ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі, розуміння змісту понять мода й середнє арифметичне.

Проаналізуймо дані з діаграми: значення температур за перші шість днів тижня дорівнюють \(23\), \(21\), \(23\), \(27\), \(23\) й \(24.\)

Модою цього ряду даних є число \(23\), оскільки воно трапляється найчастіше (тричі). За умовою середнє значення збігається з модою, тобто \(\overline{x}=23.\)

Позначивши температуру в неділю \(x\), складімо рівняння для обчислення середнього арифметичного:

Спростімо чисельник дробу:

\begin{gather*} \frac{141+x}{7}=23. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(7{:}\)

\begin{gather*} 141+x=161. \end{gather*}

Обчислімо невідомий доданок \(x{:}\)

\begin{gather*} x=161-141;\\[7pt] x=20. \end{gather*}

Середньоденна температура повітря в неділю становила \(20\ ^\circ\mathrm{C}.\)

Мода вибірки – це значення, яке трапляється найчастіше в наборі даних.

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання основних властивостей конуса й уміння обчислювати його об’єм.

Оскільки \(M\) і \(P\) – середини твірних \(AK\) і \(BK\), відрізок \(MP\) є середньою лінією трикутника \(ABK.\) Звідси діаметр основи \(AB=2\cdot MP=60\) см, а її радіус \(R=AO=30\) см. Довжина всієї твірної конуса дорівнює \(AK=2\cdot MK=50\) см.

З прямокутного трикутника \(AOK\) за теоремою Піфагора визначмо висоту конуса:

Отже, об'єм конуса \(\dfrac{V}{\pi}=12000.\)

Відповідь: \(12000.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити комбіновану систему рівнянь з параметром до лінійної через заміну змінних, зважаючи на обмеження ірраціональних і показникових функцій.

Для розв'язання цієї системи замінімо змінні: нехай \(u=\sqrt{x}\) і \(v=3^y.\) Оскільки за умовою \(x_0\gt 0\) та \(y_0\gt 0\), для нових змінних маємо обмеження: \(u=\sqrt{x_0}\gt 0\) та \(v=3^{y_0}\gt 3^0=1.\)

Зваживши, що \(3^{y+1}=3\cdot 3y=3v\), перепишімо систему:

\begin{gather*} \begin{cases} 2u+3v=5a+15,\\ u+v=a+9. \end{cases} \end{gather*}

Виразімо з другого рівняння \(u=a+9-v\) й підставмо в перше:

\begin{gather*} 2(a+9-v)+3v=5a+15;\\[7pt] 2a+18+v=5a+15;\\[7pt] v=5a+15-2a-18;\\[7pt] v=3a-3. \end{gather*}

Тоді

Зважаючи на умови для \(u\) та \(v\), дістанемо нерівності.

З умови \(u\gt 0\) маємо: \(12-2a\gt 0\Rightarrow a\lt 6.\)

З умови \(v\gt 1\) маємо: \(3a-3\gt 1\Rightarrow 3a\gt 4\Rightarrow a\gt \dfrac 43.\)

Отже, значення параметра \(a\) належать інтервалу \(\left(\dfrac 43; 6\right).\) Цілими числами із цього проміжку є \(2\), \(3\), \(4\) та \(5.\) Обчислімо їхню суму:

\begin{gather*} 2+3+4+5=14. \end{gather*}

Відповідь: \(14.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Кути при паралельних прямих.

Завдання перевіряє знання властивостей кутів, що утворюються внаслідок перетинання двох паралельних прямих січною.

Оскільки прямі \(m\) і \(n\) паралельні \((m\!\parallel\!n)\), а пряма \(l\) є січною, то кути \(\alpha\) та \(\beta\) є внутрішніми різносторонніми. За властивістю паралельних прямих внутрішні різносторонні кути рівні: \(\alpha=\beta.\)

Підставмо \(\alpha=\beta\) в задану в умові рівність \(\alpha+\beta=58^\circ{:}\)

\begin{gather*} \alpha+\alpha=58^\circ;\\[7pt] 2\alpha=58^\circ;\\[7pt] \alpha=29^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди та її елементів.

Основою цієї піраміди є трикутник \(ABC.\) Бічні грані піраміди – це трикутники, що з’єднують вершину \(S\) із ребрами основи, тобто \(\Delta ABS\), \(\Delta BCS\) і \(\Delta CAS.\)

Варіанти \(SA\) та \(SB\) є бічними ребрами, \(ABC\) – це основа, а трикутник \(SCM\) є внутрішнім перерізом. Отже, єдиною бічною гранню серед запропонованих варіантів є \(ABS.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння визначати ймовірність події.

Для розв'язання скористаймося класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P=\frac mn, \end{gather*}

де \(n\) – загальна кількість усіх рівноможливих подій, а \(m\) – кількість сприятливих подій.

Усього існує \(10\) цифр: від \(0\) до \(9\), тому \(n=10\) (загальна кількість наслідків). Оскільки правильною є лише одна цифра, кількість сприятливих наслідків

\(m=1.\)

Отже, імовірність правильно визначити цифру

\begin{gather*} P=\frac{1}{10}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y}.\\[6pt] 7^x\le \frac{1}{49};\\[6pt] 7^x\le 49^{-1};\\[7pt] 7x\le (7^2)^{-1};\\[7pt] 7^x\le 7^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((7)\) більша за одиницю \((7\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності

\begin{gather*} x\le -2. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; -2].\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів, уміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Використали властивості степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y};\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y};\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей кутів паралелограма.

I. Існує паралелограм, у якого всі кути прямі.

Прямокутник – це окремий випадок паралелограма, у якого всі чотири кути прямі \((90^\circ).\) Твердження правильне.

II. Існує паралелограм, сума двох протилежних кутів якого дорівнює \(300^\circ.\)

Протилежні кути паралелограма рівні \((\angle A=\angle C\) та \(\angle B=\angle D).\)

Сума двох тупих протилежних кутів може дорівнювати \(300^\circ.\)

\begin{gather*} \angle B+\angle D=300^\circ,\end{gather*}

тоді

 \begin{gather*} \angle B=\angle D=300^\circ:2=150^\circ. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \angle A=\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ. \end{gather*}

Твердження правильне.

III. Існує паралелограм, у якого сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює \(200^\circ.\)

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони (наприклад, \(\angle A+\angle B\)), є сумою внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих, тому вона завжди дорівнює \(180^\circ.\) Тобто не може дорівнювати \(200^\circ.\) Твердження неправильне.

Відповідь: Г.