ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Числові множини та співвідношення між ними. Функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання властивостей тригонометричних функцій.

Спростимо вираз зліва:

А \(1 - \sin^2 \alpha \lt 0\), \(\cos^2 \alpha \lt 0\) не виконується ні при якому значенні \(\alpha.\)

Б \begin{gather*} \cos \alpha \cdot \mathrm{tg}\ \alpha \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} не виконується.

В \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \lt 0\), \(1\lt 0\) не виконується ні при якому значенні \(\alpha.\)

Г \(1 - \cos^2 \alpha \lt 0\), \(\sin^2 \alpha \lt 0\) не виконується ні при якому значенні \(\alpha.\)

Д \begin{gather*} \sin \alpha \cdot \mathrm{ctg}\ \alpha\lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} виконується.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кулі до розв'язування стереометричних задач, уміння знаходити відстані та кути у просторі.

\(OO_1\) – відстань від центра кулі точки \(O\) до перерізу, тому \(OO_1\ \perp\ O_1A.\)

За теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, знання основної логарифмічної тотожності.

(\(3 = 2^{\log_2 3}\) за основною логарифмічною тотожністю).

Функція \(y = 2^x\) – зростаюча, тому $$ x \le \log_2 3. $$ Отже, \(x \in (-\infty; \log_2 3].\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, ромба, середньої лінії трикутника; вміння знаходити площу ромба, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

\(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\), \(\angle A = 60^\circ\), \(AB = 16\ \text{м}.\)

За властивістю прямокутника \(AC = BD.\)

\(\Delta ABC\ EF\) – середня лінія. Отже, \(EF = \dfrac{1}{2}AC.\)

Аналогічно,

$$ FK = EM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC. $$

\(EFKM\) – ромб.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей елементарних функцій, заданих формулою, парності та непарності функцій.

Для того, щоб функція була парна, необхідно виконання двох умов:
1) \(D(y)\) – симетрична відносно \((0; 0){;}\)
2) \(f(-x) = f(x)\).

А \(y = 4^x\), \(y(-x) = 4^{-x} = \dfrac{1}{4^x} \ne y(x).\)

Б \(y = x\), \(y(-x) = -x \ne y(x).\)

В \(y = \sqrt{x},\) \(D(y)\) несиметрична відносно \((0; 0).\)

Г \(y = \mathrm{tg}\ x\), \(y(-x) = \mathrm{tg}\ (-x) = -\mathrm{tg}\ x = -y(x).\)

Д \(y = |x|\), \( y(-x) = \lvert -x\rvert = |x| = y(x)\) – парна.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати на площині.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат, координати точки, кола на площині.

Центр кола знаходиться у точці \(N.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, порівнювати раціональні числа.

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

Корінь належить проміжку \((-20; -10).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання теореми Піфагора.

\(B_1D = 2\sqrt{3}\) см.

Нехай ребро куба дорівнює \(a.\)

\(AB = AD = a\) см, \(BD = a\sqrt{2}\) см.

У \(\Delta BB_1D\) \((\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа повної поверхні куба

Відповідь: Г.