ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі, використовувати математичну модель у вигляді лінійного рівняння для розв'язування практичних завдань.

Оскільки в середньому щодня споживали \(79{,}2\) л води, то за \(5\) днів загальний об'єм становить:

\begin{gather*} V=79{,}2\cdot 5=396\ \text{л}. \end{gather*}

Нехай кількість пляшок місткістю \(6\) л дорівнює \(x.\) За умовою пляшок місткістю \(10\) л утричі більше, тобто \(3x.\)

Складімо рівняння для загального об'єму води:

Отже, було спожито \(6\) пляшок місткістю \(6\) л.

Для обчислення кількості пляшок місткістю \(10\) л помножмо обчислене значення на три:

\begin{gather*} 3\cdot 6=18. \end{gather*}

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі.

\(A(3; \sqrt{8}; 2),\ M(-1; 0; 1).\) Призма правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

Діагоналі квадрата перпендикулярні. У \(\Delta AMD\ (\angle M=90^\circ)\), \(AM=MD=\sqrt{50}.\) За теоремою Піфагора

Висота \(AA_1=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=10.\)

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа квадрата, \(H\) – висота.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AD^2=50;\\[7pt] V=50\cdot 10=500. \end{gather*}

Відповідь: \(500.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити комбіновану систему рівнянь із параметром до лінійної через заміну змінних, зважаючи на обмеження щодо області значень змінних.

Для розв'язання цієї системи замінімо змінні: нехай \(u=3^x\) та \(v=y^2.\) Оскільки \(3^x\gt 0\) та \(y^2\ge 0\), маємо обмеження: \(u\gt 0\) та \(v\ge 0.\)

Перепишімо систему у вигляді:

\begin{gather*} \begin{cases} u+v=a+8,\\ 3u+2v=5a+6. \end{cases} \end{gather*}

Визначмо \(u\) та \(v\) через \(a.\)

З першого рівняння \(v=a+8-u.\)

Підставмо в друге рівняння:

\begin{gather*} 3u+2(a+8-u)=5a+6;\\[7pt] 3u+2a+16-2u=5a+6;\\[7pt] 3u-2u=5a+6-2a-16;\\[7pt] u=3a-10. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} v=a+8-(3a-10)=18-2a. \end{gather*}

Для існування дійсних розв'язків \((x; y)\) система повинна задовольняти обмеження замін:

1. \(u\gt 0.\)

\begin{gather*} 3a-10\gt 0;\\[6pt] a\gt 3\frac 13. \end{gather*}

2. \(v\ge 0.\)

\begin{gather*} 18-2a\ge 0;\\[7pt] a\le 9. \end{gather*}

Отже, \(a\in \left(3\dfrac 13; 9\right].\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

\begin{gather*} 4, 5, 6, 7, 8, 9. \end{gather*}

Обчислімо суму:

\begin{gather*} 4+5+6+7+8+9=39. \end{gather*}

Відповідь: \(39.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми наведення статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Для визначення загальної кількості автомобілів достатньо обчислити суму значень, що відповідають висоті кожного стовпчика діаграми.

Додамо ці значення:

\begin{gather*} 8 + 12 + 15 + 10 + 4 = 49. \end{gather*}

Отже, камера зафіксувала \(49\) автомобілів.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення.

Позначмо всю витрачену суму через одиницю. Якщо на сир витрачено \(\dfrac 35\) усіх грошей, то частка витрат на фрукти становить

\begin{gather*} 1-\frac 35=\frac 25. \end{gather*}

Щоб обчислити дробову частину від загальної суми, помножмо \(240\) грн на \(\dfrac 25{:}\)

\begin{gather*} 240\cdot \frac 25=240\cdot 0{,}4=96\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників.

У рівнобічній трапеції \(ABCD\) кути, прилеглі до бічної сторони, є внутрішніми односторонніми при паралельних основах \(BC\!\parallel\!AD\), тому їхня сума дорівнює \(180^\circ.\) Оскільки кути при верхній основі рівні \((\angle ABC=\angle BCD=110^\circ)\), то для кута \(BAD\) отримуємо:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 2x+7\gt 27;\\[7pt] 2x\gt 27-7;\\[7pt] 2x\gt 20;\\[7pt] x\gt 10. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (10; +\infty). \end{gather*}

Оскільки нерівність строга, число \(10\) не належить до множини розв'язків. Серед запропонованих варіантів умову \(x\gt 10\) задовольняють числа \(15\) та \(20\), з яких найменшим є \(15.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема кулі.

Кулю утворено обертанням круга навколо діаметра.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція набуває лише від’ємних значень \((f(x)\lt 0)\) на тих проміжках, де її графік розташований строго нижче від осі абсцис \((Ox).\) На рисунку видно, що \(f(x)\lt 0\) для всіх \(x\in (1; 3).\) Оскільки проміжок \((1; 2]\) повністю належить цьому інтервалу, саме на ньому функція є строго від’ємною.

Відповідь: Г.