\) дорівнює \(7\sqrt{2} \ne 14.\) Переконаємося, що твердженню 4 відповідає прямокутник на рисунку Г:

звідси отримуємо \(AC = 14\). Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Б, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра. Площа сфери.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє вміння знаходити площу поверхні, утвореної обертанням відрізка та чверті кола навколо заданої осі, використовуючи формули площі бічної поверхні циліндра та площі сфери.

Площа активної поверхні світлодіодної лампи, зображеної на рисунку, є сумою площі бічної поверхні циліндра та площі півсфери. Площу бічної поверхні циліндра, утвореного обертанням відрізка \(AB\) навколо осі \(l\), обчислюємо за формулою $$ S = 2\pi Rh. $$ У нашому випадку діаметр \(2R = 3\) см, отже \(R = 1{,}5\) см, висота циліндра \(h = 5 - 1{,}5 = 3{,}5\) см. Підставивши ці значення у формулу, маємо $$ S = 3 \cdot 3{,}5\pi = 10{,}5\pi\ \text{см}^2. $$

Площу півсфери, утвореної обертанням чверті кола \(BC\) навколо осі \(l\), обчислюємо за формулою

Тоді площа активної поверхні лампи дорівнює

Отже, найближчою до точної є відповідь \(48\) см\(^2.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні. Похідна від складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну від складеної функції.

За означенням, якщо \(f(g(x))\) – складена функція і існують похідні функції \(g(x)\) у точці \(x\), а функції \(f(u)\) – у відповідній точці \(u = g(x)\), то існує похідна складеної функції \(f(g(x))\), причому $$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x). $$

Тоді

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Для цього перенесемо всі вирази у ліву частину нерівності: $$ (x + 4)(x - 8) - 3(x - 8) \gt 0 $$ і винесемо за дужки спільний множник \((x - 8).\) Отримаємо: \begin{gather*} (x - 8)((x + 4) - 3) \gt 0,\\[7pt] (x - 8)(x + 1) \gt 0. \end{gather*}

Визначимо нулі функції $$ y = (x - 8)(x + 1), $$ тобто корені рівняння $$ (x - 8)(x + 1) = 0. $$ Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю: \begin{gather*} x - 8 = 0,\\[7pt] x_1 = 8, \\[7pt] x + 1 = 0,\\[7pt] x_2 = -1. \end{gather*}

Позначимо на числовій осі \(x\) нулі \(x_{1} = 8\) та \(x_{2} = -1\) та визначимо знаки виразу \((x - 8)(x + 1)\) на кожному з отриманих проміжків.

Отже, \((-\infty; -1) \cup (8; +\infty)\) – множина розв’язків заданої нерівності.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні рівняння зі змінною під знаком модуля.

Задане рівняння рівносильне рівнянню \(|x|= \frac{4}{3}.\)

Геометрично модуль числа – це відстань на координатній прямій від точки, що зображує це число, до початку відліку. На відстані \(\frac{4}{3}\) від початку відліку знаходяться два числа: \(x_{1} = \frac{4}{3}\) і \(x_{2} = -\frac{4}{3}.\) Обидва ці числа і є коренями заданого рівняння.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул перетворень логарифмічних виразів: \begin{gather*} \log_{a} b^{k} = k \cdot \log_{a} b,\\[6pt] \log_{a^{k}} b = \frac{1}{k} \cdot \log_{a} b \end{gather*} та вміння їх використовувати для перетворення логарифмічного виразу.

Застосуємо ці формули:

Оскільки \(\log_{5} 5 = 1\), остаточно отримуємо: $$ \log_{5^{-2}} 5^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}\cdot 1 = -0{,}25. $$

Відповідь: Д.