Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 185

Математика. Всі запитання починаючи з 185

186187188189190191192193194195196197198199200 ▶

Завдання 186 з 2199

Розв'яжіть нерівність $\left(\dfrac\pi4\right)^{\textstyle x}\lt\left(\dfrac4\pi\right)^3$.

А$(-3; +\infty)$

Б$(3; +\infty)$

В$(-\infty; 3)$

Г$(-\infty; -3)$

Д$\left(-\infty; \dfrac 13\right)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} \left(\frac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{\textstyle x}\lt \left(\frac{4}{\mathbf{\pi}}\right)^3,\\[6pt] \left(\frac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{\textstyle x}\lt \left(\frac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{-3}. \end{gather*}

Використаємо властивість показникової функції. \begin{gather*} \frac{\mathbf{\pi}}{4}\lt 1. \end{gather*}

Функція $y=a^x$ при $0\lt a\lt 1$ спадає.

Тому нерівність $ \left(\dfrac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{\textstyle x}\lt \left(\dfrac{\mathbf{\pi}}{4}\right)^{-3}$ рівносильна нерівності $x\gt -3.$

Отже, $x\in (-3; +\infty).$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6193

Завдання 187 з 2199

У прямокутнику $ABCD{:}$ $BC=80$, $AC=100.$ Через точки $M$ i $K$, що належать сторонам $AB$ i $BC$ відповідно, проведено пряму, паралельну $AC.$ Знайдіть довжину більшої сторони трикутника $MBK$, якщо $BK=20.$

А$60$

Б$50$

В$30$

Г$25$

Д$15$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей подібних трикутників.

Розглянемо $\Delta ABC$, $\angle B = 90^\circ$, $MK\ ||\ AC$.

За властивістю трикутника (пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього подібний), $\Delta MBK$ подібний $\Delta ABC.$

\begin{gather*} \frac{BK}{BC} = \frac{MK}{AC},\\[6pt] \frac{20}{80} = \frac{MK}{100},\\[6pt] MK = \frac{20\cdot100}{80} = 25. \end{gather*}

$\Delta BKM$ – прямокутний, тому більша сторона – гіпотенуза $MK.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6194

Завдання 188 з 2199

Укажіть множину всіх значень $a$, при яких виконується рівність $|a^3-a^2|=a^3-a^2.$

А$[1; +\infty)$

Б$\{0\}\cup [1; +\infty)$

В$(-\infty; -1] \cup \{0\}$

Г$[0; 1]$

Д$(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє знання модуля числа.

За означенням модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] a^3 - a^2 \ge 0,\\[7pt] a^2(a - 1) \ge 0. \end{gather*}

Розв’яжемо методом інтервалів:
$a = 0$, $a = 1$ – нулі функції.

\begin{gather*} a \in \{0\} \cup [1; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6195

Завдання 189 з 2199

Функція $f(x)$ має в точці $x_0$ похідну $f'(x_0)=-4.$ Визначте значення похідної функції $g(x)=2\cdot f(x)+7x-3$ в точці $x_0.$

А$15$

Б$12$

В$-1$

Г$-4$

Д$-8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Знаходимо похідну функції $g(x)$: \begin{gather*} g'(x) = 2f'(x) + 7. \end{gather*}

При $x = x_0$

\begin{gather*} g'(x_0) = 2f'(x_0) + 7 = 2\cdot (-4) + 7 = -8 + 7 = -1. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6196

Завдання 190 з 2199

До кожного виразу (1–4) при $a\gt 0$ доберіть тотожно йому рівний (А – Д).

1$\dfrac{2a^5}{a^6}$

2$(2a)^5\cdot a^6$

3$(2a^6)^5$

4$\sqrt[\scriptstyle 6]{64a^5}$

А$32a^{11}$

Б$2a^{\frac 56}$

В$2a^{\frac 65}$

Г$2a^{-1}$

Д$32a^{30}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів, знання властивостей кореня $n\text{-го}$ степеня.

Використаємо властивості степенів з раціональними показниками.

1. $\dfrac{2a^5}{a^6} = \dfrac{2}{a} = 2a^{-1}.$

Отже, 1 – Г.

2. $(2a)^5 \cdot a^6 = 2^5 \cdot a^5 \cdot a^6 = 32a^{11}.$

Отже, 2 – А.

3. $(2a^6)^5 = 2^5 \cdot (a^6)^5 = 32a^{30}.$

Отже, 3 – Д.

