ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Чотирикутники. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи, вміння знаходити площу ромба та об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислуємо за формулою: $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

За умовою завдання основою піраміди є ромб, діагоналі якого \(20\ \text{см}\) і \(12\ \text{см}.\) Площу основи (ромба) обчислюємо за формулою $$ S_\text{осн}=\frac 12 d_1d_2=\frac 12\cdot 20\cdot 12= 120\ \text{см}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Обчислимо $$ 2\sqrt{m+m+m}=2\sqrt{3m}. $$

При \(m=\frac{1}{27}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості медіани трикутника, центра описаного кола трикутника.

I. Серединний перпендикуляр до сторони рівностороннього трикутника ділить його на два рівних трикутники. \(\Delta ADB=\Delta CDB\) (за двома катетами). Твердження є правильним.

II. Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника є центром описаного кола. У прямокутному трикутнику центр описаного кола – середина гіпотенузи. Отже, твердження є правильним.

III. У тупокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться поза трикутником. Отже, твердження є неправильним.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.

Розв'яжемо систему: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 2x-\frac y3=7,\\ 4x+\frac{2y}{3}=6\ | : 2, \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x-\frac y3=7,\\ 2x+\frac y3=3. \end{array} \right. \end{gather*}

Почленно додамо рівняння: $$ 4x=10,\ \ x=10:4,\ \ x=2,5. $$ Підставимо значення \(x\) у перше рівняння: \begin{gather*} 2\cdot 2,5-\frac y3=7,\ \ 5-\frac y3=7,\\[6pt] -\frac y3=2,\ \ y=-6. \end{gather*} \((2,5; -6)\) – розв'язок системи.

Отже, \(x_0+y_0=2,5+(-6)=-3,5.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми геометричної прогресії, її властивостей.

\((b_n)\) – геометрична прогресія. \(S_5=32,\ \ S_4=20.\)

Визначаємо \(b_5.\)

Отже, \(S_5-S_4=b_5=32-20=12.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосували властивості логарифмів: \begin{gather*} \log_a b^n=n\log_a b,\\[7pt] \log_{a}(b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння.

Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} 3^{x^2}=3^4,\ \ x^2=4,\\[7pt] x=2\ \ \text{або}\ \ x=-2. \end{gather*}

Рівняння має два корені. Найменший з них \(x=-2.\) Він належить проміжку \([-2; 0).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості трапеції, прямокутного трикутника.

\(AK:KD=3:2.\) За властивістю паралелограма \(BC=AD.\) $$ KD=\frac 25AD=\frac 25\cdot 20=8\ \text{см}. $$ \(BKDC\) – рівнобічна трапеція.

\(\angle AKB=\angle KBM=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) (внутрішні різносторонні при паралельних прямих \(BC\ ||\ KD\) і січною \(BK\)). \(\angle KBC=\angle DCP=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) як кути при основі рівнобедреної трапеції.

У \(\Delta DPC\ (\angle P=90^\circ)\ PC=6\ \text{см}, \angle C=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\) $$ CD=\frac{PC}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\frac{6}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}. $$

Площу паралелограма знаходимо за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot b\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha},\\[6pt] S=CD\cdot BC\sin C=\frac{6}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\cdot 20\cdot\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\\[6pt] =120\frac{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=120\ \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Найбільше значення функції \(y=f(x),\) на відрізку \([1; 9]\) дорівнює \(7.\) Правильна відповідь – Г.

2. Найменше значення функції на відрізку \([1; 3]\) дорівнює \(5.\) Правильна відповідь – Д.

3. \(f(x)\lt 0\) при \(x\in (5; 7).\) Найбільше ціле значення \(x,\) за якого справджується нерівність \(x=6.\) Правильна відповідь – В.

Відповідь: 1Г 2Д 3В.