ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Маємо лінійну функцію \(y=2x-3.\)

\(k=2\), отже, функція зростає.

\(b=-3\), отже, точка перетину графіка з віссю \(Oy\ (0; -3).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє вміння обчислювати довжину середньої лінії трапеції за її периметром і відомою бічною стороною, застосовуючи властивості рівнобічної трапеції.

Периметр рівнобічної трапеції дорівнює сумі основи \(a\), основи \(b\) та двох рівних бічних сторін \(c{:}\)

\begin{gather*} P=a+b+2c. \end{gather*}

Підставмо відомі значення (\(P=60\) см, \(c=10\) см ):

\begin{gather*} 60=a+b+2\cdot 10;\\[7pt] 60=a+b+20;\\[7pt] a+b=40\ \text{см}. \end{gather*}

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} m=\frac{a+b}{2}=\frac{40}{2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, обчислювати відсоток від числа.

Для визначення маси жиру обчислімо \(2\ \%\) від загальної маси кефіру (\(900\) г).

За визначенням відсотка від числа:

\begin{gather*} m_\text{жиру}=900\cdot 0{,}02=18\ \text{г}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Перенесімо \(375\) у праву частину рівняння:

\begin{gather*} 15(x+3)^2=375. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(15{:}\)

\begin{gather*} (x+3)^2=\frac{375}{15};\\[6pt] (x+3)^2=25. \end{gather*}

Звідси \(x+3=5\) або \(x+3=-5\), отже, отримаємо корені \(x_1=5-3=2\) та \(x_2=-5-3=-8.\)

Сума коренів дорівнює:

\begin{gather*} x_1+x_2=2+(-8)=-6. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата.

I. Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від його вершин.

Діагоналі квадрата рівні \((AC=BD)\) й точка перетину \(O\) ділить їх навпіл. Отже, \(AO=BO=CO=DO\), тобто точка \(O\) розташована на однаковій відстані від усіх чотирьох вершин. Твердження правильне.

II. Сума довжин діагоналей квадрата дорівнює сумі довжин його сторін.

Якщо сторона квадрата дорівнює \(a\), то сума його чотирьох сторін дорівнює \(4a.\) За теоремою Піфагора з \(\Delta ABC\) діагональ \(AC=a\sqrt{2}.\) Тоді сума двох діагоналей дорівнює \(2a\sqrt{2}\), що менше за \(4a\ (2\sqrt{2}\approx 2{,}83\lt 4).\) Ці значення не дорівнюють одне одному. Твердження неправильне.

III. Діагональ квадрата ділить його на два рівновеликі трикутники.

Рівновеликими називають фігури, що мають рівні площі. Діагональ \(AC\) розбиває квадрат на два рівні прямокутні трикутники \((\Delta ABC=\Delta ADC)\), тому їхні площі однакові й дорівнюють половині площі квадрата \((S_{\Delta ABC}=S_{\Delta ADC}=\dfrac 12S_{ABCD}).\)

Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення й обчислювати значення тригонометричних виразів.

Використаймо періодичність косинуса \(\cos (\alpha+360^\circ)=\cos \alpha\),

Оскільки тангенс є непарною функцією \(\mathrm{tg}\ (-\alpha)=-\mathrm{tg}\ \alpha\), маємо

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ (-60^\circ)=-\mathrm{tg}\ 60^\circ=-\sqrt{3}. \end{gather*}

Підставмо ці значення у вираз:

\begin{gather*} 2\cdot 0+(-\sqrt{3})=-\sqrt{3}. \end{gather*}

Оскільки \(1\lt 3\lt 4\),

\begin{gather*} \sqrt{1}\lt \sqrt{3}\lt \sqrt{4};\\[7pt] 1\lt \sqrt{3}\lt 2. \end{gather*}

Поділімо на \(-1{:}\)

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знаки нерівності змінюються на протилежні!

\begin{gather*} -1\gt -\sqrt{3}\gt -2;\\[7pt] -2\lt -\sqrt{3}\lt -1. \end{gather*}

Отже, значення виразу належить проміжку \([-2; -1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Завдання перевіряє вміння обчислювати суму \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

\((a_n)\) – арифметична прогресія \(a_1=2\); \(a_2=1{,}4\); \(a_3=0{,}8.\)

\begin{gather*} d=a_2-a_1=1{,}4-2=-0{,}6. \end{gather*}

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n, \end{gather*}

обчислімо

\begin{gather*} S_{10}=\frac{2\cdot 2+(-0{,}6)\cdot (10-1)}{2}\cdot 10;\\[6pt] S_{10}=(4-0{,}6\cdot 9)\cdot 5;\\[7pt] S_{10}=(4-5{,}4)\cdot 5=-1{,}4\cdot 5=-7. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 2x-5=8,\\ 2x-5=-8, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x=8+5,\\ 2x=-8+5, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x=13,\\ 2x=-3, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=6{,}5,\\ x_2=-1{,}5. \end{array}\right.\\[7pt] \end{gather*}

Рівняння має два корені. У відповіді запишімо суму коренів:

\begin{gather*} x_1+x_2=6{,}5+(-1{,}5)=5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі, а також властивостей кулі.

Обчислімо відстань між точками \(O_1O_2\) за формулою:

Якби кулі були однакового радіуса, то він дорівнював би \(13\) см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус меншої кулі менший за \(13\) см.

З наведених значень – \(12\) см.

Відповідь: A.