ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічна функція.

Завдання перевіряє вміння з'ясовувати область визначення логарифмічної функції.

Для логарифмічної функції \(y=\log_a f(x)\) (де \(a\gt 0\), \(a\ne 1\)) область визначення задано умовою \(f(x)\gt 0.\)

Розв'яжімо лінійну нерівність:

\begin{gather*} x+9\gt 0;\\[7pt] x\gt -9. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-9; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Ромб і прямокутник.

Завдання перевіряє вміння знаходити елементи прямокутного трикутника, використовувати властивості подібності трикутників й обчислювати площу ромба.

У прямокутному трикутнику \(KNM\ (\angle N=90^\circ){:}\)

Отже, \(KL=NM=6\sqrt{3}\) см й \(LM=KN=6\) см.

Сторони прямокутника паралельні діагоналям ромба \((KL || AC\), \(KN || BD).\) Оскільки \(AK:KB=1:3\), сторона \(AB\) ділиться у відношенні \(1:3\), тобто

\(KB=\dfrac 34 AB\), а \(AK=\dfrac 14 AB.\)

З подібності трикутників \(\Delta BKL\sim \Delta BAC{:}\)

\begin{gather*} \frac{KL}{AC}=\frac{KB}{AB}=\frac 34;\\[6pt] AC=\frac 43 KL=\frac 43\cdot 6\sqrt{3}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

З подібності трикутників \(\Delta AKN\sim \Delta ABD{:}\)

\begin{gather*} \frac{KN}{BD}=\frac{AK}{AB}=\frac 14;\\[6pt] BD=4\cdot KN=4\cdot 6=24\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу ромба \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Обчислення значень виразів.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення логарифмічних, степеневих і тригонометричних виразів.

Застосували властивості логарифма:

\begin{gather*} \log_{\textstyle a^n}(b^m)=\frac mn\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Застосували властивість степеня \(\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

\(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\)

За формулою різниці квадратів \((a-b)(a+b)=a^2-b^2.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції та їх властивості.

Завдання перевіряє вміння аналізувати властивості основних елементарних функцій.

1. \(f(x)=x^2+2.\)

Спосіб 1

Область визначення \(D(f)=(-\infty; +\infty).\) Перевірмо функцію на парність:

Оскільки \(f(-x)=f(x)\), за означенням функція парна.

Функція \(y=f(x)\) парна, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Спосіб 2

Графіком є парабола, вісь симетрії якої збігається з віссю ординат \(Oy.\) Симетрія графіка відносно осі \(Oy\) за означенням означає, що функція є парною, тобто виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. \(f(x)=\sin x.\)

Спосіб 1

Визначмо нулі функції, розв'язавши рівняння

\begin{gather*} \sin x=0;\\[7pt] x=\pi k,\ k\in Z. \end{gather*}

Функція має безліч нулів \((0\); \(\pm\pi\); \(\pm 2\pi\); \(\text{...})\), тобто більше ніж два нулі.

Нуль функції – це значення аргумента \(x\), за якого значення функції дорівнює нулю \((f(x)=0).\)

Спосіб 2

Графіком є синусоїда. Точки перетину графіка з віссю абсцис \(Ox\) є нулями функції. На зображенні позначено точки перетину \(x=\text{...}\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\), \(2\pi\), \(\text{...}\), що доводить наявність безлічі нулів, тобто більше ніж двох.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(f(x)=x^3.\)

Спосіб 1

Степенева функція з непарним показником \(n=3\) є строго висхідною на всій своїй області визначення \((-\infty; +\infty).\)

Висхідна функція – це функція, для якої більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції \((x_1\lt x_2\Leftrightarrow f(x_1)\lt f(x_2)).\)

Спосіб 2

Графіком є кубічна парабола. Унаслідок руху вздовж осі \(Ox\) зліва направо значення функції постійно зростають на всій області визначення \((-\infty; +\infty)\), що є властивістю висхідної функції.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Паралелограм і трапеція.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма, трапеції, прямокутного трикутника й теорему Піфагора.

1. Довжина відрізка \(KC\) дорівнює…

Сторона паралелограма \(AD=AP+PD=20+10=30\) см. Протилежні сторони паралелограма рівні: \(BC=AD=30\) см. Оскільки \(K\) – середина \(BC\), отримуємо:

\begin{gather*} KC=\frac 12 BC=\frac{30}{2}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Довжина середньої лінії трапеції \(PKCD\) дорівнює…

Чотирикутник \(PKCD\) є прямокутною трапецією з основами \(KC=15\) см та \(PD=10\) см. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина сторони \(AB\) дорівнює…

Проведімо висоту \(BH\!\perp\!AD.\) Утворений чотирикутник \(BHPK\) є прямокутником, тому \(BH=KP=12\) см, \(HP=BK=15\) см.

