ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точок у тривимірному просторі, координати вектора в просторі й відстань між точками за відомими координатами.

Якщо \(B_1(x_1; y_1; z_1)\), \(D(x_2; y_2; z_2)\) координати вектора

\begin{gather*} \overrightarrow{DB_1}(x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2). \end{gather*}

Початок системи координат розташований у точці \(A(0; 0; 0).\) Точка \(D\) лежить на осі \(y\) на відстані \(3\) від початку координат \(A(0; 0; 0)\), тому \(D(0; 3; 0).\) Точка \(B_1\) розташована в площині \(xz{:}\) її координата за віссю \(x\) дорівнює \(2\), за віссю \(y-0\), а за віссю \(z-4\), тому \(B_1(2; 0; 4).\) Обчислімо координати вектора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення для розкладання многочленів на множники.

Використаймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаних та центральних кутів.

I. Градусна міра кута \(ABC\) дорівнює \(90^\circ.\)

Кут \(ABC\) – вписаний кут, який спирається на діаметр \(AC.\) Вписаний кут, що спирається на діаметр, завжди дорівнює \(90^\circ.\) Твердження правильне.

II. Градусна міра кута \(BOC\) вдвічі більша за градусну міру кута \(BAC.\)

Кут \(BOC\) – центральний кут, а кут \(BAC\) – вписаний. Обидва спираються на спільну дугу \(BC.\) За теоремою про вписаний кут, центральний кут удвічі більший за вписаний, що спирається на ту саму дугу \((\angle BOC=2\cdot \angle BAC).\) Твердження правильне.

III. Довжина відрізка \(AC\) вдвічі більша за довжину відрізка \(OB.\)

Відрізок \(AC\) – це діаметр кола \((D=2R)\), а \(OB\) – радіус кола \((R).\) Відповідно, довжина діаметра вдвічі більша за довжину радіуса \((AC=2\cdot OB).\) Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} 3^x=81\cdot 9^x. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи: \(81=3^4\) та \(9=3^2.\)

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{xy}. \end{gather*}

Тоді \((3^2)^x=3^{2\cdot x}.\)

Отже,

\begin{gather*} 3^x=3^4\cdot 3^{2\cdot x}. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} 3^x=3^{4+2x}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), можемо прирівняти їхні показники степеня:

\begin{gather*} x=4+2x;\\[7pt] 4+2x=x;\\[7pt] 2x-x=-4;\\[7pt] x=-4. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу заштрихованої фігури (криволінійної трапеції), обмежено лініями \(x=a\), \(x=b\), графіком функції \(y=f(x)\) і віссю \(Ox\) визначмо за формулою:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника, співвідношення в прямокутному трикутнику, середньої лінії трикутника, властивостей подібних трикутників, властивості площ геометричних фігур.

Оскільки \(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((AB=BC)\) з кутом при вершині \(\angle ABC=120^\circ\), кути при основі дорівнюють

\begin{gather*} \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ. \end{gather*}

Проведімо висоту \(BM\!\perp\!AC.\)

У рівнобедреному трикутнику висота є медіаною, тому \(AM=MC=24:2=12\) см. З прямокутного трикутника \(ABM\) визначмо висоту \(BM{:}\)

Точки \(K\) та \(M\) – середини сторін \(AB\) й \(AC\), отже, \(KM\) – середня лінія \(\Delta ABC.\)

Трикутник \(AKM\) подібний до \(\Delta ABC\) з коефіцієнтом подібності

\begin{gather*} k=\frac{AK}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{KM}{BC}=\frac 12. \end{gather*}

Відношення площ подібних трикутників дорівнює \(k^2{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Для розв'язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N.\\[6pt] 5^{-1}=\frac 15=0{,}2. \end{gather*}

Підставмо обчислене значення у вираз під знаком модуля:

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності й системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки.

З першого рівняння системи виразімо змінну \(y\) через змінну \(x{:}\)

\begin{gather*} y=-4-x. \end{gather*}

Підставмо цей вираз замість змінної \(y\) у друге рівняння системи:

\begin{gather*} x\cdot (-4-x)+(-4-x)^2=12;\\[7pt] -4x-x^2+(4+x)^2=12. \end{gather*}

Розв’яжімо отримане рівняння, використавши формулу квадрата суми:

\begin{gather*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\\[7pt] -4x-x^2+(4+x)^2=12;\\[7pt] -4x-x^2+16+8x+x^2=12;\\[7pt] 4x=12-16;\\[7pt] 4x=-4;\\[7pt] x=-1. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} y=-4-(-1)=-4+1=-3. \end{gather*}

\((-1; -3)\) – розв'язок системи.

Добуток

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=-1\cdot (-3)=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості та графіки.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x^2+2\) – квадратична функція.

Перевірмо функцію на парність:

\begin{gather*} f(-x) = (-x)^2 + 2 = x^2 + 2 = f(x). \end{gather*}

Умова \(f(-x)=f(x)\) виконується для будь-якого \(x\in R\), тому функція парна.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат. Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(y=\sin x.\)

Перевірмо належність точки \((0; 0){:}\) підставмо \(x=0\), тоді \(y=\sin 0 = 0.\) Графік функції проходить через початок координат \((0; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=3x+2\) – це лінійна функція, яка зростає на всій області визначення.

\(y=kx+b\), якщо \(k\gt 0\) функція зростає, а якщо \(k\lt 0\) – спадає.

Оскільки кутовий коефіцієнт \(k=3\gt 0\), функція строго зростає на всій області визначення \((-\infty; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.