ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння визначати елементи й площу рівнобедреного трикутника, використовуючи радіус описаного кола, відомий кут і властивості рівнобедреного трикутника.

Площу трикутника \(ABC\) обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12\cdot AC\cdot BH. \end{gather*}

Довжину сторони \(AC\) – за теоремою синусів:

\begin{gather*} \frac{AC}{\sin \angle B}=2R;\\[6pt] AC=2R\cdot\sin \angle B=2a\cdot \sin (2\beta). \end{gather*}

Довжину висоти \(BH\) – з прямокутного трикутника \(BHA\ (\angle H=90^\circ).\)

Оскільки трикутник \(ABC\) рівнобедрений, висота \(BH\), проведена до його основи, є також бісектрисою і медіаною. Оскільки \(BH\) − медіана, вона ділить сторону \(AC\) навпіл:

Оскільки \(BH\) − бісектриса, вона ділить кут \(B\) навпіл:

\begin{gather*} \angle ABH=\angle HBC=\frac{\angle B}{2}=\frac{2\beta}{2}=\beta. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(BHA\) тангенс кута \(ABH\) дорівнює відношенню протилежного катета \((AH)\) до прилеглого \((BH){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \angle ABH=\frac{AH}{BH}. \end{gather*}

Виразімо \(BH{:}\)

\begin{gather*} BH=\frac{AH}{\mathrm{tg}\ \angle ABH}=\frac{a\cdot \sin (2\beta)}{\mathrm{tg}\ \beta}. \end{gather*}

Запишімо \(\mathrm{tg}\ \beta\) як

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}. \end{gather*}

Розпишімо множник із чисельника за формулою синуса подвійного кута:

Підставмо ці величини у формулу площі трикутника \(ABC{:}\)

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12\cdot 2a\cdot \sin(2\beta)\cdot 2a\cdot \cos^2\beta. \end{gather*}

Спростімо отриманий запис, для цього використаймо скорочення на \(2\) й формулу синуса подвійного кута:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну функції, використовуючи правила диференціювання й таблицю похідних.

Спростімо вигляд наведеної в умові функції. Для цього помножмо \(x^2\) на кожен доданок у дужці, використовуючи властивість степенів \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}{:}\)

Визначмо похідну функції, скориставшись правилами диференціювання:

\begin{gather*} (u+v)'=u'+v';\\[7pt] (cu)'=cu', \end{gather*}

(де \(c\) – стала).

Також використаймо табличну похідну степеневої функції:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння розкривати модуль, використовувати формулу скороченого множення й зводити подібні доданки.

Розкриймо квадрат різниці, використовуючи формулу скороченого множення:

Розкриймо модуль. Для цього визначмо знак підмодульного виразу: \(2-2\sqrt{2}.\)

Подамо \(2\) як \(\sqrt{4}\), \(2\sqrt{2}\) як \(\sqrt{2^2\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=8.\) Порівняємо отримані підкореневі вирази. Оскільки \(4\lt 8\), тоді: \(\sqrt{4}\lt \sqrt{8}\), отже: \(2\lt 2\sqrt{2}.\)

Оскільки від меншого числа \((2)\) віднімаємо більше \((2\sqrt{2})\), значення підмодульного виразу буде від’ємним. Після розкриття такого модуля маємо змінити знак підмодульного виразу на протилежний:

Маємо:

Запишімо вираз з умови, зважаючи на зроблені перетворення, і зведімо подібні доданки:

\begin{gather*} 3-2\sqrt{2}-2+2\sqrt{2}=1. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Системи рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь, використовуючи навички розв’язання показникових і лінійних рівнянь.

