ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом і рівняння з параметром.

Перше рівняння \((x-1)^2+(y+2)^2=16\) задає коло із центром у точці \(C(1; -2)\) радіуса \(R=4.\) Друге рівняння \(y=3a-(x-1)^2\) задає параболу, вітки якої напрямлені вниз, а вершина – у точці \((1; 3a).\)

Обидва графіки симетричні відносно вертикальної прямої \(x=1.\)

Щоб система мала єдиний розв'язок, єдина точка перетину графіків обов'язково повинна лежати на осі симетрії \(x=1\) (будь-яка точка поза віссю \(x=1\) через симетрію давала б парну кількість точок перетину).

Підставмо \(x=1\) у перше рівняння:

\begin{gather*} (x-1)^2+(y+2)^2=16;\\[7pt] (y+2)^2=16. \end{gather*}

Отримуємо дві точки кола, що лежать на осі симетрії:

1. \(y+2=4.\)

\(y_1=2\) (найвища точка кола).

2. \(y+2=-4.\)

\(y_2=-6\) (найнижча точка кола).

Оскільки ордината вершини параболи дорівнює \(y=3a\), вона має збігатися з однією із цих точок:

\begin{gather*} 1.\ 3a=2;\\[6pt] a=\frac 23. \end{gather*}

Вершина параболи розташована в найвищій точці кола \((1; 2).\) Оскільки вітки параболи напрямлені вниз, вона перетинає коло ще у двох точках нижче. Усього система матиме \(3\) розв'язки (не підходить).

\begin{gather*} 2.\ 3a=-6;\\[6pt] a=-2. \end{gather*}

Вершина параболи розташована в найнижчій точці кола \((1; -6).\) Оскільки вітки напрямлені вниз, а все коло лежить у півплощині \(y\ge -6\), інших точок перетину немає. Система має єдиний розв'язок \((1; -6).\)

Відповідь: \(-2.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати дані, наведені на графіку.

Щоб визначити об'єм води через \(5\) годин, знайдімо на осі абсцис значення \(t=5\) год, проведімо перпендикуляр до перетину з графіком і зчитаймо відповідне значення ординати на осі \(V\), яке дорівнює \(15\) м\(^3.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Довжина відрізка.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач, складати лінійне рівняння з однією змінною для розв'язання текстових задач практичного змісту.

Нехай ширина меншої частини \(BC=x\) см, тоді ширина більшої частини \(AB=2x\) см. Оскільки за умовою вся ширина стелажа \(AC=AB+BC=147\) см, складімо рівняння:

\begin{gather*} 2x+x=147;\\[7pt] 3x=147;\\[7pt] x=49\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, ширина більшої частини

\begin{gather*} AB=2\cdot 49=98\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння моделювати залежність між величинами за допомогою змінної й обчислювати дріб, що показує частку елемента від загальної суми.

Нехай Оксана зліпила \(x\) вареників, тоді Тетяна зліпила \(3x\) вареників.

Усього дівчата зліпили:

\begin{gather*} x+3x=4x\ (\text{вареників}). \end{gather*}

Частка вареників, яку зліпила Тетяна від загальної кількості:

\begin{gather*} \frac{3x}{4x}=\frac 34. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати систему лінійних нерівностей.

\begin{gather*} \begin{cases} x\ge -4,\\ 2x\lt 5; \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x\ge -4,\\ x\lt 2{,}5. \end{cases} \end{gather*}

Знайдімо перетин розв'язків обох нерівностей на числовій прямій:

\begin{gather*} x\in [-4; 2{,}5). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Паралельність прямих і площин у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати взаємне розташування площин у просторі.

Площина грані \(A_1B_1C_1D_1\) паралельна площині грані \(ABCD\) як протилежній грані куба. За означенням, будь-яка пряма, що лежить у площині \((A_1B_1C_1D_1)\), паралельна площині \((ABCD).\)

Визначмо кількість усіх прямих, що проходять через обидві вершини чотирикутника \(A_1B_1C_1D_1{:}\)

• \(4\) прямі, що містять сторони (позначені блакитним кольором): \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(C_1D_1\), \(D_1A_1\);
• \(2\) прямі, що містять діагоналі (позначені червоним кольором): \(A_1C_1\), \(B_1D_1.\)

Усього таких прямих: \(4+2=6.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція \(y=f(x)\) спадає за \(x\in [1; 3].\) Більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів і знання формул скороченого множення.

Розкриймо квадрат суми за формулою \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) та зведімо подібні доданки:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання координат точки в просторі.

Точка дотику сфери й координатної площини \(xy\) є ортогональною проєкцією її центра \(M(-3; 1; 5)\) на цю площину. Для будь-якої точки, що лежить у площині \(xy\), координати \(x\) та \(y\) залишаються такими ж, як і в початкової точки, а координата \(z\) дорівнює нулю \((z=0).\) Тобто проєкцією точки \(M(-3; 1; 5)\) є точка \(N(-3; 1; 0).\)

Відповідь: Б.