ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Перетворімо мішане число \(1\dfrac 23\) на неправильний дріб:

\begin{gather*} 1\frac 23=\frac{1\cdot 3+2}{3}=\frac 53. \end{gather*}

Запишімо пропорцію:

\begin{gather*} \frac 2x=\frac 53. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c.\\[6pt] 5\cdot x=2\cdot 3;\\[6pt] 5x=6;\\[7pt] x=\frac 65. \end{gather*}

Виділімо цілу частину:

\begin{gather*} x=1\frac 15. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання ознаки паралельності прямої та площини, а також властивостей призми.

Пряма \(AB_1\) є діагоналлю лівої грані куба \(ABB_1A_1.\)

Протилежна й паралельна їй грань – це \(DCC_1D_1.\) Відповідна паралельна діагональ у цій грані – пряма \(DC_1\) (чотирикутник \(ADC_1B_1\) є паралелограмом, тому \(AB_1\!\parallel\!DC_1\)).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, її кутів і сторін, а також вміння застосовувати умови існування чотирикутників і вписаних у них кіл.

I. Існує трапеція, у якій сума довжин основ дорівнює довжині її висоти.

Не існує геометричних обмежень щодо співвідношення між сумою основ і висотою. Наприклад, якщо основи трапеції дорівнюють \(a=1\) та \(b=2\), а висота \(h=3\), то \(a+b=h=3.\) Така трапеція існує. Твердження правильне.

II. Існує прямокутна трапеція, у якій суми градусних мір протилежних кутів рівні.

Сума кутів чотирикутника дорівнює \(360^\circ.\) Якщо суми протилежних кутів рівні, то кожна з них дорівнює \(180^\circ.\) У прямокутній трапеції два кути вже дорівнюють \(90^\circ\), тому для виконання умови інші два кути також мають бути по \(90^\circ.\) Проте фігура, у якої всі чотири кути прямі, є прямокутником, а не трапецією. Твердження неправильне.

III. Існує прямокутна трапеція, у якій сума довжин бічних сторін дорівнює сумі довжин її основ.

Рівність суми бічних сторін і суми основ – умова існування вписаного в чотирикутник кола. Прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло, існує. Наприклад, якщо основи \(a=3\) і \(b=6\), а висота (перша бічна сторона) \(h=4\), то друга бічна сторона \(c=\sqrt{4^2+(6-3)^2}=5.\) Сума основ: \(3+6=9\), сума бічних сторін: \(4+5=9.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником і його властивостей.

Запишімо десяткові дроби в степені числа \(2{:}\)

Використали властивості степенів з натуральним показником:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y};\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графік функції та визначати значення аргумента x, за яких функція набуває додатних значень.

Вираз функція набуває додатних значень означає, що \(f(x)\gt 0.\)

Нерівність \(f(x)\gt 0\) виконується для тих значень аргумента, за яких графік функції розташований у верхній півплощині (вище від осі \(Ox\)). Функція набуває додатних значень на проміжку \(x\in [-2; 1).\)

Серед запропонованих варіантів лише значення \(x=0\) входить у цей проміжок. У точці \(x=1\) функція дорівнює нулю \(f(1)=0\), що не задовольняє строгу нерівність.

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використаймо властивість логарифмів:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності й системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на \(6{:}\)

\begin{gather*} 6\cdot \frac x3\lt 6\cdot \frac x2+6\cdot 3;\\[6pt] 2x\lt 3x+18. \end{gather*}

Перенесімо доданок \(3x\) у ліву частину зі зміною знака:

\begin{gather*} 2x-3x\lt 18;\\[7pt] -x\lt 18. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} x\gt -18. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

Отже, \(x\in (-18; +\infty).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг.

Завдання перевіряє вміння обчислювати градусну міру центрального кута кола.

Повний оберт навколо центра кола становить \(360^\circ.\)

Оскільки точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) ділять коло на п'ять рівних частин, градусна міра кожної утвореної дуги дорівнює:

\begin{gather*} \frac{360^\circ}{5}=72^\circ. \end{gather*}

Кут \(AOE\) є центральним кутом, що спирається на дугу \(AE.\) За властивістю центрального кута його градусна міра дорівнює градусній мірі відповідної дуги:

\begin{gather*} \angle AOE=72^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.