ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних й ірраціональних виразів.

1. \(\log_3 27=\log_3 3^3=3\cdot \log_3 3=3.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Для спрощення виразу застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

2. Використаймо формулу зведення:

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Запишімо ділення у вигляді множення на обернений дріб і використаймо формулу різниці квадратів \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графік функції \(y=f(x)\) на заданих проміжках, визначати монотонність, точки екстремуму, знаки координат точок, упізнавати елементарні функції.

1. Проміжок \([-4; -2].\)

На проміжку від \(x=-4\) до \(x=-2\), якщо рухатися зліва направо, лінія графіка йде вгору, тобто значення функції зростають. Отже, 1 – А.

2. Проміжок \([-2; 2].\)

На цій ділянці графік є параболою з вершиною в точці \((0; 1)\) гілки якої напрямлені вниз. Її задано рівнянням \(y=1-x^2.\) Перевірмо ключові точки фрагмента: \((0; 1)\), \((-1; 0)\) й \((1; 0)\) належать йому. Отже, 2 – Г.

3. Проміжок \([2; 5].\)

За \(x=3\) функція змінює характер монотонності: зі спадання переходить до зростання. Отже, точка \(x=3\) є точкою локального мінімуму. Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, визначати довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1. Висота трапеції \(ABCD.\)

Оскільки \(ABCK\) – квадрат, то трикутник \(\Delta ABC\) – прямокутний і рівнобедрений \((AB=BC=x).\) За теоремою Піфагора для \(\Delta ABC{:}\)

\begin{gather*} AB^2+BC^2=AC^2;\\[7pt] x^2+x^2=(12\sqrt{2})^2;\\[7pt] 2x^2=144\cdot 2;\\[7pt] x^2=144;\\[7pt] x=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висотою трапеції є сторона \(AB\) (або \(CK\)), тому \(h=12\) см.

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(AD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta CKD\ (\angle CKD=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Основа \(AD=AK+KD=12+5=17\) см.

Отже, правильна відповідь – B.

3. Середня лінія трапеції \(ABCD.\)

За означенням, середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ \((BC\) й \(AD){:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил обчислення первісної і визначеного інтеграла.

Відповідь: \(16{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Кількість проданих смартфонів по місяцях становить:

Обчислімо середню кількість проданих смартфонів за \(5\) місяців:

Порівняймо середнє значення \((250)\) з показником квітня \((200)\) й обчислімо їхню різницю:

\begin{gather*} 250-200=50. \end{gather*}

Щоб обчислити, на скільки відсотків середня кількість перевищує продаж у квітні, визначмо відношення різниці до кількості смартфонів, проданих у квітні:

\begin{gather*} \frac{50}{200}\cdot 100\ \%=25\ \%. \end{gather*}

Відповідь: \(25.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей і формул площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

За формулою площі бічної поверхні конуса \(S_\text{біч. кон.}=\pi RL.\) За умовою \(S_\text{біч. кон.}=500\) см\(^2\) та твірна \(SP=L=25\) см.

\begin{gather*} 500\pi=\pi\cdot R\cdot 25;\\[6pt] R=\frac{500}{25}=20\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса:

\begin{gather*} DM=m=R=20\ \text{см}. \end{gather*}

Піраміда \(DABC\) правильна, тому її основа \(\Delta ABC\) – рівносторонній трикутник, а бічна грань \(\Delta DAB\) – рівнобедрений \((DA=DB=25\) см\().\)

Апофема \(DM\!\perp\!AB\) є висотою і медіаною \((AM=MB).\) З прямокутного \(\Delta DMA\ (\angle DMA=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Звідси сторона основи:

\begin{gather*} AB=2\cdot AM=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки в основі правильної піраміди лежить рівносторонній трикутник \(\Delta ABC\), обчислімо периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot a=3\cdot 30=90\ \text{см}. \end{gather*}

Площа бічної поверхні піраміди

\begin{gather*} S_\text{біч. пір.}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m;\\[6pt] S_\text{біч. пір.}=\frac 12\cdot 30\cdot 20=900\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(900.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити нелінійну систему рівнянь з параметром до лінійної за допомогою заміни змінних; досліджувати кількість розв'язків системи з урахуванням множини значень показникової і квадратичної функцій.