Звідси відрізок \(AH=AP-HP=20-15=5\) см. За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(ABH\ (\angle AHB=90^\circ){:}\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції та їхні значення.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення заданої функції, визначати формулу прямої пропорційності й обчислювати значення алгебричного виразу.

За умовою \(f(x)=3\), якщо \(x\gt 0\), і \(f(x)=1\), якщо \(x\lt 0.\)

Для \(x=2\ (2\gt 0){:}\)

\(f(2)=3.\)

Для \(x=-1\ (-1\lt 0){:}\)

\(f(-1)=1.\)

Визначмо функцію \(g(x)\) та обчислімо її значення в точці \(x=-1{:}\)

Пряму пропорційність задано формулою \(g(x)=kx.\) Підставмо координати точки \((1; 0{,}5)\), через яку проходить графік:

\begin{gather*} 0{,}5=k\cdot 1;\\[7pt] k=0{,}5. \end{gather*}

Отже, \(g(x)=0{,}5x.\) Обчислімо значення \(g(-1){:}\)

\begin{gather*} g(-1)=0{,}5\cdot (-1)=-0{,}5. \end{gather*}

Підставмо всі знайдені значення у початковий вираз:

Відповідь: \(6{,}5.\)

ТЕМА: Математика. Задачі на відсотки й аналізування кругових діаграм.

Завдання перевіряє вміння аналізувати кругові діаграми, обчислювати відсоткову частку й число за його відсотком.

Повний круг відповідає \(100\ \%\) всіх опитаних.

Різниця у відсотках між футболом і баскетболом:

\begin{gather*} 35\ \%-15\ \%=20\ \%. \end{gather*}

За умовою задачі ця різниця у \(20\ \%\) відповідає \(60\) учням.

Щоб визначити ціле число за його відсотком, поділімо значення на відповідний десятковий дріб \(\left(20\ \%=\dfrac{20}{100}=0{,}2\right){:}\)

\begin{gather*} N=\frac{60}{0{,}2}=300\ \text{учнів}. \end{gather*}

Відповідь: \(300.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Призма та циліндр.

Завдання перевіряє вміння знаходити елементи й об'єми комбінованих геометричних тіл (призми й циліндра), а також використовувати властивості ромба.

Площу основи циліндра обчислюють за формулою \(S=\pi R^2.\)

\begin{gather*} \pi R^2=9\pi;\\[7pt] R^2=9;\\[7pt] R=3\ \text{см}. \end{gather*}

Основою призми є ромб зі стороною \(a=10\) см.

Радіус вписаного в ромб кола дорівнює радіусу основи циліндра \((r=R=3\) см\().\)

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола (удвічі більша за радіус):

\begin{gather*} h=2r=2\cdot 3=6\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу ромба через сторону й висоту:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a\cdot h=10\cdot 6=60\ \text{см}^2. \end{gather*}

Твірна прямого циліндра є його висотою, тому \(H=25\) см. За умовою висота призми дорівнює висоті циліндра \((H_\text{призми}=H_\text{циліндра}=25\) см\().\) Обчислімо об'єм прямої призми за формулою \(V=S_\text{осн}\cdot H{:}\)

\begin{gather*} V=60\cdot 25=1500\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(1500.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння з параметром та раціональні нерівності .

Завдання перевіряє вміння знаходити корені лінійного рівняння з параметром і розв'язувати дробово-раціональні нерівності методом інтервалів.

Перенесімо доданки зі змінною \(x\) у ліву частину, а сталі – у праву:

\begin{gather*} ax-2x=a+5;\\[7pt] (a-2)x=a+5. \end{gather*}

За умови \(a\ne 2\), виразімо \(x{:}\)

\begin{gather*} x=\frac{a+5}{a-2}. \end{gather*}

Для \(a=2\) отримуємо \(0\cdot x=7\), тобто рівняння коренів не має.

Корінь рівняння від’ємний \((x\lt 0)\), якщо:

\begin{gather*} \frac{a+5}{a-2}\lt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо дробово-раціональну нерівність методом інтервалів. Нулі чисельника й знаменника: \(a=-5\) та \(a=2.\)

Отже, \(a\in (-5; 2).\)

Випишімо всі цілі числа із цього проміжку: \(-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1.\) Кількість таких чисел дорівнює \(6.\)

Відповідь: \(6.\)