ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Статистика.

Завдання перевіряє вміння розуміти дані, відображені на стовпчиковій діаграмі, обчислювати середнє арифметичне значення й визначати відношення двох величин.

Визначмо ціну поділки на вертикальній осі діаграми. Для цьогообчислімо різницю між двома сусідніми великими поділками й поділімо її на кількість проміжків між ними:

\begin{gather*} \frac{1500-1000}{5}=\frac{500}{5}=100. \end{gather*}

За діаграмою з'ясуймо кількість тестових завдань, виконаних учнями в кожному місяці:

• у січні – \(1200\) завдань;
• у лютому – \(1800\) завдань;
• у березні – \(3000\) завдань.

Обчислімо середню кількість тестових завдань, виконаних за три місяці. Для цього використаймо формулу середнього арифметичного значення:

\begin{gather*} \overline{X}=\frac{x_1+x_2+\text{...}+x_n}{n}, \end{gather*}

(де \(n\) – кількість значень, яких набула величина \(X\); \(x_1\), \(x_2\), \(\text{...}\), \(x_n\) – значення, яких набула величина \(X\)).

Визначмо, яку частину становить кількість завдань, виконаних учнями в січні, від середнього значення кількості завдань, виконаних за три місяці. Для цього складімо відношення кількості виконаних завдань у січні до обчисленого середнього значення й скоротімо на \(400{:}\)

\begin{gather*} \frac{1200}{2000}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння визначати градусну міру вертикальних кутів і зовнішнього кута трикутника.

Розгляньмо трикутник \(ABC.\)

Визначмо градусну міру \(\angle ABC\), який вертикальний до кута \(56^\circ.\) Вертикальні кути рівні, тобто \(\angle ABC=56^\circ.\)

Кут із градусною мірою \(144^\circ\) є зовнішнім кутом трикутника \(ABC\) при вершині \(C.\) Обчислімо градусну міру кута \(BAC\) (кута \(\alpha\)). Зовнішній кут при вершині трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів цього трикутника, що не суміжні з ним:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння обчислювати дискримінант квадратного рівняння.

Визначмо коефіцієнти квадратного рівняння:

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0 \end{gather*}

\(a=-3\) (множник біля \(x^2\));
\(b=−4\) (множник біля \(x\));
\(c=5\) (вільний член).

Обчислімо дискримінант за формулою:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Прямі та площини в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати прямі, паралельні площині.

Зазначмо всі ребра наведеної піраміди. Бічні ребра: \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD.\) Ребра основи: \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD.\)

Оскільки пряма, яка паралельна площині, не повинна мати із нею спільних точок, визначмо, які з-поміж зазначених ребер не мають спільних точок із площиною \(SBD{:}\)

• ребра \(SB\), \(SD\) належать площині \(SBD\);
• ребра \(SA\), \(SC\) мають із площиною \(SBD\) спільну точку \(S\);
• ребра \(AB\), \(BC\) мають із площиною \(SBD\) спільну точку \(B\);
• ребра \(CD\), \(AD\) мають із площиною \(SBD\) спільну точку \(D.\)

Отже, кожна пряма, що містить ребро піраміди \(SABCD\), має принаймні одну спільну точку з площиною \(SBD.\) Тобто прямих, які містять ребра піраміди й паралельні площині \(SBD\), немає.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння аналітично визначати парну функцію.

Підставмо в кожний варіант \(−x\) замість \(x\) і перевірмо виконання наведеної умови:

Отже, лише для функції \(y=\cos(x)−3\) виконується умова парності \(f(−x)=f(x).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, вписаних й описаних чотирикутників і прямокутного трикутника.

І. Існує рівнобічна трапеція, у яку можна вписати коло.

У чотирикутник \(ABCD\) можна вписати коло тоді, коли суми його протилежних сторін рівні: \(AB+CD=BC+AD.\)

Існують рівнобічні трапеції, для яких ця умова виконується, наприклад, трапеція зі сторонами: \(AB=CD=5\), \(AD=7\), \(BC=3.\) Твердження правильне.

II. Існує прямокутна трапеція, висота якої менша за коротшу бічну сторону.

Розгляньмо прямокутну трапецію \(ABCD\), у якій проведено висоту \(CH.\)

У прямокутному трикутнику \(CHD{:}\ CD\) – гіпотенуза; \(CH\), \(HD\) – катети. Довжина катета завжди менша за довжину гіпотенузи, отже, \(CH\lt CD.\) У чотирикутнику \(ABCH\) всі кути по \(90^\circ.\) Отже, цей чотирикутник – прямокутник.

У прямокутника протилежні сторони рівні, отже, \(AB=CH.\) Тобто менша бічна сторона трапеції \(ABCD\) – \(AB\), а її довжина дорівнює висоті \(CH.\) Твердження неправильне.

III. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює \(180^\circ.\)

Якщо навколо чотирикутника можна описати коло, тоді сума його протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Навколо трапеції можна описати коло лише тоді, коли вона рівнобічна. Отже, не в будь-якій трапеції сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ\), а лише в рівнобічній. Твердження неправильне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє вміння використовувати властивості степенів.

Перетворімо перший множник виразу за властивістю степеня \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}{:}\)

\begin{gather*} \frac{1}{q^{-2}}=q^{-(-2)}=q^2. \end{gather*}

Перетворімо другий множник, використовуючи перехід від кореня до степеня \(\sqrt[\scriptstyle n]{a^m}=a^{\textstyle \frac mn}\) і властивість степеня \((a^m)^n=a^{m\cdot n}{:}\)

Спростімо отриманий вираз, використовуючи властивість степеня \(a^m\cdot a^m=a^{m+n}{:}\)

\begin{gather*} q^2\cdot q^6=q^8. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом й обчислювати відсотки.

Визначмо масу цукру (x) в початковому солодкому чаї. Для цього масу всього чаю вважаймо за \(100\ \%\) і складімо пропорцію:

\begin{gather*} 2000 - 100\ \%;\\[7pt] x - 10\ \%. \end{gather*}

З пропорції визначмо масу цукру в початковому солодкому чаї:

\begin{gather*} x=\frac{2000\cdot 10\ \%}{100\ \%}=200\ \text{г}. \end{gather*}

Обчислімо загальну масу чаю після розведення водою:

\begin{gather*} 2000\ \text{г}+500\ \text{г}=2500\ \text{г}. \end{gather*}

Визначмо відсоток цукру \(y\) в розведеному солодкому чаї. Для цього масу розведеного чаю позначмо \(100\ \%\) і складімо пропорцію:

\begin{gather*} 2500 - 100\ \%;\\[7pt] 200 - y\ \%. \end{gather*}

З пропорції визначмо відсоток цукру розведеному чаї:

\begin{gather*} y=\frac{200\cdot 100\ \%}{2500}=8\ \%. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати векторів і їхні модулі.

Визначмо координати точки \(O\), яка є початком координат: \(O(0; 0; 0).\) Визначмо координати векторів: \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{BC}.\) Для цього від координат кінця вектора віднімімо координати його початку:

Визначмо координати вектора \(\overrightarrow{c}\), віднявши від координат вектора \(\overrightarrow{OA}\) координати вектора \(\overrightarrow{BC}{:}\)

Відповідь: Д.