Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 2405

Математика. Всі запитання починаючи з 2405

2406240724082409241024112412241324142415 ▶

Завдання 2406 з 2529

На рисунку зображено ромб \(ABCD.\) Периметр трикутника \(ABC\) дорівнює \(18\) см, \(AC=5\) см. Обчисліть периметр ромба.

А\(13\) см

Б\(36\) см

В\(40\) см

Г\(26\) см

Д\(52\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, уміння обчислювати периметр чотирикутника.

Периметр трикутника \(ABC\) складається з двох сторін ромба й діагоналі \(AC{:}\)

\begin{gather*} P_{\Delta ABC}=AB+BC+AC. \end{gather*}

Обчислімо суму двох сторін ромба:

\begin{gather*} AB+BC=P_{\Delta ABC}-AC=18-5=13\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки в ромба всі чотири сторони рівні \((AB=BC=CD=DA)\), його периметр дорівнює подвоєній сумі двох сусідніх сторін:

\begin{gather*} P_{ABCD}=2\cdot (AB+BC)=2\cdot 13=26\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 836. Запитання: 39111

Завдання 2407 з 2529

\(\dfrac 29 y^{-2}\cdot 3y^4=\)

А\(\dfrac 59 y^2\)

Б\(\dfrac 29 y^{-2}\)

В\(\dfrac 23 y^{-2}\)

Г\(\dfrac 23 y\)

Д\(\dfrac 23 y^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа й вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

Для розв'язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишмо без змін, а показники додамо.

\begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*}

де (\(a\) – будь-яке число, \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Перегрупуймо числові коефіцієнти та степені з однаковою основою:

\begin{gather*} \frac 29 y^{-2}\cdot 3y^4=\frac 29\cdot 3\cdot y^4\cdot y^{-2}=\frac 29\cdot \frac 31\cdot y^{4+(-2)}=\frac 23 y^2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 836. Запитання: 39112

Завдання 2408 з 2529

Відстань до якої з наведених точок від точки \(K(0; 0; 2)\) найменша?

А\((2; 0; 2)\)

Б\((0; 0; 3)\)

В\((-5; 0; 2)\)

Г\((0; 0; -2)\)

Д\((0; 3; 2)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі.

Відстань між двома точками \(K(x_1; y_1; z_1)\) і \(P(x_2, y_2, z_2)\) в просторі обчислюють за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. \end{gather*}

Обчислімо відстань від точки \(K(0; 0; 2)\) до кожної точки з-поміж наведених:

А \((2; 0; 2){:}\)

\begin{gather*} d=\sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2+(2-2)^2}=\sqrt{4}=2. \end{gather*}

Б \((0; 0; 3){:}\)

\begin{gather*} d=\sqrt{(0-0)^2+(0-0)^2+(3-2)^2}=\sqrt{1}=1. \end{gather*}

B \((-5; 0; 2){:}\)

\begin{gather*} d=\sqrt{(-5-0)^2+(0-0)^2+(2-2)^2}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Г \((0; 0; -2){:}\)

\begin{gather*} d=\sqrt{(0-0)^2+(0-0)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{16}=4. \end{gather*}

Д \((0; 3; 2){:}\)

\begin{gather*} d=\sqrt{(0-0)^2+(3-0)^2+(2-2)^2}=\sqrt{9}=3. \end{gather*}

Отже, найменшою є відстань до точки \((0; 0; 3){.}\)

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 836. Запитання: 39113

Завдання 2409 з 2529

Розв’яжіть нерівність \(10^{x-2}\gt 1.\)

А\((-\infty; 2)\)

Б\((-2; +\infty)\)

В\((2; +\infty)\)

Г\((2{,}1; +\infty)\)

Д\((3; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

Запишімо праву частину нерівності як степінь з основою \(10\ (a^0=1){:}\)

\begin{gather*} 10^{x-2}\gt 10^0. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \(10\gt 1\), показникові функції є висхідними, тому знак нерівності зберігається й ця нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} x-2\gt 0;\\[7pt] x\gt 2. \end{gather*}

Отже, розв'язком нерівності є проміжок \(x\in (2; +\infty).\)

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 836. Запитання: 39114

Завдання 2410 з 2529

На стороні \(AD\) прямокутника \(ABCD\) вибрано точку \(K\) так, що \(KC=6\sqrt{3}\), \(\angle BKC=90^\circ\), \(\angle ABK=30^\circ\). Периметр прямокутника дорівнює

А\(24+6\sqrt{3}\)

Б\(18\)

В\(24\sqrt{3}+12\)

Г\(36\)

Д\(24\sqrt{3}+6\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників і трикутників, зокрема прямокутника й прямокутного трикутника, для обчислення периметра.

