Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 2385

Завдання 2386 з 2419

Розв’яжіть рівняння \(3^x=81\cdot 9^x.\)

А\(-4\)

Б\(-2\)

В\(6\)

Г\(-\dfrac 43\)

Д\(4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2387 з 2419

Обчисліть площу \(S\) зафарбованої фігури, обмеженої графіком функції \(y=e^x\), осями координат і прямою \(x=1\) (див. рисунок).

А\(S=e+1\)

Б\(S=e\)

В\(S=e-1\)

Г\(S=1\)

Д\(S=1-e\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2388 з 2419

На рисунку зображено рівнобедрений трикутник \(ABC\), у якому \(\angle ABC=120^\circ.\) Точки \(K\) і \(M\) є серединами сторін \(AB\) та \(AC\) відповідно. Визначте площу (см\(^2\)) чотирикутника \(KBCM\), якщо \(AC=24\) см.

А\(48\sqrt{3}\)

Б\(24\)

В\(24\sqrt{3}\)

Г\(36\)

Д\(36\sqrt{3}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника, співвідношення в прямокутному трикутнику, середньої лінії трикутника, властивостей подібних трикутників, властивість площ геометричних фігур.

Оскільки \(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((AB=BC)\) із кутом при вершині \(\angle ABC=120^\circ\), кути при основі дорівнюють

\begin{gather*} \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ. \end{gather*}

Проведемо висоту \(BM\!\perp\!AC.\)

У рівнобедреному трикутнику висота є медіаною, тому \(AM=MC=24:2=12\) см. Із прямокутного трикутника \(ABM\) знаходимо висоту \(BM{:}\)

\begin{gather*} BM=AM\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=12\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислимо площу \(\Delta ABC{:}\)

\begin{gather*} S_{\Delta ABC}=\frac 12\cdot AC\cdot BM=\frac 12\cdot 24\cdot 4\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Точки \(K\) та \(M\) — середини сторін \(AB\) та \(AC\), отже, \(KM\) — середня лінія \(\Delta ABC.\)

Трикутник \(AKM\) подібний до \(\Delta ABC\) з коефіцієнтом подібності

\begin{gather*} k=\frac{AK}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{KM}{BC}=\frac 12. \end{gather*}

Відношення площ подібних трикутників дорівнює \(k^2{:}\)

\begin{gather*} \frac{S_{\Delta AKM}}{S_{\Delta ABC}}=\left(\frac 12\right)^2;\\[6pt] S_{\Delta AKM}=\left(\frac 12\right)^2\cdot S_{\Delta ABC}=\frac 14\cdot S_{\Delta ABC}. \end{gather*}

Площа шуканого чотирикутника \(KBCM\) дорівнює різниці площ \(\Delta ABC\) та \(\Delta AKM{:}\)

\begin{gather*} S_{KBCM}=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta AKM}=\frac 34 S_{\Delta ABC}=\frac 34\cdot 48\sqrt{3}=36\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2389 з 2419

\(|5^{-1}-3|=\)

А\(8\)

Б\(2{,}8\)

В\(2{,}5\)

Г\(-2{,}8\)

Д\(-8\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2390 з 2419

Розв’яжіть систему рівнянь \( \begin{cases} x+y=-4,\\ xy+y^2=12. \end{cases} \) Якщо \((x_0; y_0)\) – розв’язок цієї системи, то \(x_0\cdot y_0=\)

А\(3\)

Б\(-3\)

В\(-4\)

Г\(-21\)

Д\(21\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2391 з 2419

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

Функція

1\(y=x^2+2\)

2\(y=\sin x\)

3\(y=3x+2\)

Властивість функції

Аспадає на всій області визначення

Бграфік функції проходить через точку \((0; 0)\)

Взростає на всій області визначення

Гє парною

Дграфік функції симетричний відносно осі \(x\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2392 з 2419

Увідповідніть числовий вираз (1–3) і проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Числовий вираз

1\(\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}\)

2\(\log_8 200\)

3\(8\cos 120^\circ\)

Проміжок

А\((-\infty; -5]\)

Б\((-5; 0]\)

В\((0; 3]\)

Г\((3; 6]\)

Д\((6; +\infty)\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. За властивістю кореня \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac ab},\) де \(a\ge 0\) i \(b\ge 0{:}\)

\begin{gather*} \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{200}{8}}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Число \(5\) належить проміжку \((3; 6].\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\log_8 200.\)