Визначмо з першого рівняння \(x.\) Для цього спростимо ліву частину рівняння, використовуючи властивість степенів:

\begin{gather*} a^n\cdot b^n=(ab)^n.\\[7pt] 2^x\cdot 7^x=(2\cdot 7)^x=14^x. \end{gather*}

Спростимо праву частину першого рівняння системи. Для цього використаємо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\\[6pt] \frac{1}{14}=14^{-1}. \end{gather*}

Вигляд першого рівняння системи:

\begin{gather*} 14^x=14^{-1}. \end{gather*}

У рівнянні в лівій і правій частині основи однакові \((14).\) Отже, можемо відкинути основи й прирівняти показники степенів:

\begin{gather*} x=-1. \end{gather*}

Підставмо отримане значення \(x\) у друге рівняння системи, щоб визначитити \(y{:}\)

\begin{gather*} 3\cdot (-1)-2y=7;\\[7pt] -3-2y=7. \end{gather*}

Розв’яжімо отримане рівняння. Для цього перенесімо \(−3\) праворуч і поділімо обидві частини рівняння на \(−2{:}\)

\begin{gather*} -2y=7+3;\\[7pt] -2y=10;\\[7pt] y=10:(-2)=-5. \end{gather*}

Отже, розв’язок системи: \(x_0=−1\), \(y_0=−5.\) Обчислімо суму:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні, тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє знання множин чисел і вміння спрощувати тригонометричні й логарифмічні вирази, використовуючи тригонометричні формули й логарифмічні тотожності.

1. \(120^\circ\) можемо записати як різницю: \(180^\circ−60^\circ.\) Отже, отримаємо вираз:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ (120^\circ)=\mathrm{tg}\ (180^\circ-60^\circ). \end{gather*}

Використаймо формулу зведення:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ (180^\circ-\alpha)=-\mathrm{tg}\ \alpha;\\[7pt] \mathrm{tg}\ (180^\circ-60^\circ)=-\mathrm{tg}\ 60^\circ. \end{gather*}

За таблицею значень тригонометричних функцій деяких кутів:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 60^\circ=\sqrt{3}. \end{gather*}

Маємо:

\begin{gather*} -\mathrm{tg}\ 60^\circ=-\sqrt{3}. \end{gather*}

\(-\sqrt{3}\) – це від’ємне ірраціональне число.

Отже, правильна відповідь – Д.

2. За таблицею значень тригонометричних функцій деяких кутів:

\begin{gather*} \sin 270^\circ=-1. \end{gather*}

Отже, маємо вираз: \(\lg 10^{-1}.\)

Використаймо логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \lg 10^{-1}=-1\cdot \lg 10=-\lg 10. \end{gather*}

Аргумент й основа логарифма однакові (дорівнюють \(10\)), тому застосуймо логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} \log_a a=1.\\[7pt] -\lg 10=-1\cdot 1=-1. \end{gather*}

\(−1\) – це ціле недодатне число.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Використаймо формулу синуса подвійного кута:

За таблицею значень тригонометричних функцій деяких кутів:

\begin{gather*} \sin 90^\circ=1. \end{gather*}

\(1\) – це натуральне число.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій і рівняння кола.

Побудуймо графік рівняння кола, яке має загальний вигляд:

\begin{gather*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2, \end{gather*}

(де \(x_0\), \(y_0\) − координати центра кола; \(R\) − радіус кола).

За умовою задане рівняння кола: \((x−5)^2+(y+4)^2=16.\)

Запишімо \(16\) як \(4^2\), \(+4\) як \(−(−4).\) Маємо:

\begin{gather*} (x-5)^2+(y-(-4))^2=4^2, \end{gather*}

Отже, координати центра кола: \((5;−4)\), радіус кола: \(4.\)

Побудуймо задане коло.

1. Спростімо функцію \(y=\ln 1\), використовуючи логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} \log_a 1=0.\\[7pt] y=ln 1=0. \end{gather*}

Побудуймо отриману функцію. Її графік – пряма, що накладається на вісь абсцис.

Коло дотикається осі абсцис (і, відповідно, графіка функції \(y=\ln 1\)) в одній точці з координатами: \((5; 0).\) Задане коло й побудована функція матимуть одну спільну точку.