4. $\sqrt[\scriptstyle 6]{64a^5} = \sqrt[\scriptstyle 6]{64}\cdot \sqrt[\scriptstyle 6]{a^5} = 2a^{\textstyle \frac{5}{6}}.$

Отже, $4$ – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Д, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6198

Завдання 191 з 2199

Кожній точці (1–4) поставте у відповідність функцію (А – Д), графіку якої належить ця точка.

Точка

1$O(0; 0)$

2$M(0; -1)$

3$N(-1; 0)$

4$K(0; 1)$

Функція

А$y=2x+2$

Б$y=\mathrm{ctg}\ x$

В$y=\mathrm{tg}\ x$

Г$y=\sqrt{x}-1$

Д$y=2^x$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою.

Підставимо координати точки в рівняння, яким задана функція. Якщо координати точки перетворюють рівняння в правильну рівність, то вона лежить на графіку функції.

1. $O(0; 0)\ y = \mathrm{tg}\ x,$ $0 = \mathrm{tg}\ 0.$
Отже, 1 – В.

2. $M(0; -1)\ y = \sqrt{x} - 1$, $-1 = \sqrt{0} - 1.$
Отже, 2 – Г.

3. $N(-1; 0)\ y = 2x + 2$, $0 = 2(-1) + 2.$
Отже, 3 – А.

4. $K(0; 1)\ y = 2^x$, $1 = 2^0.$
Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6199

Завдання 192 з 2199

Розв'яжіть рівняння (1–4). Установіть відповідність між кожним рівнянням та кількістю його коренів (А – Д) на відрізку $[-5; 5].$

Рівняння

1$\cos^2 x-\sin^2 x=1$

2$\log_3 x=-2$

3$\dfrac{x^3-4x}{x^3+8}=0$

4$x^4+5x^2+4=0$

Кількість коренів на відрізку $[-5; 5].$

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дчотири

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування рівнянь.

\begin{gather*} \cos^2 x - \sin^2 x = 1,\\[7pt] \cos 2x = 1,\\[7pt] 2x = 2\mathbf{\pi}n,\ n \in Z,\\[7pt] x = \mathbf{\pi}n,\ n \in Z,\\[7pt] -5 \le \mathbf{\pi}n \le 5,\\[6pt] -\frac{5}{\mathbf{\pi}} \le n \le \frac{5}{\mathbf{\pi}},\\[6pt] n = -1; 0; 1. \end{gather*}

Рівняння має три корені.

Отже, 1 – Г.

2. $\log_3 x = -2$, $x = 3^{-2}$, $x = \dfrac{1}{9}$ – один корінь.

Отже, 2 – Б.

\begin{gather*} \frac{x^3 - 4x}{x^3 + 8} = 0,\ \ \left\{\begin{array}{l} x^3 - 4x = 0, \\ x^3 + 8 \ne 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x(x^2 - 4) = 0, \\ x^3 \ne -8, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x = 0,\ \ x = 2,\ \ x = -2,\\ x\ne -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, рівняння має два корені $x = 0$, $x = 2.$

Отже, 3 – В.

4. $x^4 + 5x^2 + 4 = 0.$

Нехай

\begin{gather*} x^2 = t \ge 0,\\[7pt] t^2 + 5t + 4 = 0,\\[7pt] D = 25 - 4\cdot 4 = 9,\\[6pt] t_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1,\\[6pt] t_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4. \end{gather*}

Обидва значення $t < 0$, тому початкове рівняння не має жодного кореня.

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – В, 4 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6200

Завдання 193 з 2199

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Пряма $CB$

2Пряма $CD_1$

3Пряма $AC$

4Пряма $A_1B$

Закінчення речення

Апаралельна площині $AA_1B_1B.$

Бперпендикулярна площині $AA_1B_1B.$

Вналежить площині $AA_1B_1B.$

Гмає з площиною $AA_1B_1B$ лише дві спільні точки.

Дутворює з площиною $AA_1B_1B$ кут $45^\circ.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння знаходити величини кутів у просторі, взаємне розміщення прямих та площин у просторі.

1. \begin{gather*} \left.\begin{array}{l} CB\!\perp\!BA,\\ CB\!\perp\!BB_1, \end{array}\right| \Rightarrow CB\!\perp\!(ABB_1). \end{gather*}

Отже, 1 – Б.

