ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата та прямокутного трикутника.

За формулою діагоналі квадрата \(d=a\sqrt{2}\), де \(a\) – його сторона. Оскільки \(d=8\sqrt{2}\) см, маємо:

\begin{gather*} a\sqrt{2}=8\sqrt{2};\\[7pt] a=8\ \text{см}. \end{gather*}

1. Відстань між серединами сторін \(AB\) i \(AD.\)

Точки \(M\) та \(N\) – середини сторін \(AB\) й \(AD\) відповідно. Відрізок \(MN\) є середньою лінією трикутника \(ABD.\) За її властивістю:

\begin{gather*} MN=\frac{BD}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Довжина радіуса кола, уписаного у квадрат \(ABCD.\)

Радіус \(r\) вписаного у квадрат кола дорівнює половині сторони цього квадрата.

\begin{gather*} r=\frac a2=\frac 82=4\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. Довжина медіани трикутника \(ABC\), проведеної з вершини \(A.\)

Медіана \(AP\) ділить сторону \(BC\) навпіл, тому

\begin{gather*} BP=\frac{BC}{2}=\frac 82=4\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(ABP\ (\angle B=90^\circ)\) обчислюємо довжину гіпотенузи \(AP\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого й найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну для дослідження функції.

Найбільше значення функції визначмо за допомогою її похідної.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) й визначмо похідну функції за формулою:

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2+18x-30=0. \end{gather*}

Скоротімо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2+3x-5=0. \end{gather*}

Розв'яжімо квадратне рівняння через дискримінант:

Отже, критичні точки: \(x=-2{,}5\) та \(x=1.\)

Позначмо критичні точки на числовій прямій і з'ясуймо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної – квадратична парабола, вітки якої спрямовані вгору):

На \((-\infty; -2{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-2{,}5; 1){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((1; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки внаслідок переходу через точку \(x=-2{,}5\) знак похідної змінюється з плюса на мінус \((+\) на \(-)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою максимуму.

Критичні точки: \(-2{,}5\) та \(1.\) Точка максимуму: \(x_\text{max}=-2{,}5.\)

Відповідь: \(-2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Однокімнатні квартири становлять \(40\ \%\) від загальної кількості \((150){:}\)

\begin{gather*} 150\cdot 0{,}4=60. \end{gather*}

Двокімнатних на \(20\ \%\) менше, ніж однокімнатних (тобто вони становлять \(80\ \%\) від кількості однокімнатних):

\begin{gather*} 60\cdot 0{,}8=48. \end{gather*}

Щоб обчислити кількість трикімнатних квартир, від загальної кількості квартир віднімімо кількість однокімнатних і двокімнатних:

\begin{gather*} 150-60-48=150-108=42. \end{gather*}

Отже, в будинку \(42\) трикімнатні квартири.

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, застосовувати властивості ромба й теорему Піфагора для визначення невідомих параметрів призми й обчислення її об’єму.

Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба \(ABCD.\) Діагоналі ромба перпендикулярні й діляться точкою перетину навпіл:

\begin{gather*} OB=\frac{BD}{2}=\frac{20}{2}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Трикутники \(SAC\) та \(SBD\) – рівнобедрені \((SA=SC\), \(SB=SD)\), тому \(SO\) є висотою обох трикутників і висотою всієї піраміди \((SO\!\perp\!(ABCD)).\)

З прямокутного трикутника \(SOB\) за теоремою Піфагора:

З прямокутного трикутника \(SOA\) за теоремою Піфагора:

Отже, довжина діагоналі ромба \(AC{:}\)

\begin{gather*} AC=2\cdot OA=2\cdot 7=14\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді сторони прямокутника в основі призми: \(a=20\) см та \(b=AC=14\) см.

Площа основи призми:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a\cdot b=20\cdot 14=280\ \text{см}^2. \end{gather*}

Периметр основи призми:

\begin{gather*} P=2(a+b)=2(20+14)=68\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту призми \(h\) визначмо через формулу площі бічної поверхні \((S_\text{біч}=P\cdot h){:}\)

\begin{gather*} h=\frac{S_\text{біч}}{P}=\frac{680}{68}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot h=280\cdot 10=2800\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(2800.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні й ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати ірраціональні рівняння з параметрами, знання властивостей логарифмічної функції.

ОДЗ:

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо принаймні один із них дорівнює нулю, за умови, що інший множник має зміст

Спочатку обчислімо потенційні корені.

З другого множника маємо \(\log_3(x-4)-2=0\), звідки

\begin{gather*} \log_3(x-4)=2;\\[7pt] x-4=3^2;\\[7pt] x-4=9;\\[7pt] x_2=13. \end{gather*}

З першого множника отримуємо

\begin{gather*} \sqrt{2x-a}=0;\\[7pt] 2x-a=0;\\[7pt] 2x=a;\\[7pt] x_1=\dfrac a2. \end{gather*}

Рівняння матиме два різні розв’язки лише тоді, коли обидва корені належатимуть області допустимих значень та не збігатимуться один із одним.

Перевірмо виконання умов ОДЗ і відмінності коренів \((x_1\ne x_2).\)

Умова \(x\gt 4\) для кореня \(x_2=13\) виконується завжди, а для кореня \(x_1=\dfrac a2\) має виконуватися нерівність \(\dfrac a2\gt 4\), звідки \(a\gt 8.\)

Умова \(x\ge \dfrac a2\) для \(x_1=\dfrac a2\) виконується автоматично, а для \(x_2=13\) потребує \(13\ge \dfrac a2\), звідки \(a\le 26.\)

Щоб корені не збігалися \((x_1\ne x_2)\), значення \(\dfrac a2\ne 13\), тобто \(a\ne 26.\)

Об’єднаймо ці умови

Отже, значення параметра \(a\) належать інтервалу \((8; 26).\)

Цілими значеннями із цього проміжку є числа від \(9\) до \(25.\)

Обчислімо їхню кількість:

\begin{gather*} 25-9+1=17. \end{gather*}

Відповідь: \(17.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розуміти табличну, текстову та графічну форми подання статистичної інформації.

Початкова маса в грудні становила \(4{,}235\) т \(=4235\) кг (оскільки \(1\) т = \(1000\) кг).

Знайдемо на осі місяців «червень». Точка розташована на позначці \(+60\) кг, що означає збільшення маси на \(60\) кг відносно грудня.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення.

Час перегляду та швидкість відтворення – обернено пропорційні величини: зі збільшенням швидкості в \(1{,}5\) раза час перегляду зменшується в \(1{,}5\) раза.

Щоб обчислити час пришвидшеного перегляду, поділімо початкову тривалість на коефіцієнт швидкості:

\begin{gather*} 60:1{,}5=40\ \text{хвилин}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Суміжні кути. Трикутники. Зовнішній кут трикутника.

Завдання перевіряє вміння визначати градусні міри кутів.

Кут \(BKD\) є зовнішнім кутом трикутника \(AKD\) при вершині \(K.\) За властивістю зовнішнього кута трикутника, він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним:

\begin{gather*} \angle BKD=\angle BAD+\angle ADK. \end{gather*}

Підставмо відомі значення й обчислімо градусну міру кута \(BKD\):

\begin{gather*} 128^\circ=\angle BAD+68^\circ;\\[7pt] \angle BAD=128^\circ-68^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 2x-1\ge 0;\\[7pt] 2x\ge 1;\\[6pt] x\ge \frac 12. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left[\frac 12; +\infty\right). \end{gather*}

Відповідь: Г.