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Спростімо функцію \(y+x^2=(x-1)^2.\) Для цього використаймо формулу квадрата різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\\[7pt] y+x^2=x^2-2\cdot x\cdot 1+(-1)^2;\\[7pt] y+x^2=x^2-2x+1. \end{gather*}

Перенесімо праворуч і зведімо подібні доданки:

\begin{gather*} y=x^2-2x+1-x^2;\\[7pt] y=-2x+1. \end{gather*}

Отримали лінійну функцію, для побудови якої потрібно взяти дві точки:

• якщо \(x=0\), то \(y=1\);
• якщо \(x=1\), то \(y=−1.\)

Позначмо точки \((0; 1)\), \((1; −1)\) на координатній площині й проведімо через них пряму.

Як бачимо з отриманого графіка, побудована пряма й коло мають дві точки перетину.

Отже, правильна відповідь – В.

3. У функції \(y-2=5^{−x}\) виразімо \(y.\) Для цього перенесімо \(−2\) праворуч:

\begin{gather*} y=5^{-x}+2. \end{gather*}

Це показникова функція \(y=5^{−x}\), графік якої перенесено паралельно осі ординат на дві одиниці вгору. За властивістю показникова функція \(y=5^{−x}\) за будь-яких \(x\) набуває додатних значень, тобто її графік розташований вище від осі абсцис:

Графік функції \(y=5^{−x}\) підняли на дві одиниці вгору, тобто для утвореної функції \(y\gt 2.\)

Отже, графік заданої за умовою функції лежить повністю над віссю абсцис. Це означає, що графік заданої функції \(y=5^{−x}+2\) й коло, яке лежить нижче від осі абсцис і дотикається до неї лише в одній точці з координатами: \((5; 0)\), не мають жодної спільної точки:

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння визначати площу круга, якщо відомі площа сектора й відповідний центральний кут, елементи та площу прямокутного трикутника, площу трапеції, зважаючи на властивість чотирикутника, у який вписано коло.

1. Визначмо площу круга \(S_\text{круга}.\) Складімо пропорцію, враховуючи, що весь круг відповідає куту \(360^\circ\), а заданий сектор – куту \(40^\circ{:}\)

Підставимо в пропорцію відому площу сектора:

Виразімо з пропорції площу круга:

\begin{gather*} S_\text{круга}=\frac{4\pi\cdot 360^\circ}{40^\circ}=36\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Підставмо \(3{,}14\) замість \(\pi{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. Оскільки \(KM\) – діаметр, то \(\angle KLM=90^\circ\), як вписаний кут, що спирається на діаметр. Отже, трикутник \(KLM\) прямокутний. Його площу можна обчислити за формулою:

За умовою: \(\angle LKM=60^\circ\), як кут між хордою \(KL\) і діаметром \(KM.\) Сума гострих кутів у прямокутному трикутнику дорівнює \(90^\circ{:}\)

\begin{gather*} \angle LKM+\angle LMK=90^\circ. \end{gather*}

Виразімо градусну міру кута \(LMK{:}\)

У прямокутному трикутнику навпроти кута \(30^\circ\) лежить катет, який удвічі коротший за гіпотенузу. У прямокутному трикутнику \(KLM\) навпроти кута \(\angle LMK=30^\circ\) лежить катет \(KL.\) Отже: \(KL=\dfrac{KM}{2}.\)

З обчисленої в першому пункті площі круга визначмо довжину його радіуса \((R).\) Для цього запишімо формулу для обчислення площі круга:

\begin{gather*} S_\text{круга}=\pi R^2. \end{gather*}

Підставмо це значення площі круга й визначмо радіус круга \((R){:}\)

\begin{gather*} 36\pi=\pi R^2;\\[7pt] 36=R^2;\\[7pt] R=6\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину діаметра \((KM)\) круга:

\begin{gather*} d=KM=2R=2\cdot 6=12\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину катета \(KL{:}\)

\begin{gather*} KL=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Визначмо площу трикутника \(KLM.\) Для цього у формулу підставмо обчислені величини \((\angle LKM=60^\circ\), \(KM=12\), \(KL=6){:}\)

Отже, правильна відповідь – A.

