Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 2395

Завдання 2396 з 2419

На рисунку зображено пряму чотирикутну призму й чотирикутну піраміду \(SABCD\), основою якої є ромб \(ABCD.\) Основою призми є прямокутник, більша сторона якого дорівнює \(20\) см, а менша сторона дорівнює діагоналі \(AC\) ромба. \(BD=20\) см, \(SA=SC=25\) см, \(SB=SD=26\) см. Визначте об’єм (см\(^3\)) призми, якщо площа її бічної поверхні дорівнює \(680\) см\(^2.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, застосовувати властивості ромба й теорему Піфагора для знаходження невідомих параметрів призми та обчислення її об'єму.

Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба \(ABCD.\) Оскільки діагоналі ромба перпендикулярні й діляться точкою перетину навпіл:

\begin{gather*} OB=\frac{BD}{2}=\frac{20}{2}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Трикутники \(SAC\) та \(SBD\) — рівнобедрені \((SA=SC\), \(SB=SD)\), тому \(SO\) є висотою обох трикутників і висотою всієї піраміди \((SO\!\perp\!(ABCD)).\)

З прямокутного трикутника \(SOB\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SB^2=SO^2+OB^2;\\[7pt] SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\ \text{см}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(SOA\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2;\\[7pt] OA=\sqrt{SA^2-SO^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді довжина діагоналі ромба \(AC{:}\)

\begin{gather*} AC=2\cdot OA=2\cdot 7=14\ \text{см}. \end{gather*}

Тоді сторони прямокутника в основі призми: \(a=20\) см та \(b=AC=14\) см.

Площа основи призми:

\begin{gather*} S_\text{осн}=a\cdot b=20\cdot 14=280\ \text{см}^2. \end{gather*}

Периметр основи призми:

\begin{gather*} P=2(a+b)=2(20+14)=68\ \text{см}. \end{gather*}

Висота призми \(h\) шукається через формулу площі бічної поверхні \((S_\text{біч}=P\cdot h){:}\)

\begin{gather*} h=\frac{S_\text{біч}}{P}=\frac{680}{68}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot h=280\cdot 10=2800\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(2800.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2397 з 2419

Визначте кількість усіх цілих значень \(a\), за кожного з яких рівняння \(\sqrt{2x-a}\cdot (\log_3(x-4)-2)=0\) має два різні розв’язки.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні та ірраціональні рівняння.

е завдання перевіряє вміння розв'язувати ірраціональні рівняння з параметрами, знання властивостей логарифмічної функції.

ОДЗ:

\begin{gather*} \begin{cases} x-4\gt 0\ \text{(підлогарифмічний вираз)},\\ 2x-a\ge 0\ \text{(підкореневий вираз)}, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x\gt 4,\\ 2x\ge a, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x\gt 4,\\ x\ge \frac a2. \end{cases} \end{gather*}

Добуток двох множників дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із них дорівнює нулю та при цьому не втрачає змісту інший.

Спочатку знайдемо потенційні корені.

З другого множника маємо \(\log_3(x-4)-2=0\), звідки

\begin{gather*} \log_3(x-4)=2;\\[7pt] x-4=3^2;\\[7pt] x-4=9;\\[7pt] x_2=13. \end{gather*}

З першого множника отримуємо

\begin{gather*} \sqrt{2x-a}=0;\\[7pt] 2x-a=0;\\[7pt] 2x=a;\\[7pt] x_1=\frac a2. \end{gather*}

Рівняння матиме два різні розв’язки лише тоді, коли обидва корені належать області допустимих значень та не збігаються між собою.

Перевіримо виконання умов ОДЗ та відмінності коренів \((x_1\ne x_2).\)

Умова \(x\gt 4\) для кореня \(x_2=13\) виконується завжди, а для кореня \(x_1=\dfrac a2\) має виконуватися нерівність \(\dfrac a2\gt 4\), звідки отримуємо \(a\gt 8.\)

Умова \(x\ge \dfrac a2\) для \(x_1=\dfrac a2\) вона виконується автоматично, а для \(x_2=13\) потребує \(13\ge \dfrac a2\), звідки \(a\le 26.\)

Щоб корені не збігалися \((x_1\ne x_2)\), значення \(\dfrac a2\ne 13\), тобто \(a\ne 26.\)

Об’єднаємо ці умови

Отже, значення параметра \(a\) належать інтервалу \((8; 26).\)

Цілими значеннями із цього проміжку є числа від \(9\) до \(25.\)

Обчислюємо їх кількість:

\begin{gather*} 25-9+1=17. \end{gather*}

Відповідь: \(17.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2398 з 2419

На діаграмі відображено інформацію щодо зміни маси (кг) слона протягом шести місяців із січня до червня цього року в порівнянні з груднем минулого року. Якою стала маса слона в червні, якщо в грудні вона становила \(4{,}235\) т?

А\(4215\) кг

Б\(4235\) кг

В\(4275\) кг

Г\(4295\) кг

Д\(4305\) кг

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2399 з 2419

Вадим планує переглянути навчальний відеоролик тривалістю \(60\) хвилин. Перед переглядом він у налаштуваннях збільшив швидкість відтворення в \(1{,}5\) раза. Скільки хвилин тепер триватиме перегляд цього відеоролика?

А\(90\)

Б\(45\)

В\(40\)

Г\(35\)

Д\(30\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2400 з 2419

На рисунку 1 схематично зображено підставку для планшета (рис. 2), яка стоїть на горизонтальній поверхні (пряма \(AD\)). Точки \(A\), \(B\), \(C\) і \(K\) лежать на одній прямій. Визначте градусну міру кута \(BAD\), якщо \(\angle BKD=128^\circ\), \(\angle ADK=68^\circ.\)

А\(62^\circ\)

Б\(60^\circ\)

В\(66^\circ\)

Г\(50^\circ\)

Д\(52^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2401 з 2419

Розв’яжіть нерівність \(2x-1\ge 0.\)

А\([-\dfrac 12; +\infty)\)

Б\((-\infty; -\dfrac 12]\)

В\((-\infty; \dfrac 12]\)

Г\([\dfrac 12; +\infty)\)

Д\([1; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2402 з 2419

Конус утворений обертанням

Арівнобедреного трикутника навколо його основи

Брівностороннього трикутника навколо його сторони

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи

Гпрямокутного трикутника навколо його катета

Дпрямокутника навколо його сторони

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2403 з 2419

У прямокутній системі координат на площині зображено фрагмент графіка непарної функції \(y=f(x)\) і точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) і \(P.\) Через яку із цих точок проходить графік функції \(y=f(x)\)?

А\(K\)

Б\(L\)

В\(M\)

Г\(N\)

Д\(P\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2404 з 2419

У десятому класі за списком \(24\) учні. Імовірність того, що вік учня, прізвище якого навмання вибирають зі списку класу, буде меншим за \(15\) років, дорівнює \(\dfrac 16.\) Скільки всього в класі учнів, вік яких менший за \(15\) років?

А\(3\)

Б\(4\)

В\(6\)

Г\(8\)

Д\(20\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2405 з 2419

У прямокутній системі координат у просторі задано вектори \(\vec a(–2; 2; 1)\) і \(\vec b(4; –3; 0). \) Визначте модуль вектора \(\vec c=\vec a+\vec b.\)

А\(\sqrt{5}\)

Б\(\sqrt{6}\)

В\(2\)

Г\(14\)

Д\(\sqrt{62}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання

Знайшли помилку? Пишіть на