ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

А частина графіка лежить нижче від осі \(Ox\), тобто функція набуває і від’ємних значень.

Б графік не є симетричним відносно осі \(Oy\), тому функція не є парною.

В функція має дві точки екстремуму – одну точку максимуму (за \(x\approx -2\)) й одну точку мінімуму (за \(x\approx 1\)).

Г графік не є симетричним відносно початку координат \((0; 0)\), тому функція не є парною.

Д функція не лише зростає, а й спадає на проміжку між точками екстремуму.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності та системи нерівностей.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

\begin{gather*} x\in [1; 5). \end{gather*}

Цілі числа, які належать цьому проміжку:

Обчислiмо їх суму:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} a=\frac{(b+c)\cdot d}{2}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівності на \(2{:}\)

\begin{gather*} 2a=(b+c)\cdot d. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(d{:}\)

\begin{gather*} \frac{2a}{d}=\frac{(b+c)\cdot d}{d};\\[6pt] b+c=\frac{2a}{d}. \end{gather*}

Віднімімо \(b\) від обох частин рівності:

\begin{gather*} c=\frac{2a}{d}-b. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

За формулою відстані між двома точками \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) та \(M_2(x_2; y_2; z_2)\) простору:

За умовою зовнішнього дотику двох куль відстань між їхніми центрами дорівнює сумі їхніх радіусів, тобто \(R+r=26\), де \(R\) – радіус більшої кулі, а \(r\) – радіус меншої. Звідси виразімо радіус меншої кулі: \(r=26-R.\)

Оскільки радіус \(r\) є довжиною відрізка, він має бути додатним \((r\gt 0)\), тому \(26-R\gt 0\), звідки \(R\lt 26.\) Також за умовою \(R\) – радіус більшої кулі \((R\gt r)\), отже, \(R\gt 26-R\), відповідно \(2R\gt 26\), тобто \(R\gt 13.\)

Об'єднавши отримані нерівності, маємо межі для радіуса більшої кулі: \(13\lt R\lt 26.\) Серед наведених у завданні варіантів у проміжок \((13; 26)\) потрапляє лише число \(17.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

За властивістю логарифма

\begin{gather*} \log_{0{,}5} x=\log_{0{,}5} 2^2;\\[7pt] \log_{0{,}5} x=\log_{0{,}5} 4. \end{gather*}

Оскільки основи однакові, прирівняймо підлогарифмічні вирази: \(x=4.\)

Корінь рівняння \(4\in [3; 10).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

Будь-який член цієї геометричної прогресії можна отримати, помноживши або поділивши відоме число \(6\) на знаменник \(2\) в певному цілому степені:

\begin{gather*} b_n=6\cdot 2^m, \end{gather*}

де \(m\in Z.\)

Послідовно помноживши \(6\) на \(2\), маємо ряд: \(12\); \(24\); \(48\); \(96\), а поділивши \(6\) на \(2\), маємо: \(3\); \(1{,}5\); \(0{,}75.\) Серед запропонованих відповідей у цей ряд потрапляє лише число \(48\), оскільки \(6\cdot 2^3=48.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників і трикутників, зокрема прямокутника та прямокутного трикутника, для обчислення площі.

У прямокутному трикутнику \(\Delta KCD\ (\angle C=90^\circ)\) відрізок \(DK\) є бісектрисою, тому \(\angle KDC=45^\circ.\) Обчислімо довжину катета \(CD{:}\)

Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, \(AB=CD=12\) см.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), у якому \(\angle KAB=30^\circ{:}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення, виконувати тотожні перетворення ірраціональних, степеневих і логарифмічних виразів.

1. \(a^6.\)

Оскільки \(\sqrt{2}=2^{\textstyle \frac 12}\), то

\begin{gather*} (\sqrt{2})^6=(2^{\textstyle \frac 12})^6=2^{\textstyle \frac 12\cdot 6}=2^3=8. \end{gather*}

Застосували властивості степенів:

Отже, 1 – Г.

2. \((a-3)(a+3).\)

Застосуймо формулу різниці квадратів \(a^2-b^2=(a-b)(a+b){:}\)

\begin{gather*} (a-3)(a+3)=a^2-9;\\[7pt] (\sqrt{2})^2-9=2-9=-7. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. \(81^{\textstyle \log_ 3a}.\)

Оскільки \(81=3^4\) і \(\sqrt{2}=2^{\textstyle \frac 12}\), то

Застосували властивості логарифмів

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0;\\[7pt] a^{\textstyle \log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b \end{gather*}

і властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.