ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

Якщо від периметра відняти суму довжин трьох сторін, отримаємо довжину четвертої сторони:

\begin{gather*} 18-14=4\ \text{дм}. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, сума двох сусідніх сторін (півпериметр) дорівнює:

\begin{gather*} a+b=\frac P2=\frac{18}{2}=9\ \text{дм}. \end{gather*}

Одна зі сторін \(4\) дм завдовжки, довжина другої (більшої) сторони дорівнює:

\begin{gather*} 9-4=5\ \text{дм}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Через точку \(S\), яка не належить площині основи \((ABC)\), можна провести єдину площину, паралельну площині \((ABC).\) Усі прямі, що лежать у цій паралельній площині та проходять через вершину \(S\), будуть паралельними площині основи \((ABC).\) Через точку в площині можна провести нескінченну кількість (безліч) прямих.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів з однаковими основами.

За властивістю степеня з однаковою основою \((a^m\cdot a^n=a^{m+n})\), під час множення показники додамо, а основу залишимо без змін:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

І спосіб

Для лінійної функції \(y=kx+b\)

Вільний член \(b=-1\) показує ординату точки перетину графіком осі \(y\), тобто графік проходить через точку \((0; -1).\) Кутовий коефіцієнт \(k=\dfrac 32=1{,}5.\)

Оскільки \(k\gt 0\), функція є висхідною (пряма прямує знизу-ліворуч угору-праворуч).

ІІ спосіб

Визначмо точку перетину з віссю \(Oy\) (за \(x=0\)):

\begin{gather*} y=\frac 32\cdot 0-1=-1. \end{gather*}

Графік функції має перетинати вісь \(Oy\) у точці \((0; -1).\) Цій умові відповідають рисунки Б і Г.

Перевірмо додаткову точку (наприклад, \(x=2\)):

\begin{gather*} y=\frac 32\cdot 2-1=3-1=2. \end{gather*}

Графік проходить через точку \((2; 2)\), що повністю узгоджується з рисунком Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії та умов існування вписаного кола.

I. Існує трапеція, точка перетину діагоналей якої рівновіддалена від її вершин.

Точка перетину діагоналей трапеції \(O\) ділить її діагоналі у відношенні основ \(a:b.\) Оскільки основи трапеції не рівні \((a\ne b)\), відрізки діагоналей від точки перетину до вершин не є рівними \((AO\ne OC).\) Отже, точка перетину діагоналей не може бути рівновіддаленою від усіх вершин. Твердження неправильне.

II. Існує трапеція, сума довжин бічних сторін якої дорівнює сумі довжин її основ.

Якщо сума основ дорівнює сумі бічних сторін \((a+b=c+d)\), у таку трапецію можна вписати коло. Така трапеція існує (наприклад, рівнобічна трапеція з основами \(2\) см і \(8\) см і бічними сторонами \(5\) см, висота якої \(h=\sqrt{5^2-3^2}=4\) см). Твердження правильне.

III. Існує трапеція, середня лінія якої проходить через точку перетину її діагоналей.

Середня лінія трапеції проходить через середини її діагоналей (ділить їх у відношенні \(1:1\)). Проте точка перетину діагоналей ділить їх у відношенні основ \(a:b\) (де \(a\ne b\)). Оскільки ці точки не збігаються, середня лінія не проходить через точку перетину діагоналей. Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Визначмо корені квадратного рівняння \(x^2+2x-24=0.\)

Обчислімо дискримінант за формулою \(D=b^2-4ac{:}\)

Обчислімо значення \(x{:}\)

Оскільки знак нерівності нестрогий \((\ge)\), точки \(-6\) та \(4\) входять до розв'язку (включені в інтервал квадратними дужками).

Коефіцієнт за \(x^2\) додатний \((a=1\gt 0)\), тому вітки параболи напрямлені вгору.

\begin{gather*} x\in (-\infty; -6]\cup [4; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Застосуймо властивості кореня:

(оскільки \(3^4=81\), а \(2^4=16\)).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом і записувати числа в стандартному вигляді.

Оскільки \(1\) карат \(=\ 0{,}2\) г, то маса алмаза становить:

\begin{gather*} 3106\cdot 0{,}2=621{,}2\ \text{г}. \end{gather*}

В одному кілограмі \(1000\) г (або \(1\) г \(=\ 10^{-3}\) кг).

Поділімо отримане значення на \(1000{:}\)

\begin{gather*} 621{,}2\ \text{г}=\frac{621{,}2}{1000}\ \text{кг}=0{,}6212\ \text{кг}. \end{gather*}

Запишімо число в стандартному вигляді, перенісши кому на \(1\) знак праворуч:

\begin{gather*} 0{,}6212\ \text{кг}=6{,}212\cdot 10^{-1}\ \text{кг}. \end{gather*}

Стандартним виглядом додатного числа \(a\) називають його запис у вигляді добутку \(a_0\cdot 10^m\), де \(1\le a_0\lt 10\), а \(m\) – ціле число.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості логарифмів для розв'язування логарифмічних рівнянь.

Область допустимих значень (ОДЗ): \(x\gt 0.\)

Застосуймо властивість різниці логарифмів \((\log_a b-\log_a c=\log_a \dfrac bc){:}\)

\begin{gather*} \log_6 x-\log_6 2=1;\\[6pt] \log_6 \frac x2=1. \end{gather*}

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_a b=c;\\[7pt] b=a^c.\\[6pt] \frac x2=6^1;\\[6pt] \frac x2=6;\\[6pt] x=12. \end{gather*}

Число \(12\) задовольняє ОДЗ \((12\gt 0)\) і належить проміжку \((10; +\infty).\)

Відповідь: Д.