ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами й визначати модуль (довжину) вектора.

Оскільки \(O(0; 0; 0)\) – початок координат, то координати векторів \(\overrightarrow{OA}\) і \(\overrightarrow{OB}\) збігаються з координатами точок \(A\) і \(B{:}\)

\begin{gather*} \overrightarrow{OA}(1; -2; 5);\\[7pt] \overrightarrow{OB}(-9; -7; 7). \end{gather*}

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, додамо їхні координати (першу – до першої, другу – до другої тощо).

\begin{gather*} \vec c=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB};\\[7pt] \vec c(1+(-9); -2+(-7); 5+7);\\[7pt] \vec c(-8; -9; 12). \end{gather*}

Модуль вектора обчислімо за формулою

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності.

Завдання перевіряє вміння визначати різницю арифметичної прогресії, заданої формулою її \(n\)-го члена.

Обчислімо перші два члени прогресії:

\begin{gather*} a_1=3-9\cdot 1=-6;\\[7pt] a_2=3-9\cdot 2=-15. \end{gather*}

За визначенням різниці \(d=a_2-a_1{:}\)

\begin{gather*} d=-15-(-6)=-15+6=-9. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості подібних трикутників, утворених перетином діагоналей трапеції, для обчислення довжин її невідомої основи й середньої лінії.

Оскільки основи трапеції паралельні \((BC\!\parallel\!AD)\), трикутники \(BOC\) та \(AOD\) подібні \((\Delta BOC\sim \Delta AOD)\) за двома кутами.

Відношення відповідних висот подібних трикутників дорівнює відношенню їхніх відповідних сторін (коефіцієнту подібності):

\begin{gather*} \frac{h_1}{h_2}=\frac{BC}{AD}=\frac 25. \end{gather*}

Підставмо \(BC=14\) см:

\begin{gather*} \frac{14}{AD}=\frac 25;\\[6pt] AD=\frac{14\cdot 5}{2}=35\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину середньої лінії трапеції:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} \frac{(a+5)^2}{13}=\frac{1}{13}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини на \(13{:}\)

\begin{gather*} (a+5)^2=1. \end{gather*}

Звідси \(a+5=1\), або \(a+5=-1\), отже, отримаємо корені \(a_1=1-5=-4\) й \(a_2=-1-5=-6.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих, раціональних і логарифмічних виразів.

1. \(3^{-5}:3^n=1.\)

\begin{gather*} 3^{-5-n}=3^0;\\[7pt] -5-n=0;\\[7pt] n=-5. \end{gather*}

Застосували властивості степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\ \text{i}\ a^0=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(\dfrac{2n}{3}=1.\)

Помножмо обидві частини рівняння на \(3{:}\)

\begin{gather*} 2n=3;\\[6pt] n=\frac 32. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(\log_9 3+\log_9 n=1.\)

\begin{gather*} \log_9 (3n)=1. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[7pt] 3n=9^1;\\[7pt] 3n=9;\\[7pt] n=3. \end{gather*}

Використали властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості та графіки.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=\sin x.\)

Функція \(y=\sin x\) є непарною за означенням, оскільки для всіх дійсних \(x\) виконується рівність \(\sin(-x)=-\sin x.\) Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Отже, правильна відповідь – B.

2. \(y=-\sqrt{x}.\)

Графік функції \(y=-\sqrt{x}\) має з графіком рівняння \(x^2+y^2=4\) лише одну спільну точку.

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(y=(x-1)^3.\)

Областю значень кубічної функції є вся числова пряма, тобто \(E(y)=(-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та трикутника.

1. \(KM.\)

У трикутнику \(\Delta ADC\) відрізок \(KM\) є середньою лінією, оскільки точки \(K\) і \(M\) – середини сторін \(AD\) і \(DC.\)

За властивістю середньої лінії трикутника:

\begin{gather*} KM=\frac 12 AC=\frac 12\cdot 32=16\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(BO.\)

Нехай \(P\) – точка перетину діагоналей ромба \(AC\) і \(BD.\) Діагоналі ромба перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл, тому \(BP=DP.\) Оскільки \(KM\!\parallel\!AC\) є середньою лінією \(\Delta ADC\), відрізок \(KM\) ділить висоту \(DP\) навпіл у точці \(O{:}\)

\begin{gather*} DP=2\cdot DO=2\cdot 6=12\ \text{см}. \end{gather*}

Звідси \(BP=DP=12\) см. Оскільки \(PO=DO=6\) см, маємо:

\begin{gather*} BO=BP+PO=12+6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(AB.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta APB\ (\angle APB=90^\circ):\)

\begin{gather*} AB=\frac 12 AC=\frac{32}{2}=16\ \text{см};\\[6pt] BP=12\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну функції, обчислювати значення функції та її похідної в точці для заданого значення аргумента.

Обчислімо значення функції \(f(-2){:}\)

Запишімо функцію у вигляді многочлена й визначмо її похідну \(f'(x){:}\)

\begin{gather*} f(x)=x(5-x)=5x-x^2;\\[7pt] f'(x)=(5x-x^2)'=5-2x. \end{gather*}

Обчислімо значення похідної в точці \(x=4{:}\)

\begin{gather*} f'(4)=5-2\cdot 4=5-8=-3. \end{gather*}

Обчислімо значення шуканого виразу:

\begin{gather*} f(-2)\cdot f'(4)=(-14)\cdot (-3)=42. \end{gather*}

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики.

Завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події та вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

За класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kN, \end{gather*}

де \(N=8n\) – загальна кількість місць у залі (у залі \(n\) рядів по \(8\) місць у кожному), а \(k=3\cdot 8=24\) – кількість сприятливих місць (у перших \(3\) рядах). Ймовірність вибору місця в перших трьох рядах дорівнює \(\dfrac{24}{8n}\), за умовою задачі ця ймовірність дорівнює \(\dfrac{1}{16}.\) Складімо пропорцію

\begin{gather*} \frac{24}{8n}=\frac{1}{16};\\[6pt] \frac 3n=\frac{1}{16};\\[6pt] 1\cdot n=3\cdot 16;\\[7pt] n=48. \end{gather*}

Відповідь: \(48.\)