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle A=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} \angle AKB=90^\circ-\angle ABK=90^\circ-30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Розгорнутий кут \(\angle AKD=180^\circ\), тому:

\begin{gather*} \angle CKD=180^\circ-\angle AKB-\angle BKC=180^\circ-60^\circ-90^\circ=30^\circ. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta KDC\ (\angle D=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} \sin 30^\circ=\frac{CD}{KC};\\[6pt] CD=KC\cdot \sin 30^\circ=6\sqrt{3}\cdot \frac 12=3\sqrt{3};\\[6pt] \cos 30^\circ=\frac{KD}{KC};\\[6pt] KD=KC\cdot \cos 30^\circ=6\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle A=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 30^\circ=\frac{AK}{AB};\\[6pt] AK=AB\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=3\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=3. \end{gather*}

Обчислімо сторони прямокутника.

\begin{gather*} AD=AK+KD=3+9=12. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні,

\begin{gather*} AB=CD=3\sqrt{3}. \end{gather*}

Обчислімо периметр прямокутника \(ABCD{:}\)

\begin{gather*} P=2\cdot (AB+AD)=2\cdot (3\sqrt{3}+12)=24+6\sqrt{3}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 836. Запитання: 39115

Завдання 2411 з 2529

Обчисліть похідну функції \(f(x)=6x-2\cos x\) у точці з абсцисою \(x_0=\dfrac{\pi}{2}.\)

А\(3\pi-2\)

Б\(6\)

В\(3\pi+2\)

Г\(4\)

Д\(8\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Застосуймо основні правила диференціювання \((Cx)'=C\) та \((\cos x)'=-\sin x.\)

\begin{gather*} f'(x)=(6x)'-(2\cos x)'=6-2\cdot (-\sin x)=6+2\sin x. \end{gather*}

Підставмо значення \(x_0=\dfrac{\pi}{2}\) у рівняння похідної:

\begin{gather*} f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=6+2\sin\frac{\pi}{2}=6+2\cdot 1=6+2=8. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 836. Запитання: 39116

Завдання 2412 з 2529

Корінь рівняння \(\dfrac{1}{0{,}5x-1}=\dfrac 12\) належить проміжку

А\((0; \frac{\pi}{2})\)

Б\((\dfrac{\pi}{2}; \pi)\)

В\((\pi; 5)\)

Г\((5; 2\pi)\)

Д\((2\pi; 10)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[6pt] (0{,}5x-1)\cdot 1=1\cdot 2;\\[7pt] 0{,}5x-1=2;\\[7pt] 0{,}5x=3. \end{gather*}

Домножимо обидві частини рівняння на \(2{:}\)

\begin{gather*} x=6. \end{gather*}

При розв’язанні таких рівнянь треба враховувати ОДЗ (область допустимих значень) рівняння:

\begin{gather*} 0{,}5x-1\ne 0;\\[7pt] 0{,}5x\ne 1;\\[7pt] x\ne 2. \end{gather*}

Отриманий корінь задовольняє ОДЗ \((6\ne 2).\)

Оскільки \(\pi\approx 3{,}14\), то \(2\pi\approx 6{,}28.\)

\begin{gather*} (5; 2\pi)\approx (5; 6{,}28). \end{gather*}

Число \(6\) задовольняє нерівність \(5\lt 6\lt 6{,}28\), тому корінь належить саме цьому проміжку.

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 836. Запитання: 39117

Завдання 2413 з 2529

Доберіть до виразу (1–3) правильне твердження про його значення (А – Д).

Вираз

1\((3\pi -1)^0\)

2\(\log_{\textstyle \pi}\dfrac{1}{\pi^3}\)

3\(\mathrm{tg}\ \dfrac{\pi}{3}\)

Твердження про значення виразу

Ає натуральним числом

Бє цілим недодатним числом

Вє раціональним нецілим числом

Гє ірраціональним додатним числом

Дє ірраціональним від’ємним числом

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. \((3\pi-1)^0=1.\)

Будь-яке відмінне від нуля число в нульовому степені дорівнює \(1\ (a^0=1.)\) Число \(1\) належить до множини натуральних чисел. Отже, правильна відповідь – A.

