ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. Прямі \(y=2x-3\) та \(y=x+1.\)

Спосіб 1

Прирівняймо праві частини рівнянь:

\begin{gather*} 2x-3=x+1;\\[7pt] 2x-x=1+3;\\[7pt] x=4. \end{gather*}

За \(x=4\) \(y=5.\) Система має один розв'язок, а графіки – єдину спільну точку \((4; 5).\)

Спосіб 2

Це дві лінійні функції, графіки яких – прямі з кутовими коефіцієнтами \(k_1=2\) та \(k_2=1.\) Оскільки \(k_1\ne k_2\), прямі не паралельні й перетинаються в єдиній точці.

Отже, 1 – Б.

2. Параболи \(y=x^2\) та \(y=x^2-2.\)

Спосіб 1.

Прирівняємо праві частини рівнянь:

Рівняння не має розв'язків. Графіки не мають жодної спільної точки.

Спосіб 2.

Графік \(y=x^2-2\) утворюється шляхом паралельного перенесення параболи \(y=x^2\) на \(2\) одиниці вниз вздовж осі \(Oy.\) Параболи мають однакову форму та напрямок віток, але зміщені одна відносно одної, тому вони не мають жодної спільної точки.

Отже, 2 – A.

3. Гіпербола \(y=\dfrac 2x\) та коло \(x^2+y^2=4.\)

Спосіб 1

Підставмо \(y=\dfrac 2x\) у рівняння кола:

\begin{gather*} x^2+\left(\frac 2x\right)^2=4;\\[6pt] x^2+\frac{4}{x^2}=4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини на \(x^2\ne 0{:}\)

\begin{gather*} x^4-4x^2+4=0;\\[7pt] (x^2-2)^2=0;\\[7pt] x^2-2=0;\\[7pt] x^2=2. \end{gather*}

Отримуємо два значення: \(x_1=\sqrt{2}\) та \(x_2=-\sqrt{2}.\) Отже, графіки мають лише дві спільні точки.

Спосіб 2

Рівняння \(x^2+y^2=4\) задає коло із центром у початку координат \((0; 0)\) і радіусом \(R=2.\)

\(y=\dfrac 2x\) – гіпербола з вітками в I та III координатних чвертях. Вітки гіперболи дотикаються кола у двох точках. Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння тотожно перетворювати й спрощувати алгебраїчні вирази, застосовуючи формули скороченого множення, властивості степенів, коренів \(n\)-го степеня та правила обчислення логарифмів.

1. \(\sqrt[\scriptstyle 3]{\dfrac{27}{a^3}}.\)

Застосуймо властивість кореня із частки \(\sqrt[\scriptstyle n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\), де \(b\ne 0.\)

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{27}{a^3}}=\frac{\sqrt[\scriptstyle 3]{27}}{\sqrt[\scriptstyle 3]{a^3}}=\frac 3a. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(a^{-2}\cdot a^3\cdot \log_{27} 3.\)

За властивістю степенів \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}{:}\)

\begin{gather*} a^{-2}\cdot a^3=a^{-2+3}=a^1=a. \end{gather*}

Оскільки \(27=3^3\), то

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Перемножмо результати:

\begin{gather*} a\cdot \frac 13=\frac a3. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(\dfrac{(a-3)^2-a^2-9}{2}.\)

Застосуймо формулу квадрата різниці в чисельнику:

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутника й рівнобедреного трикутника, теореми Піфагора та подібності прямокутних трикутників для обчислення довжин відрізків і відстаней.

1. Довжина відрізка \(AM\)

За умовою \(AD=12\) см, а \(DM=2AD=2\cdot 12=24\) см.

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Bідстань від точки \(K\) до прямої \(AM\)

Відстань від \(K\) до прямої \(AM\) – це довжина перпендикуляра \(KH\!\perp\!AM.\)

Оскільки \(\Delta DKM\) рівнобедрений \((DK=KM)\), висота \(KH\) є також медіаною, тому

\begin{gather*} DH=\frac{DM}{2}=\frac{24}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Звідси

Оскільки \(CD\!\perp\!AM\) та \(KH\!\perp\!AM\), трикутники \(\Delta ADC\) та \(\Delta AHK\) є подібними \((\Delta ADC\sim \Delta AHK).\)

Коефіцієнт подібності:

\begin{gather*} k=\frac{AH}{AD}=\frac{24}{12}=2. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} KH=k\cdot CD=2\cdot 16=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина відрізка \(CK.\)

З прямокутного трикутника \(ADC\) за теоремою Піфагора:

З подібності трикутників \(\Delta ADC\sim \Delta AHK\) маємо

\begin{gather*} AK=k\cdot AC=2\cdot 20=40\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найменше значення функції визначмо за допомогою похідної функції.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції за формулою:

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2-42x-90=0. \end{gather*}

Скоротімо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2-7x-15=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння через дискримінант:

Отже, критичні точки: \(x=-1{,}5\) та \(x=5.\)

Позначмо критичні точки на числовій прямій і з'ясуймо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної – квадратична парабола, вітки якої направлені вгору):

На \((-\infty; -1{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-1{,}5; 5){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((5; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки внаслідок переходу через точку \(x=5\) знак похідної змінюється з мінуса на плюс \((-\) на \(+)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою мінімуму.