Оцінимо значення логарифма через степені основи \(8{:}\)

\begin{gather*} 8^2=64\ \text{та}\ 8^3=512. \end{gather*}

Запишемо подвійну нерівність

\begin{gather*} 64\lt 200\lt 512. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма \(8\gt 1\), то логарифмічна функція \(y=\log_8 x\) є зростаючою, і знаки нерівності не змінюються:

\begin{gather*} \log_8 64\lt \log_8 200\lt \log_8 512. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \log_8 8^2\lt \log_8 200\lt \log_8 8^3;\\[7pt] 2\lt \log_8 200\lt 3. \end{gather*}

Значення знаходиться в межах від \(2\) до \(3\), що належить проміжку \((0; 3].\) Отже, правильна відповідь – В.

3. \(8\cdot \cos 120^\circ.\)

Застосуймо формулу зведення

\begin{gather*} \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos \alpha.\\[6pt] \cos 120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos 60^\circ=-\frac 12;\\[6pt] 8\cdot \left(-\frac 12\right)=-4. \end{gather*}

Число \(-4\) належить проміжку \((-5; 0].\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2393 з 2419

На рисунку зображено квадрат \(ABCD\), діагональ якого дорівнює \(8\sqrt{2}\) см. Увідповідніть величину (1–3) та її значення (А – Д).

Величина

1відстань між серединами сторін \(AB\) і \(AD\)

2довжина радіуса кола, уписаного у квадрат \(ABCD\)

3довжина медіани трикутника \(ABC\), проведеної з вершини \(A\)

Значення величини

А\(4\) см

Б\(4\sqrt{2}\) см

В\(4\sqrt{3}\) см

Г\(4\sqrt{5}\) см

Д\(8\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2394 з 2419

Визначте критичні точки функції \(f(x)=4x^3+9x^2-30x+1.\) Яка із цих точок є точкою максимуму функції \(f(x)\)?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Це завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, вміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної функції.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції за формулою:

\begin{gather*} (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.\\[7pt] f'(x)=(4x^3+9x^2-30x+1)'=(4x^3)'+(9x^2)'-(30x)'+(1)';\\[7pt] f'(x)=4\cdot 3x^{3-1}+9\cdot 2x^{2-1}-30+0=12x^2+18x-30. \end{gather*}

Критичні точки — це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняємо похідну до нуля:

\begin{gather*} 12x^2+18x-30=0. \end{gather*}

Скоротимо всі коефіцієнти на \(6{:}\)

\begin{gather*} 2x^2+3x-5=0. \end{gather*}

Розв'яжемо квадратне рівняння через дискримінант:

\begin{gather*} D=3^2-4\cdot 2\cdot (-5)=9+40=49=7^2;\\[6pt] x_1=\frac{-3-7}{2\cdot 2}=\frac{-10}{4}=-2{,}5;\\[6pt] x_2=\frac{-3+7}{2\cdot 2}=\frac 44=1. \end{gather*}

Отже, критичні точки: \(x=-2{,}5\) та \(x=1.\)

Нанесемо критичні точки на числову пряму та визначимо знаки похідної \(f'(x)\) на утворених інтервалах (графік похідної — квадратична парабола, вітки якої направлені вгору):

\(x\)	\((-\infty; -2{,}5)\)	\((-2{,}5; 1)\)	\((1; +\infty)\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
\(f(x)\)	зростає	спадає	зростає

На \((-\infty; -2{,}5){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

На \((-2{,}5; 1){:}\ f'(x)\lt 0\) (функція спадає).

На \((1; +\infty){:}\ f'(x)\gt 0\) (функція зростає).

Оскільки при переході через точку \(x=-2{,}5\) знак похідної змінюється з плюса на мінус \((+\) на \(-)\), то за достатньою умовою екстремуму ця точка є точкою максимуму.

Критичні точки: \(-2{,}5\) та \(1.\) Точка максимуму: \(x_\text{max}=-2{,}5.\)

Відповідь: \(-2{,}5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 2395 з 2419

У будинку \(150\) квартир: однокімнатні, двокімнатні та трикімнатні. Кількість однокімнатних квартир становить \(40\ \%\) від загальної кількості квартир, двокімнатних на \(20\ \%\) менше, ніж однокімнатних. Скільки трикімнатних квартир у будинку?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Знайшли помилку? Пишіть на