ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведімо обидві частини показникового рівняння до спільної основи \(3{:}\)

Застосуймо властивість степеня:

\begin{gather*} \left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba.\\[6pt] \sqrt{3}=3^{\frac 12}. \end{gather*}

Отримали рівняння:

\begin{gather*} 3^{-x+7}=3^{\frac 12}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} -x+7=0{,}5;\\[7pt] -x=0{,}5-7;\\[7pt] -x=-6{,}5;\\[7pt] x=6{,}5. \end{gather*}

Корінь рівняння \(6{,}5\in (6; 7).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, середньої лінії трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Нехай \(AK=KD=x\), тоді \(BC=AD=2x.\)

Відрізок \(d\) – це середня лінія трапеції \(ABCK\) (з основами \(BC\) та \(AK\)).

\begin{gather*} d=\frac{BC+AK}{2}=\frac{2x+x}{2};\\[6pt] d=\frac{3x}{2};\\[6pt] x=\frac{2d}{3}. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} AD=2x=2\cdot \frac{2d}{3}=\frac{4d}{3}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(\Delta KDC\ (\angle D=90^\circ\), \(\angle CKD=60^\circ){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами й логарифмічними виразами, порівнювати числа.

1. \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac 12=0{,}5.\)

Значення \(0{,}5\) належить проміжку \([0; 1).\) Отже, правильна відповідь – В.

2. \(\pi \approx 3{,}14.\)

\begin{gather*} \pi-4\approx 3{,}14-4=-0{,}86. \end{gather*}

Значення \(-0{,}86\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(4^{\textstyle \log_4 \pi}=\pi\approx 3{,}14.\)

За основною логарифмічною тотожністю \((a^{\textstyle \log_a b}=b).\) Значення \(3{,}14\) належить проміжку \([2; 4).\) Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. \(y=\dfrac 1x-1.\)

Це – обернена пропорційність (гіпербола). Oбласть визначення \(x\ne 0\), тому перетину з віссю \(y\) немає. Для \(y=0\) отримуємо \(\dfrac 1x-1=0\), звідки \(x=1\), тобто графік перетинає лише вісь \(x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(y=x^2-4x+5.\)

Квадратична функція \(y=x^2-4x+5\) за \(x=0\) має значення \(y=5\), отже, перетинає вісь \(y.\) Дискримінант рівняння \(x^2-4x+5=0\) від'ємний \((D=-4)\), тому точок перетину з віссю \(x\) немає, а графік перетинає лише вісь \(y.\) Отже, правильна відповідь – А.

3. \(y=2\cos x.\)

Тригонометрична функція \(y=2\cos x\) парна, оскільки \(2\cos(-x)=2\cos x\), а графік будь-якої парної функції симетричний відносно осі \(y.\) Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трапеції та квадрата, розв'язування трикутників.

\(NP\!\parallel\!BC.\)

1. Точка \(M\) – середина \(AK.\) За теоремою Фалеса: \(NM\!\parallel\!BC\) i \(AN=NB.\)

У \(\Delta ABK\ NM\) – середня лінія. \(BK=2NM=20\) см.

\begin{gather*} BC=BK+KC=20+1=21\ \text{см}.\\[7pt] AB=BC=21\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. У трапеції \(AKCD\ MP\) – середня лінія.

За властивістю середньої лінії:

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=21\) см, \(BK=20\) см.

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє розуміння властивостей парності й непарності функцій і вміння застосовувати їх для обчислення значень алгебричних виразів.

Оскільки \(f(x)\) – парна функція, то мінус в аргументі «зникає»:

\begin{gather*} f(-x_0)=f(x_0)=1. \end{gather*}

Оскільки \(g(x)\) – непарна функція, то мінус з аргумента виносимо наперед:

\begin{gather*} g(-x_0)=-g(x_0)=-(-3)=3. \end{gather*}

Підставмо обчислені значення в початковий дріб:

Функція \(y=f(x)\) парна, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Функція \(y=f(x)\) непарна, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=-f(x).\)

Відповідь: \(2{,}8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі, і виконувати відсоткові розрахунки.

Обчислімо розмах ряду даних \((R)\), який є різницею між найбільшим \((26)\) і найменшим \((22)\) значеннями:

\begin{gather*} R=26-22=4. \end{gather*}

Обчислімо середнє арифметичне значення ряду \((\overline{x})\), поділивши суму всіх елементів на їхню кількість:

Обчислімо, на скільки відсотків середнє значення перевищує розмах. Порівняймо середнє значення \((\overline{x}=24)\) з розмахом \((R=4)\), який беремо за \(100\ \%.\)

Різниця між значеннями: \(24-4=20.\)

Обчислімо відсоткове відношення різниці до розмаху:

Відповідь: \(500.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи конуса та правильної трикутної призми для обчислення об’єму призми.

Основа призми – правильний трикутник зі стороною \(a=12\) см. Радіус \(R\) описаного навколо нього кола дорівнює радіусу основи конуса:

Твірна конуса \(L=5\sqrt{3}\) см, радіус основи \(R=4\sqrt{3}\) см. З прямокутного трикутника, утвореного висотою, радіусом і твірною конуса, за теоремою Піфагора обчислімо висоту \(H{:}\)

Оскільки висоти конуса та призми однакові, висота призми також дорівнює \(H=3\sqrt{3}\) см.

Площа правильного трикутника в основі призми:

Відповідь: \(324.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння з параметрами.

Область допустимих значень (ОДЗ):

Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід'ємним, а знаменник не повинен дорівнювати нулю:

\begin{gather*} \begin{cases} x\ge 0,\\ \sqrt{x}-2\ne 0, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x\ge 0,\\ x\ne 4. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x\in [0; 4)\cup (4; +\infty); \end{gather*}

Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5^{4x+2a-6}-1=0;\\[7pt] 5^{4x+2a-6}=1;\\[7pt] 5^{4x+2a-6}=5^0;\\[7pt] 4x+2a-6=0;\\[7pt] 4x=6-2a;\\[6pt] x=\frac{3-a}{2}. \end{gather*}

Рівняння матиме корінь лише тоді, коли \(x\) входить до ОДЗ.

З умови \(x\ge 0\) маємо:

\begin{gather*} \frac{3-a}{2}\ge 0;\\[6pt] 3-a\ge 0;\\[7pt] a\le 3. \end{gather*}

З умови \(x\ne 4\) маємо:

\begin{gather*} \frac{3-a}{2}\ne 4;\\[6pt] 3-a\ne 8;\\[7pt] a\ne 3-8;\\[7pt] a\ne -5. \end{gather*}

Тобто рівняння має корінь за \(a\in (-\infty; -5)\cup (-5; 3].\)

Цьому проміжку \([-8; 5]\) належать такі цілі значення параметра:

Відповідь: \(-25.\)