2. \begin{gather*} \left.\begin{array}{l} CD \in (CC_1D),\\ (CC_1D)\ ||\ (ABB_1), \end{array}\right| \Rightarrow CD_1\ ||\ (ABB_1). \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. \begin{gather*} \left.\begin{array}{l} CB\!\perp\!(ABB_1),\\ CA\ –\ \text{похила},\\ BA\ –\ \text{проекція похилої}\ CA\ \text{на}\ (ABB_1) \end{array}\right| \Rightarrow \angle(CB,(ABB_1)) = \angle CAB = 45^\circ. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

4. $A_1B \in (ABB_1).$

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д, 4 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6201

Завдання 194 з 2199

Батьки разом із двома дітьми: Марійкою ($4$ роки) та Богданом ($7$ років) – збираються провести вихідний день у парку атракціонів. Батьки дозволяють кожній дитині відвідати не більше трьох атракціонів і кожний атракціон – лише по одному разу. Відомо, що на атракціони «Електричні машинки» і «Веселі гірки» допускають лише дітей старше $6$ років. На «Паровозик» Богдан не піде. Для відвідування будь-якого атракціону необхідно купити квиток для кожної дитини. Скориставшись таблицею, визначте максимальну суму коштів (у $\textit{грн}$), що витратять батьки на придбання квитків для дітей.

Назва атракціону	Вартість $1$ квитка для $1$ дитини, $\textit{грн}$
Веселі гірки	$17$
Паровозик	$16$
Електричні машинки	$20$
Карусель	$12$
Батут	$15$
Дитяча рибалка	$8$
Лебеді	$13$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгбера і початки аналізу. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

За умовою задачі складемо таблицю:

Назва атракціону	Марійка	Богдан
Веселі гірки	—	$17$
Паровозик	$16$	—
Електричні машинки	—	$20$
Карусель	$12$	$12$
Батут	$15$	$15$
Дитяча рибалка	$8$	$8$
Лебеді	$13$	$13$

Максимальна вартість трьох атракціонів для Марійки становить: $$ 16+15+13=44\ \textit{грн}, $$ для Богдана: $$ 20+17+15=52\ \textit{грн}. $$

Максимальна сума коштів, що витратять батьки: $$ 44+52=96\ \textit{грн}. $$

Відповідь: 96.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6202

Завдання 195 з 2199

Скільки існує різних дробів $\dfrac mn$, якщо $m$ набуває значень $1$; $2$ або $4$, а $n$ набуває значень $5$; $7$; $11$; $13$ або $17$?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Дріб $\dfrac mn$, де $m$ набуває значень $1$, $2$ або $4$, $n$ набуває значень $5$, $7$, $11$, $13$, $17$.

$m$ може набувати $3$ значення, $n$ – $5$. Отже, різних дробів можна скласти
$3 \cdot 5 = 15$ способами.

Відповідь: $15.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6203

Завдання 196 з 2199

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases}y-x=9,\\ \dfrac{x+8}{2y-5}=2.\end{cases}$
Запишіть у відповідь добуток $x_0\cdot y_0$, якщо пара $(x_0; y_0)$ є розв'язком цієї системи рівнянь.

Впишіть відповідь:

-18

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

ОДЗ: \begin{gather*} 2y - 5 \ne 0,\\[7pt] 2y \ne 5,\\[7pt] y \ne 2{,}5. \end{gather*}

Розв'яжемо методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ \dfrac{y - 9 + 8}{2y - 5} = 2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ \dfrac{y - 1}{2y - 5} = 2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ 4y - 10 = y - 1, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ 3y = 9, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x = -6,\\ y = 3. \end{array}\right. \end{gather*}

$(-6; 3)$ – розв'язок системи.

Добуток $x_0\cdot y_0 = -6\cdot 3 = -18.$

Відповідь: $-18.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6204

Завдання 197 з 2199

Обчисліть значення виразу $\log_a 500-\log_a 4$, якщо $\log_5 a=\dfrac 14.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуємо властивості логарифма, спростимо вираз:

\begin{gather*} \log_a 500 - \log_a 4 = \log_a \frac{500}{4} = \log_a 125 = \log_a 5^3 =\\[6pt] =3\log_a 5 = \frac{3}{\log_5 a} = \frac{3}{\frac{1}{4}} = 3 \cdot 4 = 12. \end{gather*}

Відповідь: $12.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6205

Завдання 198 з 2199

У трикутнику $ABC$ основа висоти $AK$ лежить на продовженні сторони $BC$ (див. рисунок). $AK=6$, $KB=2\sqrt{3}.$ Радіус описаного навколо трикутника $ABC$ кола дорівнює $15\sqrt{3}.$ Визначте довжину $AC.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів та наслідку з неї, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

1. У $\Delta AKB\ (\angle K = 90^\circ)$ \begin{gather*} \mathrm{tg}\ B = \frac{AK}{KB} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \end{gather*} Отже, $\angle B = 60^\circ$.

