ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості, ознаки трикутників, чотирикутників, круга для розв’язання завдань із планіметрії.

Оскільки прямі \(m\) і \(n\) паралельні, відстань між ними є спільною висотою \(h\) для всіх трьох фігур. Для кругового сектора ця відстань є його радіусом:

\begin{gather*} h=AB=KH=MF. \end{gather*}

1. \(AB.\)

Сектор \(ABC\) становить чверть круга з радіусом \(R=AB{:}\)

\begin{gather*} S_\text{круг}=\pi R^2;\\[6pt] S_\text{сектор}=\frac{\pi R^2}{4}=64\pi;\\[6pt] R^2=256;\\[7pt] R=16\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(DL.\)

У рівнобедреному \(\Delta DKL\ (DK=KL=20\ \text{см})\) висота \(KH\!\perp\!DL\) дорівнює \(16\) см. З прямокутного \(\Delta KHD\) за теоремою Піфагора:

Тоді вся основа

\begin{gather*} DL=2\cdot DH=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

3. \(LP.\)

Площа паралелограма дорівнює:

\begin{gather*} S=ah_a;\\[7pt] S_{LMNP}=LP\cdot MF;\\[7pt] 288=LP\cdot 16;\\[7pt] LP=\frac{288}{16}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання скеровано на перевірку розуміння геометричного та фізичного змісту похідної, а також вміння працювати з лінійною функцією.

Лінійна функція задається формулою \(f(x)=kx+b.\) Похідна лінійної функції дорівнює її кутовому коефіцієнту: \(f'(x)=(kx+b)'=k.\)

Оскільки за умовою похідна дорівнює \(8\), то \(k=8.\) Графік перетинає вісь ординат у точці з ординатою \(-4\), тобто

Запишiмо формулу функції: \(f(x)=8x-4.\) Отже,

Відповідь: \(-13{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми наведення статистичної інформації, розв'язувати текстові задачі.

Нехай \(x\) – кількість осіб, які вибрали жанр «Хоррор». Тоді жанру «Фантастика» віддали перевагу \(1{,}5x\) осіб. За умовою різниця між ними становить \(30\) осіб, тому маємо рівняння:

\begin{gather*} 1{,}5x-x=30;\\[7pt] 0{,}5x=30;\\[7pt] x=60. \end{gather*}

Отже, «Хоррор» вибрали \(60\) осіб, а «Фантастику» – \(1{,}5\cdot 60=90\) осіб. Разом ці два жанри вибрали \(60+90=150\) осіб.

Скориставшись діаграмою, обчислімо частку (%) жанрів «Фантастика» й «Хоррор» разом:

\begin{gather*} 100\ \%-(40\ \%+35\ \%)=25\ \%. \end{gather*}

Оскільки \(25\ \%\) від загальної кількості опитаних становить \(150\) осіб, обчислімо \(100\ \%\) (тобто загальну кількість):

\begin{gather*} 150:0{,}25=600\ \text{осіб}. \end{gather*}

Відповідь: \(600.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами \(BB_1D_1D.\) Сторона \(BD=13\) см, а висота \(DD_1=H.\) Його площа за умовою дорівнює \(260\) см\(^2{:}\)

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=BD\cdot DD_1;\\[7pt] 260=13\cdot H;\\[6pt] H=\frac{260}{13}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо периметр основи призми (паралелограма \(ABCD\)) за формулою

Обчислімо площу бічної поверхні призми:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] S_\text{біч}=46\cdot 20=920\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(920.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити комбіновану систему рівнянь із параметром до лінійної через заміну змінних, зважаючи на обмеження щодо області значень змінних.

Для розв'язання цієї системи замінімо змінні: нехай \(u=4^x\) та \(v=y^2.\)

Оскільки \(4^x\gt 0\) та \(y^2\ge 0\), маємо обмеження: \(u\gt 0\) та \(v\ge 0.\)

Перепишімо систему у вигляді:

\begin{gather*} \begin{cases} u+v=22;\\ u-v=13-3a. \end{cases} \end{gather*}

Віднімімо від першого рівняння друге:

\begin{gather*} (u+2v)-(u-v)=22-(13-3a);\\[7pt] u+2v-u+v=22-13+3a;\\[7pt] 3v=9+3a;\\[7pt] v=3+a. \end{gather*}

Підставмо \(v=3+a\) у друге рівняння:

\begin{gather*} u-(3+a)=13-3a;\\[7pt] u-3-a=13-3a;\\[7pt] u=13-3a+3+a;\\[7pt] u=16-2a. \end{gather*}

Система матиме принаймні один розв’язок \((x, y)\), якщо виконуються умови для \(u\) та \(v{:}\)

З умови \(v\ge 0\) маємо: \(3+a\ge 0\Rightarrow a\ge -3.\)

З умови \(u\gt 0\) маємо: \(16-2a\gt 0\Rightarrow 2a\lt 16\Rightarrow a\lt 8.\)

Отже, \(a\in [-3; 8).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

Усього таких значень \(11.\)

Відповідь: \(11.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення кореня \(n\text{-го}\) степеня, властивості коренів, уміння використовувати властивості модуля в розв'язуванні задач.

За властивістю арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|. \end{gather*}

За формулою:

\begin{gather*} \sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|. \end{gather*}

Оскільки \(2=\sqrt{4}\), а \(\sqrt{4}\lt \sqrt{5}\), то різниця \(2-\sqrt{5}\lt 0\) (від'ємна).

За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Розкриймо модуль для від'ємного виразу \((|a|=-a){:}\)

\begin{gather*} |2-\sqrt{5}|=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність події.

Щоб визначити ймовірність того, що виросте білий або рожевий тюльпан, потрібно додати ймовірності цих двох подій. Оскільки вони несумісні (одна цибулина не може розквітнути двома кольорами водночас), застосуймо теорему додавання ймовірностей.

Частка рожевих тюльпанів становить \(\dfrac 13\), а білих – \(\dfrac 12.\) Звівши дроби до спільного знаменника \(6\), отримуємо:

\begin{gather*} P=\frac 13+\frac 12=\frac 26+\frac 36=\frac 56. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння визначати цілі числа, що належать заданому числовому проміжку, з урахуванням строгості знаків нерівності.

Нерівність задає числовий проміжок \((-4; 2{,}2].\)

Випишімо всі цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} -3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2. \end{gather*}

Усього таких чисел шість.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, а також ознаки паралельності прямої і площини.

Ознака паралельності прямої і площини: якщо пряма, що не належить площині, паралельна будь-якій прямій цієї площини, то вона паралельна й самій площині.

У заданому кубі грань \(AA_1B_1B\) утворено чотирма ребрами \((AA_1\), \(A_1B_1\), \(BB_1\), \(AB)\), а чотири інші ребра \((A_1D_1\), \(B_1C_1\), \(BC\), \(AD)\) її перетинають. Залишаються \(4\) ребра протилежної грані \(DD_1C_1C\ (DD_1\), \(CC_1\), \(D_1C_1\), \(DC)\), кожне з яких паралельне відповідному ребру грані \(AA_1B_1B\) і не належить їй, тому існує лише чотири такі прямі.

Відповідь: Г.