Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми n-перших членів та n-го члена арифметичної прогресії.

Число \(27\) – член арифметичної прогресії, \(d=5.\)

Члени арифметичної прогресії:

Отже, числа з проміжку \(60;\ 75\) – це \(62;\ 67;\ 72.\)

Сума цих чисел: \(62+67+72=201.\)

Відповідь: 201.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

 

1 – Г. У \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) \(\angle B+\angle A=90^\circ,\) \(\angle B=24^\circ,\) тому \(\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.\) \(\angle BAC=66^\circ.\)

2 – B. \(\Delta ABK\) – рівнобедрений, \(AK=KB\) за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle B=66^\circ.\)

$$ \angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ. $$

3 – A. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO -\) медіана \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника \(KO - \) висота, \(KO\perp AB.\) \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} \(\Delta ACB - \) прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних та степеневих виразів.

1. Якщо \(\frac na=3,\) то \(a=\frac n3\) – Д.

2. Якщо \(1+\log_3n=\log_3a,\) то \(\log_33+\log_3n=\log_3a,\) \(\log_3(3n)=\log_3a,\ 3n=a\) – A.

3. Якщо \(3^n\cdot 3=3^a,\) то \(3^{n+1}=3^a,\ n+1=a.\) – Б.

Застосували властивості логарифмів та степенів:

\begin{gather*} \log_aa=1,\ \ \log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c),\\[7pt] a^n\cdot a^m=a^{n+m}. \end{gather*}

Відповідь: 1Д, 2А, 3Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.

Схематично графіки функцій виглядають таким чином:

 

1. \(E(y)=[0;\ +\infty)\) – B.

 

2. Графік симетричний відносно осі \(y\) – A.

3. Функція спадна, тому найменше значення функція набуває при найбільшому значенні аргумента – Г.

Відповідь: 1В 2А 3Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

Розв'яжемо тригонометричне рівняння:

\begin{gather*} \sin 4x=-1,\\[6pt] 4x=-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}+2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\ \ |\ :4\\[6pt] x=-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{8}+\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}n}{2},\ n\in \mathbb{Z}\\[6pt] \text{при}\ n=0\ \ x=-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{8};\\[6pt] \text{при}\ n=1\ \ x=-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{8}+\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}=\frac{-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{8}=\frac{3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{8} - \text{корінь рівняння}. \end{gather*}

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Спростимо вираз:

\begin{gather*} \frac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a(a+b)}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\\[6pt] =\frac{a}{a+b}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a-(2a+b)}{a+b}=\frac{a-2a-b}{a+b}=\\[6pt] =\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-(a+b)}{a+b}=-1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного трикутника, знаходження площі паралелограма, до розв'язування планіметричних задач.

За умовою \(AD=3BK,\) де \(BK\) – висота паралелограма.

У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\) за властивістю катета, який лежить напроти кута \(30^\circ,\) \(AB=2BK,\) \(BK=6\ \text{см}.\) $$ AD=3BK=3\cdot 6=18\ (\text{см}). $$

Площа паралелограма \(S=ah_a,\) де \(a=AD, h_a=BK.\) $$ S=18\cdot 6=108\ (\text{см}^2). $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом \(x(t)=6t^2.\) За фізичним змістом похідної $$ v(t)=x'(t)=(6t^2)'=12t. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних та раціональних рівнянь.

Розв'яжемо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3y}=\frac 2x, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}

Застосуємо основну властивість пропорції до першого рівняння:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 1\cdot x=2\cdot 3y, \\ x-y=30, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}

Методом підстановки маємо:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ 6y-y=30, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ 5y=30, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ y=6, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6\cdot 6, \\ y=6, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x=36, \\ y=6. \end{array} \right. \end{gather*}

\((36;\ 6)\) – розв'язок системи, тому \(36+6=42\) – правильна відповідь.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердження.

I.   Середня лінія трапеції не проходить через точку перетину її діагоналей.

II.  Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники \(\Delta ABC\ne \Delta ACD.\)

III. \(AC=BD\) (властивість рівнобічної трапеції). \(\Delta ABC=\Delta DCB\) (І ознака).

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

\begin{gather*} (\frac 17\cdot \sqrt[3]{7})^3=\left(\frac 17\right)^3\cdot (\sqrt[3]{7})^3=\frac{1}{7^3}\cdot 7=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49}. \end{gather*}

Застосували властивості:

\begin{gather*} (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n;\\[6pt] \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n};\\[6pt] (\sqrt[n]{a})^n=a\ \text{при}\ a\ge 0. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.

Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:

\(ABCD\) – квадрат.

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

Плата зросла на \(161-140=21\ (\text{грн}).\)

\(21\) гривня становить від \(140\) гривень: $$ \frac{21}{140}\cdot 100\text{%}=15\text{%}. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.

Нулем функції називається таке значення аргумента, при якому значення функції дорівнює нулю.

На графіку функції це точка перетину з віссю \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.