ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивість гострих кутів прямокутного трикутника.

У прямокутному трикутнику, утвореному перетином прямих \(OA\), \(CD\) та \(OD\), один із кутів дорівнює \(90^\circ\) (оскільки \(OA\!\perp\!CD\)).

Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ{:}\)

\begin{gather*} \alpha+51^\circ=90^\circ;\\[7pt] \beta=90^\circ-51^\circ=39^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння тотожньо перетворювати ірраціональні числові вирази.

Розкладімо підкореневі вирази на множники, один із яких є точним квадратом, використавши властивості арифметичного кореня \(\sqrt{a^2}=a\) i \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\) \((a\ge 0\), \(b\ge 0){:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі й площини у просторі.

Завдання перевіряє знання аксіом стереометрії і взаємного розміщення площин у просторі.

Щоб визначити пряму перетину двох площин, достатньо знайти дві спільні точки, які належать обом площинам.

Площина \((BB_1C_1)\) містить грань \(BB_1C_1C\), а площина \((CDD_1)\) – грань \(CDD_1C_1.\) Обидві площини проходять через спільні вершини \(C\) та \(C_1.\) Оскільки дві різні точки задають єдину пряму, то пряма \(CC_1\) є прямою перетину цих площин.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі з практичним змістом.

Для обчислення максимальної кількості альбомів спочатку обчислімо вартість \(3\) зошитів:

\begin{gather*} 3\cdot 38=144\ \text{грн}. \end{gather*}

Віднімімо цю суму від загального бюджету, щоб дізнатися решту коштів на альбоми:

\begin{gather*} 390-114=276\ \text{грн}. \end{gather*}

Складімо нерівність для визначення кількості альбомів \(n{:}\)

\begin{gather*} 54n\le 276;\\[6pt] n\le\frac{276}{54};\\[6pt] n\le 5\frac 19. \end{gather*}

Кількість альбомів має бути цілим числом, тому найбільшим допустимим значенням є \(n=5.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості та графіки.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості функції, заданої формулою або графіком.

Підставивши \(k=0\) у формулу лінійної функції \(y=kx+b\), отримуємо \(y=0\cdot x+b\), тобто \(y=b.\) Графіком функції \(y=b\) є пряма, паралельна осі \(Ox\) (або сама вісь \(Ox\), якщо \(b=0\)). З-поміж усіх варіантів горизонтальну пряму зображено на рисунку Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності й системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} \frac{2x+10}{5}\gt -4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на додатне число \(5\), унаслідок цього знак нерівності не змінюється:

\begin{gather*} 2x+10\gt -20. \end{gather*}

Перенесімо \(10\) у праву частину з протилежним знаком:

\begin{gather*} 2x\gt -20-10;\\[7pt] 2x\gt -30. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(2{:}\)

\begin{gather*} x\gt -15. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-15; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трапеції.

I. Середня лінія трапеції проходить через середини діагоналей.

Середня лінія трапеції паралельна основам і проходить через середини обох її діагоналей (це випливає з теореми Фалеса для трикутників, утворених діагоналями й бічними сторонами). Твердження правильне.

II. Середня лінія трапеції більша за половину більшої основи.

Позначмо більшу основу як \(a\), а меншу як \(b\), де \(a\gt b\gt 0.\) За означенням, середня лінія

\begin{gather*} m=\frac{a+b}{2}=\frac a2+\frac b2. \end{gather*}

Оскільки довжина меншої основи додатна \((b\gt 0)\), доданок \(\dfrac b2\gt 0\), тому

\begin{gather*} \frac a2+\frac b2\gt \frac a2. \end{gather*}

Твердження правильне.

III. Середня лінія трапеції ділить її на дві рівновеликі трапеції.

Рівновеликі фігури мають рівні площі. Обидві утворені трапеції мають однакову висоту, але нижня трапеція має більші основи \((m\) та \(a)\), ніж верхня \((b\) та \(m).\) Отже, площа нижньої трапеції завжди більша за площу верхньої. Твердження неправильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Скористаймося формулою скороченого множення квадрат суми:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі й властивостей сфери.

За властивістю сфер, що мають внутрішній дотик: точка дотику \(A\) й центри сфер \(B\) і \(O\) лежать на одній прямій, а центр меншої сфери \(B\) належить відрізку \(AO.\) Звідси випливає, що радіус більшої сфери \(R=AO\) має бути строго більшим за радіус меншої сфери \(r=AB\), тобто \(R\gt r.\)

Обчислімо радіус меншої сфери \(r\) як відстань між точками \(A(9; -2; 4)\) та \(B(1; 7; -8).\)

Застосуймо формулу відстані між двома точками в просторі:

Оскільки \(R\gt 17\), із запропонованих варіантів відповідей \((36\), \(21\), \(17\), \(42\), \(56) \) найменшим числом, яке задовольняє цю нерівність, є \(21.\)

Відповідь: Б.