ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня та знаменнику дробу, визначати умову існування розв’язку.

Перенесімо \(\dfrac{81}{a−2x}\) ліворуч:

\begin{gather*} \frac{9^x-12\cdot 3^x+23}{2x-a}-\frac{\log_3 81}{a-2x}=0. \end{gather*}

Зведімо доданки лівої частини до одного знаменника \(2x−a.\) Для цього помножмо чисельник і знаменник другого доданку на \(−1{:}\)

\begin{gather*} \frac{9^x-12\cdot 3^x+23}{2x-a}-\frac{-\log_3 81}{-(a-2x)}=0;\\[6pt] \frac{9^x-12\cdot 3^x+23}{2x-a}+\frac{\log_3 81}{2x-a}=0;\\[6pt] \frac{9^x-12\cdot 3^x+23+\log_3 81}{2x-a}=0. \end{gather*}

Запишімо ОДЗ утвореного рівняння: знаменник дробу не дорівнює нулю.

\begin{gather*} 2x-a\ne 0. \end{gather*}

Прирівняймо чисельник до нуля:

\begin{gather*} 9^x-12\cdot 3^x+23+\log_3 81=0. \end{gather*}

Спростімо доданки: \(9^x\) запишімо як \((3^2)^x=3^{2x}.\)

Запишімо \(81\) як \(3^4.\) Використаймо логарифмічні тотожності:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} \log_3 3^4=4\cdot \log_3 3=4\cdot 1=4. \end{gather*}

Рівняння набуде вигляду:

\begin{gather*} 3^{2x}-12\cdot 3^x+23+4=0;\\[7pt] 3^{2x}-12\cdot 3^x+27=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай \(3^x=t\), тоді \(3^{2x}=t^2.\) Оскільки показникова функція \(y=3^x\) набуває лише додатних значень, на заміну накладімо обмеження: \(t\gt 0.\)

Утворилося квадратне рівняння:

\begin{gather*} t^2-12\cdot t+27=0. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти квадратного рівняння:

• \(a=1\) (множник біля \(t^2\));
• \(b=−12\) (множник біля \(t\));
• \(c=27\) (вільний член).

Оскільки \(a=1\), рівняння зведене. Використаймо теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\begin{gather*} \begin{cases} t_1+t_2=-b=-(-12)=12,\\ t_1\cdot t_2=c=27. \end{cases} \end{gather*}

Із системи визначмо корені \(t_1\), \(t_2\) рівняння:

\begin{gather*} t_1=3;\\[7pt] t_2=9. \end{gather*}

Повернімося до заміни:

\begin{gather*} 3^x=t;\\[7pt] 3^x=3,\ \ 3^x=3^1,\ \ x=1;\\[7pt] 3^x=9,\ \ 3^x=3^2,\ \ x=2. \end{gather*}

Маємо два корені початкового рівняння. Щоб це рівняння мало один розв’язок, як зазначено в умові завдання, один з коренів має бути стороннім, тобто не задовольняти записаної ОДЗ (перетворювати знаменник дробу на нуль).

Варіант 1: нехай розв’язок \(x=1\) буде стороннім коренем. Визначмо, за якого значення параметра \(a\) це справджується. Для цього в знаменник \(2x−a\) замість \(x\) підставмо \(1\) і прирівняймо його до нуля:

\begin{gather*} 2\cdot 1-a=0;\\[7pt] 2-a=0;\\[7pt] a=2. \end{gather*}

Отже, якщо \(x=1\) і \(a=2\), знаменник дробу в рівнянні перетвориться на нуль. Тобто корінь \(x=1\) за \(a=2\) є стороннім. Перевірмо, чи буде в такому разі існувати корінь \(x=2.\) Для цього перевірмо значення знаменника, підставивши в нього \(2\) замість параметра \(a\) й \(2\) замість кореня \(x{:}\)

\begin{gather*} 2\cdot 2-2=4-2=2. \end{gather*}

Як бачимо, якщо \(a=2\), корінь \(x=2\) існує (оскільки знаменник не перетворюється в нуль) і буде єдиним розв’язком рівняння.

Варіант 2: нехай розв’язок \(x=2\) буде стороннім коренем. Визначмо, за якого значення параметра \(a\) це справджується. Для цього в знаменник \(2x−a\) замість \(x\) підставмо \(2\) та прирівняймо його до нуля:

\begin{gather*} 2\cdot 2-a=0;\\[7pt] 4-a=0;\\[7pt] a=4. \end{gather*}

Отже, якщо \(x=2\) і \(a=4\), знаменник дробу в рівнянні перетвориться на нуль. Тобто корінь \(x=2\) при \(a=4\) є стороннім. Перевірмо, чи буде в такому разі існувати корінь \(x=1.\) Для цього перевірмо значення знаменника, підставивши в нього \(4\) замість параметра \(a\) ій\(1\) замість кореня \(x{:}\)

\begin{gather*} 2\cdot 1-4=2-4=-2. \end{gather*}

Якщо \(a=4\), корінь \(x=1\) існує (оскільки знаменник не перетворюється в нуль) і буде єдиним розв’язком рівняння.

