Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

Точка \(A(-1; -3; 4)\) знаходиться на відстані \(|y|\) від площини \(xz.\)

Отже, правильна відповідь: \(|y|=|-3|=3.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів та знаходити їхне числове значення при заданих значеннях змінних.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом та теорем стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед \(ABCDA_1B_1C_1D_1.\)

З наведених прямих усі, крім \(AA_1\), є мимобіжними з \(CC_1.\)

Прямі \(CC_1\) та \(AA_1\) – паралельні, тому через них можна провести площину.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування показникових рівнянь.

\begin{gather*} 3^{x+4}=27,\\[7pt] 3^{x+4}=3^3,\\[7pt] x+4=3,\\[7pt] x=3-4,\\[7pt] x=-1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірності та елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати вибіркові характеристики рядів, графічну табличну форму подання статистичної інформації.

Користуючись діаграмою, визначаємо, що країна, яка посіла третє місце за обсягом виробництва, – це Гана.

У \(2009\) році обсяг виробництва Гани був приблизно \(660\) тис. тонн. Це значення маси належить проміжку \([600; 700].\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

Щоб розв’язати це завдання, достатньо скористатися формулами

\begin{gather*} a^m:a^n=a^{m-n}\ \text{та}\ (a^m)^n=a^{m*n}.\\[7pt] (a^6)^4:a^2=a^{24}:a^2=a^{24-2}=a^{22}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні нерівності.

Помножимо обидві частини нерівності на \(-5:\)

\begin{gather*} -\frac x5\gt 5\ |\cdot (-5),\\[6pt] x\lt -25. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь: \(x\in (-\infty; -25).\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Це завдання перевіряє знання суміжних та вертикальних кутів.

Нехай \(\angle AOC=x^\circ\), тоді \(\angle COB=(x+120)^\circ.\)

\(\angle AOC+\angle COB=180^\circ\) (як суміжні).

Отже,

\begin{gather*} x+x+120=180,\\[7pt] 2x=60,\\[7pt] x=30,\\[7pt] \angle AOC=30^\circ,\\[7pt] \angle COB=\alpha=150^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

33

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння мішаного типу з параметром.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння залежно від значення параметра.

Задане рівняння

ріносильне системі

Знайдемо корені рівняння

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x=0. $$

Для цього запишемо це рівняння у вигляді

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^a\cdot 5^x+5^x-5^{a-1}=0, $$

тобто

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^x\cdot (5^a-1)-5^{a-1}=0, $$

і розглянемо його як квадратне відносно \(5^x.\) Знайдемо дискримінант

Тоді:

1)

$$ (5^x)_1=\frac{(5^a-1)-(5^a+1)}{2\cdot 5}=-\frac 15. $$

Оскільки завжди \(5^x\gt 0\), то рівняння \(5^x=-\frac 15\) не має коренів.

2)

Рівняння \(5^x=5^{a-1}\) має єдиний корінь \(x=a-1.\)

Отже, рівняння

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x=0 $$

має єдиний корінь \(x=a-1\), відповідно нерівність

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x\ne 0 $$

виконується для всіх \(x\ne a-1.\)

Рівняння

$$ \sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a}=0 $$

рівносильно системі

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+(4a-4)x+4a^2=8a,\\ a\ge 0, \end{array}\right. \end{gather*}

тобто

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+(4a-4)x+4a^2-8a=0,\\ a\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Зауваження. Окремо розв'язувати нерівність

$$ x^2+(4a-4)x+4a^2\ge 0 $$

залежно від значень \(a\) непотрібно. Адже рівняння \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\) на множині розв'язків рівносильне системі

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0, \end{array}\right. \end{gather*}

яка, в свою чергу, рівносильна кожній із систем

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ f(x)\ge 0, \end{array}\right.\ \ \text{або}\ \ \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ g(x)\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

На практиці з останніх двох систем розглядаємо ту, у якій нерівність \(f(x)\ge 0\) чи \(g(x)\ge 0\) є простішою.

Розв'яжемо квадратне рівняння

причому \(x_1\ne x_2\) для всіх значень параметра \(a.\)

Зауваження. Квадратне рівняння

$$ x^2+(4a-4)x+4a^2-8a=0 $$

можна розв'язати, виконавши низку наступних перетворень:

\begin{gather*} x^2+4ax+4a^2-4x-8a=0,\\[7pt] (x+2a)^2-4(x+2a)=0,\\[7pt] (x+2a)(x+2a-4)=0, \end{gather*}

звідси отримуємо \(x+2a=0\) або \(x+2a-4=0\), тобто \(x=-2a\) або \(x=4-2a.\)

Залишилося врахувати обмеження на параметр \(a\mathord{:}\) \(a\ge 0\) та на \(x\mathord{:}\) \(x\ne a-1.\)

Значення \(x_1=-2a\) буде коренем заданого рівняння, якщо \(a\ge 0\) i \(x_1=-2a\ne a-1\), що виконується при \(a\ne \frac 13.\)

Значення \(x_2=4-2a\) буде коренем заданого рівняння, якщо \(a\ge 0\) i \(x_2=4-2a\ne a-1\), що виконується при \(a\ne \frac 53.\)

При \(a=\frac 13\) рівняння має єдний корінь

$$ x_2=4-2\cdot \frac 13=4-\frac 23=3\frac 13, $$

а при \(a=\frac 53\) – єдиний корінь

$$ x_1=-2\cdot \frac 53=-3\frac 13. $$

Позначимо область існування коренів на числовій прямій:
\(x=-2a\)

\(x=4-2a\)

Відповідь: рівняння не має змісту, якщо \(a\in (-\infty; 0)\);
                   \(\{-2a; 4-2a\}\), якщо \(a\in \left[0; \frac 13\right)\cup \left(\frac 13; 1\frac 23\right)\cup \left(1\frac 23; +\infty\right)\);
                   \(\{3\frac 13\}\), якщо \(a=\frac 13\);
                   \(\{-3\frac 13\}\), якщо \(a=1\frac 23\).