ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, яку відображено на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(500 : 2 = 250.\) Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять другу половину, тобто \(250\) занять.

Сектор Teams візуально менший за чверть від усього круга: \(500:4=125.\) Отже, кількість занять у Teams менша за \(125.\)

А менша від \(150\)». – Правильно, оскільки цей сектор менший навіть за \(125.\)

Б становить половину від загальної кількості». – Неправильно (половину становлять заняття в Zoom).

В становить третину від загальної кількості». – Неправильно (третина – це приблизно \(167\) занять).

Г більша за кількість занять у Google Meet». – Неправильно (темно-сірий сектор менший за світло-сірий).

Д належить проміжку \([250; 400]\)». – Неправильно (у цьому проміжку – кількість занять у Zoom або сума кількостей занять на інших платформах: Teams + Google Meet).

Отже, лише твердження «менша від \(150\)» задовольняє умову.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

А також властивість арифметичного квадратного кореня:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік перетинає вісь \(y\) в точці \((0; 4).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус – тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертають трикутник, – висота конуса. Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і коренів, дій із ними.

Застосуймо властивості степенів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, зокрема властивостей чотирикутників, вписаних у коло.

I. Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин його діагоналей.

З нерівності трикутника для половини прямокутника відомо, що сума двох сторін більша за третю сторону (діагональ): \(a+b\gt d\), відповідно \(2(a+b)\gt 2d.\) Твердження неправильне.

II. Сума квадратів усіх сторін прямокутника дорівнює сумі квадратів його діагоналей.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного сторонами та діагоналлю:

\(a^2+b^2=d^2.\)

Помноживши обидві частини на \(2\), отримуємо:

\begin{gather*} 2(a^2+b^2)=2d^2;\\[7pt] 2a^2+2b^2=2d^2. \end{gather*}

Твердження правильне.

III. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює діагоналі прямокутника.

Центр описаного кола лежить на перетині діагоналей, а самі діагоналі – діаметри цього кола \((D=d).\) Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

\begin{gather*} \sin \pi x=1;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z;\\[6pt] x=\frac 12 +2n,\ n\in Z. \end{gather*}

Якщо \(n=0\), то \(x=\dfrac 12.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

За умовою сканер працює \(5\) хвилин, а швидкість сканування наведено в сторінках за секунду. Тому спершу виразімо хвилини в секундах:

\begin{gather*} 1\ \text{хв}=60\ \text{с};\\[7pt] 5\ \text{хв}=5\cdot 60=300\ \text{с}. \end{gather*}

Сканер сканує \(1\) сторінку за \(6\) секунд.

Обчислімо кількість сторінок, які він зісканує за \(300\) секунд:

\begin{gather*} 300:6=50. \end{gather*}

Отже, за \(5\) хвилин сканер зісканує \(50\) сторінок.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст.

Завдання перевіряє знання таблиці похідних елементарних функцій, правила диференціювання суми й уміння розв'язувати задачі на використання фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом:

\begin{gather*} x(t)=6t^2. \end{gather*}

Фізичний зміст похідної: швидкість \(v(t)\) прямолінійного руху матеріальної точки в момент часу \(t\) дорівнює похідній від функції координати \(x(t)\) за часом:

\begin{gather*} v(t)=x'(t). \end{gather*}

За таблицею похідних:

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] v(t)=(6t^2)'=6\cdot 2t=12t. \end{gather*}

Отже, швидкість руху матеріальної точки в будь-який момент часу \(t\) визначають за формулою:

\begin{gather*} v(t)=12t. \end{gather*}

Відповідь: Б.