2. $\angle KBA + \angle ABC = 180^\circ$ (суміжні), $\angle ABC = 120^\circ$.

3. За наслідком з теореми синусів:

\begin{gather*} \frac{AC}{\sin B} = 2R,\\[6pt] AC = 2R\sin B = 2\cdot 15\sqrt{3}\cdot \sin 120^\circ = \\[6pt] =30\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ = 30\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 45. \end{gather*}

Відповідь: $45.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6206

Завдання 199 з 2199

Обчисліть $\dfrac{1}{\pi}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-5}^0 \sqrt{25-x^2}\ dx$, використовуючи рівняння кола $x^2+y^2=25$, зображеного на рисунку.

Впишіть відповідь:

6.25

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

$\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}\ dx$ – площа фігури, обмеженої графіком функції $y=\sqrt{25-x^2}$,
$y \ge 0$, $x \in [-5; 0].$

\begin{gather*} S_{\text{фігури}}=\frac{1}{4}S_{\text{кола}}=\frac{1}{4}\mathrm{\pi}R^2=\frac{1}{4}\mathrm{\pi}\cdot 25=\frac{25}{4}\mathrm{\pi},\\[6pt] \frac{1}{\mathrm{\pi}}\mathop{\int}\limits_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}\ dx=\frac{1}{\mathrm{\pi}}\cdot \frac{25\mathrm{\pi}}{4}=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}=6{,}25. \end{gather*}

Відповідь: $6{,}25.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6207

Завдання 200 з 2199

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є рівнобічна трапеція $ABCD$. Основа $AD$ трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу $BC.$ Через бічне ребро $CC_1$ призми проведено площину паралельно ребру $AB.$ Знайдіть площу утвореного перерізу (у см$^2$), якщо об'єм призми дорівнює $672$ см$^3$, а її висота – $8$ см.

Впишіть відповідь:

104

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак паралельності прямої та площини у просторі.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – пряма призма, тому $CC_1 \perp (ABC)$, $ABCD$ – трапеція, $AB=CD.$

Додаткова побудова: $CK\ ||\ AB.$

$CC_1\ ||\ BB_1$, $CK\ ||\ AB$, $CK\cap CC_1$, $AB\cap BB_1$, звідси, за ознакою паралельності площин $(CKC_1)\ ||\ (ABB_1).$

Січна площина $(CC_1K)$ перетинає паралельні площини по паралельних прямих. Отже, $KK_1\ ||\ AA_1$, $C_1K_1\ ||\ CK.$

$AB\ ||\ CK$, $CK\in (CC_1K)\Rightarrow AB\ ||\ (CC_1K).$

Прямокутник $KCC_1K_1$ – шуканий переріз.

\begin{gather*} V=S_\text{основи}\cdot H=S_{ABCD}\cdot CC_1;\\[7pt] CC_1=8\ \text{см};\\[7pt] V=672\ \text{см}^3. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} S_\text{основи}=\frac{672}{8}=84\ \text{см}^2. \end{gather*}

Нехай $BC=x$ см, тоді $AD=CE=6x$ см.

\begin{gather*} S_\text{основи}=S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CE, \end{gather*}

де $CE \perp AD$ – висота трапеції.

\begin{gather*} \frac{x+6x}{2}\cdot 6x=84;\\[6pt] 21x^2=84;\\[7pt] x^2=4;\\[7pt] x=2;\\[7pt] BC=2\ \text{см};\\[7pt] AD=CE=12\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} DE=\frac{AD-BC}{2}=\frac{12-2}{2}=5\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CE^2+ED^2;\\[7pt] CD^2=12^2+5^2=144+25=169;\\[7pt] CD=13\ \text{см}. \end{gather*}

$AB=CD$ (за умовою), $AB=CK$ (протилежні сторони паралелограма).

Отже, $CK=13$ см.

\begin{gather*} S_{CC_1K_1K}=CC_1\cdot CK=8\cdot 13=104\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $104.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6208

Назва атракціону	Вартість \(1\) квитка для \(1\) дитини, \(\textit{грн}\)
Веселі гірки	\(17\)
Паровозик	\(16\)
Електричні машинки	\(20\)
Карусель	\(12\)
Батут	\(15\)
Дитяча рибалка	\(8\)
Лебеді	\(13\)