В обох рівняннях змінна \(y\) трапляється лише у квадраті \((y^2).\) Це означає: якщо пара чисел \((x; y)\) є розв'язком, то й пара \((x; -y)\) теж обов'язково є розв'язком. Щоб розв'язок був єдиним, ці дві пари мають збігатися:

\begin{gather*} y=-y;\\[7pt] y=0. \end{gather*}

Підставмо \(y=0\) у початкову систему:

\begin{gather*} \begin{cases} 0{,}2^x=3a+12;\\ 0{,}2^{x-1}=7a+42. \end{cases} \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

Підставмо вираз для \(0{,}2^x\) з першого рівняння в друге:

\begin{gather*} 5\cdot (3a+12)=7a+42;\\[7pt] 15a+60=7a+42;\\[7pt] 15a-7a=42-60;\\[7pt] 8a=-18;\\[7pt] a=-2{,}25;\\[7pt] 0{,}2^x=3\cdot (-2{,}25)+12=5{,}25\gt 0. \end{gather*}

Оскільки \(5{,}25\gt 0\), рівняння має єдиний корінь \(x=\log_{0{,}2}(5{,}25).\) Отже, значення \(a=-2{,}25\) є відповіддю до завдання.

Відповідь: \(-2{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє вміння перетворювати ірраціональні вирази, розуміння змісту подвійної нерівності та вміння визначати її цілі розв’язки.

За властивістю коренів: \(\dfrac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}=\sqrt[\scriptstyle n]{\dfrac ab}\) спростімо праву частину подвійної нерівності:

\begin{gather*} \frac{\sqrt[\scriptstyle 5]{64}}{\sqrt[\scriptstyle 5]{2}}=\sqrt[\scriptstyle 5]{\frac{64}{2}}. \end{gather*}

Під коренем скоротімо чисельник і знаменник утвореного дробу на \(2\) й добудемо корінь п’ятого степеня з отриманого числа:

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 5]{32}=\sqrt[\scriptstyle 5]{2^5}=2. \end{gather*}

Унаслідок спрощення правої частини нерівності маємо подвійну нерівність

\begin{gather*} -3\lt x\le 2. \end{gather*}

Зобразімо множину розв’язків подвійної нерівності на координатній прямій, зважаючи на строгий знак \((\lt)\) після \(-3\) і нестрогий знак \((\le)\) перед \(2.\)

Розв’язком нерівності є проміжок \((−3; 2].\) Випишімо всі цілі числа, які входять до цього проміжку: \(−2\); \(−1\); \(0\); \(1\); \(2.\) Усього таких чисел пʼять.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Статистика.

Завдання перевіряє вміння розуміти дані, відображені на стовпчиковій діаграмі, обчислювати середнє арифметичне значення й визначати відношення двох величин.

Визначмо ціну поділки на вертикальній осі діаграми. Для цьогообчислімо різницю між двома сусідніми великими поділками й поділімо її на кількість проміжків між ними:

\begin{gather*} \frac{1500-1000}{5}=\frac{500}{5}=100. \end{gather*}

За діаграмою з'ясуймо кількість тестових завдань, виконаних учнями в кожному місяці:

• у січні – \(1200\) завдань;
• у лютому – \(1800\) завдань;
• у березні – \(3000\) завдань.

Обчислімо середню кількість тестових завдань, виконаних за три місяці. Для цього використаймо формулу середнього арифметичного значення:

\begin{gather*} \overline{X}=\frac{x_1+x_2+\text{...}+x_n}{n}, \end{gather*}

(де \(n\) – кількість значень, яких набула величина \(X\); \(x_1\), \(x_2\), \(\text{...}\), \(x_n\) – значення, яких набула величина \(X\)).

Визначмо, яку частину становить кількість завдань, виконаних учнями в січні, від середнього значення кількості завдань, виконаних за три місяці. Для цього складімо відношення кількості виконаних завдань у січні до обчисленого середнього значення й скоротімо на \(400{:}\)

\begin{gather*} \frac{1200}{2000}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: B.