Тобто маємо два значення параметра \(a\), за яких рівняння матиме лише один корінь (якщо \(a=2\), тоді існуватиме лише \(x=2\); якщо \(a=4\), тоді існуватиме лише \(x=1\)).

Обчислімо суму значень параметра \(a{:}\ 2+4=6.\)

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа й вирази. Арифметичні дії.

Завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з буквеними виразами, зокрема спрощувати алгебричні вирази способом групування й зведення подібних доданків з огляду на знаки їхніх коефіцієнтів.

Щоб спростити вираз, зведімо подібні доданки, згрупувавши їх за степенями \(x{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа й вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення й обчислювати дріб від числа через множення.

Щоб обчислити дріб (частину) від числа, треба це число помножити на дріб.

Запишімо \(0{,}01\) у вигляді степеня числа \(10{:}\)

\begin{gather*} 0{,}01=10^{-2}. \end{gather*}

Обчислімо максимальну швидкість зорельота, помноживши швидкість світла на \(0{,}01{:}\)

Використали властивість степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія імовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння визначати ймовірність випадкової події за класичним означенням, а також уміння зчитувати й аналізувати дані з графічних зображень (схем, планів).

Для обчислення ймовірності скористаймося класичною формулою

\begin{gather*} P=\frac mn, \end{gather*}

де \(n\) – кількість усіх доступних (вільних) місць, а \(m\) – кількість сприятливих місць за барною стійкою.

Усього в кав'ярні \(25\) місць, але зайняті лише \(5\) місць біля барної стійки. Отже, вільними залишаються \(n=25-5=20\) місць.

На плані зображено \(3\) круглі столики, навколо кожного – \(4\) стільці, тому кількість сприятливих місць дорівнює

\begin{gather*} m=3\cdot 4=12, \end{gather*}

шукана ймовірність становить

\begin{gather*} P=\frac{12}{20}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей бісектриси кута та вписаного в трикутник кола.

I. Будь-яка точка на бісектрисі кута \(A\) рівновіддалена від сторін \(AC\) й \(AB.\)

За означенням і властивістю бісектриси кута, будь-яка її точка рівновіддалена від сторін цього кута (у цьому прикладі – від \(AC\) й \(AB\)). Твердження правильне.

II. Бісектриса кута \(A\) ділить сторону \(BC\) на дві рівні частини.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам \(\left(\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{AB}{AC}\right).\) Навпіл сторону \(BC\) ділить медіана, або ж бісектриса лише у разі рівнобедреного трикутника з основою \(BC.\) Твердження неправильне.

III. Центр вписаного в трикутник кола лежить на бісектрисі кута \(A.\)

Центр вписаного в трикутник кола – це точка перетину бісектрис усіх його внутрішніх кутів, тому ця точка обов'язково лежить на бісектрисі кута \(A.\) Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

Серед наведених варіантів лише число \(-5\) є коренем рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

За аксіомою стереометрії через пряму й точку, яка їй не належить, можна провести єдину площину.

Оскільки вершина піраміди \(S\) не належить прямій \(AM\), через них можна провести лише одну площину – площину перерізу \((SAM).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Перетворімо звичайний дріб у десятковий:

\begin{gather*} \frac{24}{5}=\frac{24\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{48}{10}=4{,}8. \end{gather*}

Підставмо цей десятковий дріб у початковий вираз й обчислімо його значення:

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння розпізнавати графіки елементарних функцій та аналізувати їхні властивості за областю визначення, областю значень і симетрією відносно осей координат.

Графік розташований у IV координатній чверті, отже, \(x\ge 0\), а \(y\le 0.\) Графік проходить через початок координат \((0; 0)\) і точки \((1; -1)\) і \((4; -2).\)

Проаналізуймо варіанти відповідей методом виключення:

А \((y=-2^x){:}\)
за \(x=0\) отримуємо \(y=-1\ne 0\) (не проходить через \((0; 0)\)).

Б \((y=\sqrt{-x}){:}\)
визначена за \(-x\ge 0\), отже \(x\le 0\) (розміщена в II чверті).

В \((y=-\sqrt{x}){:}\)
визначена за \(x\ge 0\), \(y\le 0\), проходить через точки \((0; 0)\), \((1; -1)\), \((4; -2).\) Це графік \(y=\sqrt{x}\), симетрично відображений відносно осі \(Ox.\)

Г \(\left(y=\dfrac 1x\right)\) та Д \((y=\log_{\textstyle \frac 13} x){:}\)
не визначені в точці \(x=0\) (не проходять через \((0; 0)\)).

Відповідь: B.