ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом та теорем стереометрії, означення перпендикулярних прямих у просторі.

Через пряму \(a\) та точку \(M\), що не належить цій прямій, можна провести єдину площину (позначимо її через \(\alpha\)), а в площині \(\alpha\) через точку \(M\) можна провести єдину пряму, перпендикулярну до прямої \(a.\)

Отже, через точку \(M\), що не належить прямій \(a\), можна провести лише одну пряму, яка перетинає пряму \(a\) і перпендикулярна до неї.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші текстові задачі арифметичним способом.

Розв’язання завдання зводиться до знаходження чисел за відомим відношенням між ними. Оскільки перший фахівець отримав четверту частину всіх грошей, то він отримав $$ 3000 \cdot \frac{1}{4} = 750\ \text{грн}. $$ Тоді другий фахівець, що отримав решту, отримав $$ 3000 - 750 = 2250\ \text{грн}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння: щоб вказати проміжок, якому належить корінь заданого лінійного рівняння, потрібно спочатку його знайти.

Розділимо обидві частини рівняння на \(0{,}5\mathord{:}\) \begin{gather*} 0{,}5(x - 4) = 1{,}5,\\[6pt] x - 4 = \frac{1{,}5}{0{,}5},\\[6pt] x - 4 = 3. \end{gather*}

Перенесемо \(-4\) в праву частину рівняння, змінивши знак на протилежний: $$ x = 3 + 4, $$ \(x = 7\) – корінь рівняння, він належить проміжку \((4; 8]\).

Зазначимо, що розділити вираз на \(0{,}5\) – це рівносильно множенню його на \(2\), тому обидві частини заданого рівняння можна спочатку не розділити на \(0{,}5\), а помножити на \(2\mathord{:}\) $$ 2 \cdot 0{,}5(x - 4) = 2 \cdot 1{,}5, $$ звідки \begin{gather*} x - 4 = 3, \\[7pt] x = 7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вертикальні кути. Трикутники. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє знання властивостей вертикальних кутів та вміння користуватися теоремою про суму кутів трикутника.

Катет \(CB\) і гіпотенуза \(AB\) лежать на прямих, що перетинаються під кутом \(55^\circ\) (див. рисунок). Зазначений на рисунку кут, градусна міра якого дорівнює \(55^\circ\), та \(\angle ABC\) є вертикальними. Оскільки вертикальні кути рівні, то \(\angle ABC = 55^\circ\).

Сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ\), тобто $$ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ. $$ За умовою трикутник \(ABC\) є прямокутним: \(\angle ACB = 90^\circ\). Отже, $$ \angle BAC = 180^\circ - (90^\circ + 55^\circ) = 35^\circ. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Комбінації геометричних тіл.

Це завдання перевіряє вміння будувати комбінацію двох геометричних тіл і використовуючи їх властивості, знаходити об’єм конуса.

На рисунку зображено конус, навколо якого описано трикутну піраміду \(SABC.\) Точка \(O\) – центр кола основи конуса – одночасно є основою висоти конуса і висоти описаної навколо нього піраміди. Коло основи конуса є колом, вписаним у трикутник \(ABC\) (за означенням конуса, вписаного в піраміду). Твірна \(SK = 4\), \(S_{\Delta ABC} = 50\sqrt{3}\), периметр трикутника \(ABC\) дорівнює \(50.\)

Для обчислення об’єму \(V\) конуса потрібно знати його радіус \(OK\) та висоту \(SO\): $$ V = \frac{1}{3}\pi OK^{2} \cdot SO. $$ Використаємо формулу $$ S_{\Delta ABC} = pr, $$ де \(p\) – півпериметр трикутника \(ABC\), \(r = OK.\) Радіус \(OK\) визначаємо за цією формулою:

У прямокутному трикутнику \(SOK\) відома гіпотенуза \(SK\) та катет \(OK.\) За теоремою Піфагора визначаємо висоту конуса:

Тоді

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння спрощувати буквений вираз, використовуючи формули скороченого множення, винесення спільного множника за дужки, зведення дробів до спільного знаменника і скорочення дробів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення:

Підставляємо значення \(a = 0{,}25\), \(b = 4{,}5\) в отриманий вираз: $$ \frac{3}{4{,}5 - 2 \cdot 0{,}25} = 0{,}75. $$

Відповідь: \(0{,}75.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння за допомогою заміни, після чого рівняння зводиться до квадратного.

Зробимо заміну \(\log_{5} x = t\). Тоді рівняння у нових змінних набуває вигляду $$ t^{2} + t - 2 = 0, $$ за теоремою Вієта корені цього рівняння мають задовольняти рівності \begin{gather*} t_{1} \cdot t_{2} = -2,\\[7pt] t_{1} + t_{2} = -1. \end{gather*} Отже, \begin{gather*} t_{1} = -2,\\[7pt] t_{2} = 1. \end{gather*}

Повертаємось до заміни: $$ \left[\begin{array}{l} \log_{5} x = -2,\\ \log_{5} x = 1. \end{array}\right. $$

Звідки $$ \left[\begin{array}{l} x_{1} = 5^{-2} = 0{,}04\\ x_{2} = 5^{1} = 5. \end{array}\right. $$ Отже, задане рівняння має два корені, їх сума дорівнює $$ 0{,}04 + 5 = 5{,}04. $$

Відповідь: \(5{,}04.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули суми арифметичної прогресії.

Всі дистанції, що долав плавець кожного тренування, поки не досягнув результату \(1000\) м, утворюють арифметичну прогресію. За умовою \(a_{1} = 450\) м, \(d = 50\) м, \(a_{n} = 1000\) м.

Визначимо \(n\) за формулою загального члена $$ a_{n} = a_{1} + d(n - 1). $$ Підставимо в цю формулу \(a_{1} = 450\), \(d = 50\) і \(a_{n} = 1000.\) Отримаємо $$ 1000 = 450 + 50(n - 1), $$ звідки \(n = 12.\)

За ці \(12\) тренувань плавець проплив всього

Оскільки плавець тренувався тричі на тиждень, то за \(10\) тижнів він провів \(30\) тренувань. Під час кожного з останніх \(18\) тренувань плавець пропливав \(1000\) м, тому за ці \(18\) тренувань плавець проплив всього $$ 18 \cdot 1000 = 18000\ \text{м}. $$ Отже, за перші \(10\) тижнів тренувань плавець проплив всього

Відповідь: \(26{,}7.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, означення периметра паралелограма та ознаки рівності прямокутних трикутників.

Нехай \(ABCD\) – заданий паралелограм, \(BO\) – перпендикуляр, \(AK = 6\) см, \(KD = 4\) см, \(AO = 5\) см (див. рисунок).

1. \(AD = AK + KD = 6 + 4 = 10\) см. Оскільки \(AB\) і \(AK\) – радіуси кола з центром у точці \(A\), то \(AB = AK = 6\) см. Тоді периметр паралелограма \(ABCD\) дорівнює сумі довжин усіх сторін паралелограма, тобто

2. Проведемо діагональ \(BD\) (див. рисунок).

Прямокутні трикутники \(AOB\) та \(BOD\) рівні \((BO\) – спільний катет, \(AO = OD\), оскільки \(AO = 5\) см, \(AD = 10\) см\().\) Тому \(BD = AB = 6\) см.

Відповідь: 1. \(32.\)
                   2. \(6.\)