3. Запишімо формулу для визначення площі трапеції \(ABCD{:}\)

\begin{gather*} S_{ABCD}=m\cdot h, \end{gather*}

(де \(m\) − середня лінія трапеції \(ABCD\), \(h\) − висота трапеції \(ABCD\)).

Оскільки трапеція прямокутна, її бічна сторона перпендикулярна до основ і дорівнює висоті цієї трапеції та діаметру круга, який у неї вписано:

\begin{gather*} AB=h=d=12\ \text{см}. \end{gather*}

Довжина середньої лінії трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} m=\frac{AD+BC}{2}. \end{gather*}

У чотирикутник можна вписати коло, коли суми довжин його протилежних сторін однакові. Оскільки в задану трапецію вписано коло, суми її протилежних сторін рівні:

\begin{gather*} AB+CD=AD+BC. \end{gather*}

Підставмо в цей запис відомі величини (\(AB=12\), \(CD=22\) за умовою):

\begin{gather*} 12+22=AD+BC;\\[7pt] AD+BC=34\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, сума основ трапеції \(ABCD\) дорівнює \(34\) см. Підставмо це значення у формулу для обчислення середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} m=\frac{34}{2}=17\ \text{см}. \end{gather*}

Підставмо довжину середньої лінії та висоту у формулу для обчислення площі трапеції:

\begin{gather*} S_{ABCD}=17\cdot 12=204\ \text{см}^2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння розрізняти первісну й похідну функції, визначати похідну й мінімальне значення квадратичної функції, обчислювати абсцису її вершини.

Визначмо функцію \(y=f(x).\) Оскільки \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}−3x^2+5x+4\) – первісна для функції \(y=f(x)\), визначмо її похідну. Для цього застосуймо правила диференціювання:

\begin{gather*} (u+v)'=u'+v';\\[7pt] (cu)'=cu';\\[7pt] (c)'=0, \end{gather*}

(де \(c\) – стала).

А також використаймо табличні похідні:

\begin{gather*} x'=1;\\[7pt] (x^a)'=ax^{a-1}. \end{gather*}

У доданку \(\dfrac{x^3}{3}\) винесімо \(x^3\) із чисельника як множник: \(\dfrac 13 x^3.\)

Отримали квадратичну функцію: \(f(x)=x^2−6x+5.\) Її графік – парабола з вітками вгору, оскільки коефіцієнт \(a\) (множник біля \(x^2\)) більший за нуль \((a=1\), \(1\gt 0).\) Отже, мінімальне значення ця функція буде набувати у вершині. Визначимо абсцису вершини параболи за формулою:

\begin{gather*} x_\text{В}=-\frac{b}{2a}. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти: \(a=1\), \(b=−6\) (множник біля \(x\)).

\begin{gather*} x_\text{В}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=\frac 62=3. \end{gather*}

Отже, абсциса вершини функції \(y=f(x)\) і її мінімального значення дорівнює \(3.\)

Відповідь: \(3.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння використовувати арифметичну прогресію для розв’язання текстових задач.

Оскільки щодня учасниця долала на ту саму кількість поверхів більше, ніж попереднього дня, задача зводиться до арифметичної прогресії, елементами якої \((a_n)\) є кількість пройдених поверхів. Виділімо основні параметри цієї арифметичної прогресії:

• \(a_1=4\) – кількість поверхів, які пройшла учасниця першого дня;
• \(d=1\) – кількість поверхів, на яку щодня збільшувалось навантаження;
• \(n=20\) – кількість днів челенджу.

Визначмо кількість поверхів, які подолала учасниця за всі дні челенджу. Для цього використаймо формулу суми арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. \end{gather*}

Підставмо відомі значення:

Отже, за всі дні челенджу учасниця подолала \(270\) поверхів. Визначмо кількість сходинок, які було пройдено за цей час. Для цього зважмо на умову завдання: між двома поверхами \(8\) сходинок. Щоб обчислити загальну кількість пройдених сходинок, помножмо визначену кількість поверхів на кількість сходинок, що розділяють два сусідні поверхи:

\begin{gather*} 270\cdot 8=2160\ \text{сходинок}. \end{gather*}

Відповідь: \(2160.\)