ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Непарність функцій.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивість симетрії графіка непарної функції відносно початку координат \((0; 0)\) для визначення координат її точок.

Графік непарної функції завжди симетричний відносно початку координат \((0; 0).\) Це означає: якщо графік проходить через точку \((x; y)\), то він обов'язково проходить і через точку \((-x; -y).\)

На зображеному фрагменті видно точку з координатами \((2; 2)\), яка належить графіку функції. Оскільки функція непарна, її графік також має проходити через точку \((-2; -2).\) На координатній площині це точка \(M.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події та вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

За класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n=24\) – загальна кількість усіх рівноможливих варіантів (загальна кількість учнів у класі), а \(k\) – кількість сприятливих варіантів для події (кількість учнів, вік яких менший за \(15\) років).

Складімо пропорцію

\begin{gather*} \frac{k}{24}=\frac 16;\\[6pt] 6k=24;\\[7pt] k=4. \end{gather*}

Отже, у класі таких учнів \(4\).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами й визначати модуль (довжину) вектора.

Сумою векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\vec c=\vec a+\vec b{:}\)

\begin{gather*} \vec c(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2). \end{gather*}

Щоб визначити координати суми векторів, додамо їхні координати (першу – до першої, другу – до другої тощо).

\begin{gather*} \vec c(-2+4; 2+(-3); 1+0);\\[7pt] \vec c(2; -1; 1). \end{gather*}

Модуль вектора обчислімо за формулою

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

Перетворімо мішані числа в неправильні дроби:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло й круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, зокрема хорд.

I. Будь-яка хорда кола більша за його радіус.

Хорда може бути більшою, меншою за радіус або дорівнювати йому.

Якщо центральний кут між радіусами дорівнює \(60^\circ\), вони разом із хордою утворюють рівносторонній трикутник. Тоді хорда дорівнює радіусу \((a=R).\)

Якщо центральний кут менший за \(60^\circ\), хорда менша за радіус \((a\lt R).\) З’єднавши дві сусідні точки на колі, отримаємо хорду, довжина якої прямує до \(0.\) Твердження неправильне.

II. Кінці діаметра кола ділять коло навпіл.

Діаметр проходить через центр кола й ділить його на два півкола – дві рівні дуги по \(180^\circ.\) Твердження правильне.

III. Рівні хорди кола стягують рівні дуги.

Це одна з основних геометричних властивостей кола: рівні хорди стягують рівні дуги (і навпаки, рівні дуги стягнуто рівними хордами). Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння й знання властивостей степенів.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}.\\[6pt] 2^{x+1}-2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x\cdot 2^1-2^x=\frac{1}{2^3}. \end{gather*}

Винесімо спільний множник \(2^x\) за дужки:

\begin{gather*} 2^x\cdot (2-1)=2^{-3};\\[7pt] 2^x\cdot 1=2^{-3};\\[7pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Число \(-3\) належить проміжку \([-3; 0).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

За таблицею первісних для степеневої функції

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати площу прямокутної трапеції, застосовуючи властивості дотичної до кола й тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Позначмо \(M\) точку дотику кола зі стороною \(AD.\) Тоді \(OM\!\perp\!AD\), а \(OM=R.\)

Проведімо радіус \(OM\!\perp\!AD\) в точку дотику \(M.\) У прямокутному трикутнику \(OMD\ (\angle OMD=90^\circ){:}\)

Коло дотикається двох паралельних сторін \(AD\) і \(BC\), тому сторона \(CD=2R=24\) см.

Радіус \(OK\!\perp\!BC\), тому \(OK\!\parallel\!CD.\) Чотирикутник \(OKCD\) – це прямокутна трапеція з основами \(OK=12\) см і \(CD=24\) см.

Оскільки \(BK=AM=R\), отримуємо \(KC=MD=12\sqrt{3}\) см (висота трапеції).

Обчислімо площу \(OKCD{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Синус – непарна функція \((\sin(-x)=-\sin x)\), тому

\begin{gather*} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1. \end{gather*}

Косинус має період \(2\pi\), тому

\begin{gather*} \cos(3\pi)=\cos(\pi+2\pi)=\cos\pi=-1. \end{gather*}

Підставмо обчислені значення у вираз:

Відповідь: A.