Критичні точки: \(-1{,}5\) та \(5.\) Точка мінімуму: \(x_\text{min}=5.\)

Відповідь: \(5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсотки.

Батько сплачує повну вартість квитка, тобто \(800\) грн.

Мама має знижку \(20\ \%\), тому її квиток коштує \(80\ \%\) від початкової ціни:

\begin{gather*} 800\cdot 0{,}8=640\ \text{грн}. \end{gather*}

Син отримує знижку \(25\ \%\), отже, він сплачує \(75\ \%\) від ціни:

\begin{gather*} 800\cdot 0{,}75=600\ \text{грн}. \end{gather*}

Разом за сплав сім'я заплатить

\begin{gather*} 800+640+600=2040\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: \(2040.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє вміння застосовувати теорему Піфагора для визначення елементів прямокутного паралелепіпеда, визначати радіус і висоту циліндра за заданими співвідношеннями й обчислювати його об'єм.

В основі прямокутного паралелепіпеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежить прямокутник \(ABCD\) зі сторонами \(AD=9\) см і \(CD=12\) см. Його діагональ \(AC\) ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники \((\Delta ADC\) та \(\Delta ABC).\)

За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(ADC{:}\)

За умовою діаметр основи циліндра дорівнює діагоналі основи паралелепіпеда

\begin{gather*} d=AC=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, радіус циліндра:

\begin{gather*} R=\frac{15}{2}=7{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Бічне ребро \(CC_1\) перпендикулярне до площини основи, тому \(\angle ACC_1=90^\circ.\) З прямокутного трикутника \(ACC_1\) (де діагональ паралелепіпеда \(AC_1=39\) см, а катет \(AC=15\) см) за теоремою Піфагора знаходимо висоту \(CC_1{:}\)

За умовою висота циліндра \(H\) відноситься до висоти паралелепіпеда \(CC_1\) як \(2:3{:}\)

\begin{gather*} H=\frac 23\cdot CC_1=\frac 23\cdot 36=24\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм циліндра:

Відповідь: \(1350.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння досліджувати дробово-раціональні рівняння з модулем і параметром на кількість розв'язків, зважаючи на область допустимих значень.

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник існує і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} |4x+5a-3|-3=0,\\ (x+2)(x^2+9)\ne 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Вираз \(x^2+9\gt 0\) за будь-яких \(x\in R\), тому єдине обмеження з ОДЗ: \(x\ne -2.\)

Рівняння з модулем зведімо до сукупності двох лінійних рівнянь.

Оскільки \(x_1-x_2=\dfrac 64=1{,}5\ne 0\), корені \(x_1\) та \(x_2\) за жодного \(a\) не збігаються.

Отже, чисельник завжди має два різні значення.

Випадок 1 \((x_1=-2){:}\)

\begin{gather*} \frac{6-5a}{4}=-2;\\[6pt] 6-5a=-8;\\[7pt] 5a=14;\\[7pt] a_1=2{,}8. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_2=-3{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Випадок 2 \((x_2=-2){:}\)

\begin{gather*} -\frac{5a}{4}=-2;\\[6pt] -5a=-8;\\[7pt] 5a=8;\\[7pt] a_2=1{,}6. \end{gather*}

(Перевірка: \(x_1=-0{,}5\ne -2\) єдиний корінь).

Обчислімо суму:

\begin{gather*} a_1+a_2=2{,}8+1{,}6=4{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(4{,}4.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формах.

За умовою густина пилу перевищувала \(25\) мкг/м\(^3\), тому треба розглянути всі проміжки часу, де густина більша за \(25\) мкг/м\(^3\) \((y\gt 25\) мкг/м\(^3).\)

Знайдімо на осі \(y\) відмітку \(25\) мкг/м\(^3\) і проведімо горизонтальну лінію через цю точку.

Від \(12\) до \(18\) год (з \(12{:}00\) до \(18{:}00\)) значення густини перевищує \(25\) мкг/м\(^3.\)

Тривалість: \(18-12=6\) год.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дробово-раціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати дробово-раціональні рівняння.

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \begin{cases} 2x-10=0,\\ x+1\ne 0. \end{cases} \end{gather*}

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 2x-10=0;\\[7pt] 2x=10;\\[7pt] x=5. \end{gather*}

Перевірмо область допустимих значень (ОДЗ).

За \(x=5\) знаменник \(x+1=5+1=6\ne 0\), отже, число \(5\) є коренем рівняння.

Відповідь: B.