2. \(\log_{\textstyle \pi}\dfrac{1}{\pi^3}=\log_{\textstyle \pi} \pi^{-3}=-3\cdot \log_{\textstyle \pi} \pi=-3.\)

Застосували формули:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Число \(-3\) є цілим і від’ємним, тобто належить до цілих недодатних чисел. Отже, правильна відповідь – Б.

3. За табличним значенням тригонометричних функцій \(\mathrm{tg}\ \dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}.\)

Число \(\sqrt{3}\) не подається у вигляді звичайного дробу (є ірраціональним) та є більшим за нуль (додатним). Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 836. Запитання: 39118

Завдання 2414 з 2529

До кожного речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Пряма \(y=-3x+4\)

2Пряма \(y=3x+2\)

3Пряма \(y=-3x\)

Закінчення речення

Ає паралельною прямій \(y=х.\)

Бсиметрична прямій \(y=3x+4\) відносно осі \(y.\)

Вутворює гострий кут із додатним напрямком осі \(x.\)

Гпроходить через початок координат.

Дне перетинає жодну з осей координат.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Пряма \(y=-3x+4.\)

Для симетричного відображення прямої \(y=3x+4\) відносно осі \(y\) замінюємо \(x\) на \(-x{:}\) отримуємо \(y=3(-x)+4=-3x+4\), що збігається з третьою функцією.

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Пряма \(y=3x+2.\)

У рівнянні \(y=3x+2\) кутовий коефіцієнт \(k=3\gt 0.\) Оскільки \(\mathrm{tg}\ \alpha=k\gt 0\), ця пряма утворює гострий кут із додатним напрямком осі \(x.\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. Пряма \(y=-3x.\)

У прямій \(y=-3x\) вільний член \(b=0\), тому за умови \(x=0\) отримуємо \(y=0\), що означає обов'язкове проходження графіка через початок координат.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 836. Запитання: 39119

Завдання 2415 з 2529

На паралельних прямих \(n\) і \(m\) розміщено сторони прямокутника \(ABCD\) й паралелограма \(DKLM\), вершини \(L\) і \(Q\) трикутника \(LQP\) (див. рисунок). \(BC=KL=6\) см, \(AB:BC=4:3\), \(LP=PQ\), \(\angle LPQ=60^\circ\), діагональ \(KM\) паралелограма й сторона \(LQ\) трикутника \(LPQ\) перпендикулярні до прямої \(n.\) Доберіть до фігури (1–3) її периметр (А – Д).

Фігура

1прямокутник \(ABCD\)

2паралелограм \(DKLM\)

3трикутник \(LPQ\)

Периметр фігури

А\(24\) см

Б\(32\) см

В\(28\) см

Г\(36\) см

Д\(14\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати периметри геометричних фігур, застосовуючи спільну відстань між паралельними прямими, пропорційність відрізків, теорему Піфагора й властивості рівностороннього трикутника.

1. Прямокутник \(ABCD\)

З пропорції \(AB:BC=4:3\) й відомої сторони \(BC=6\) см:

\begin{gather*} AB=\frac{BC\cdot 4}{3}=\frac{6\cdot 4}{3}=8\ \text{см}.\\[7pt] P_{ABCD}=2\cdot (AB+BC)=2\cdot (8+6)=28\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

2. Паралелограм \(DKLM\)

Відстань між паралельними прямими \(m\) і \(n\) дорівнює висоті прямокутника \(AB=8\) см. Оскільки \(KM\!\perp\!n\), відрізок \(KM\) є перпендикуляром до прямих \(m\) і \(n\), тому \(KM=8\) см та \(\angle MKL=90^\circ.\)

З прямокутного трикутника \(\Delta KML\) за теоремою Піфагора обчислюємо бічну сторону \(ML{:}\)

\begin{gather*} ML^2=KM^2+KL^2;\\[7pt] ML=\sqrt{KM^2+KL^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\ \text{см};\\[7pt] P_{DKLM}=2\cdot(KL+ML)=2\cdot (6+10)=32 \ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Трикутник \(LPQ\)

Оскільки \(LP=PQ\) і \(\angle LPQ=60^\circ\), рівнобедрений трикутник \(LPQ\) рівносторонній, тобто \(LP=PQ=LQ.\)

Відрізок \(LQ\!\perp\!n\), тому він дорівнює відстані між прямими \(m\) і \(n{:}\ LQ=8\) см.

\begin{gather*} P_{LPQ}=3\cdot LQ=3\cdot 8=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 836. Запитання: 39120