ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння й порівнювати раціональні числа.

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата:

\begin{gather*} (\sqrt{48-12x})^2=12^2;\\[7pt] 48-12x=144;\\[7pt] -12x=144-48;\\[7pt] -12x=96;\\[7pt] x=96:(-12);\\[7pt] x=-8. \end{gather*}

Корінь належить проміжку \((-16; 0].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, уміння визначати координати точки, яка належить одній із координатних осей, уміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Оскільки точка \(B\) лежить на осі \(x\), її ордината \((y)\) й апліката \((z)\) дорівнюють \(0.\) Оскільки абсциса \(x=5\), маємо: \(B(5; 0; 0).\)

Застосуймо формулу відстані між двома точками в просторі:

Підставмо координати \(A(-1; 2; 3)\) і \(B(5; 0; 0){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на пряму пропорційність і застосовувати математичні моделі до реальних процесів.

Щоб обчислити максимальний об'єм води \(V\), скористаймося формулою залежності об'єму від продуктивності помпи й часу:

\begin{gather*} V=v\cdot t, \end{gather*}

де \(v=5\) л/хв – це пропускна здатність помпи, а \(t=2\) хв – час миття рук.

Підставивши значення, отримуємо

\begin{gather*} V=5\cdot 2=10\ \text{л}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_6-a_1=a_1+5d-a_1=5d. \end{gather*}

Оскільки \(a_6-a_1=-30\), складімо рівняння:

\begin{gather*} 5d=-30;\\[7pt] d=-6. \end{gather*}

Обчислімо значення виразу \(a_1-a_3.\) Оскільки \(a_3=a_1+2d\), то:

Підставмо \(d=-6{:}\)

\begin{gather*} -2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа й вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і коренів, дій із ними.

Застосуймо властивості степенів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ).

Вираз під знаком логарифма повинен бути додатним: \(x\gt 0.\)

Запишімо число \(3\) у вигляді логарифма з основою \(2\), використовуючи властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] 3=3\cdot \log_2 2=\log_2 2^3=\log_2 8. \end{gather*}

Підставмо цей результат у початкову нерівність і використаймо властивість суми логарифмів \((\log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c){:}\)

\begin{gather*} \log_2 8+\log_2 x\lt \log_2 48;\\[7pt] \log_2 (8x)\lt \log_2 48. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма \(2\gt 1\), логарифмічна функція зростає, тому знак нерівності зберігається в разі переходу до виразів під логарифмом:

\begin{gather*} 8x\lt 48;\\[7pt] x\lt 6. \end{gather*}

Об'єднаймо умову \(x\lt 6\) з ОДЗ \((x\gt 0){:}\)

\begin{gather*} x\in (0; 6). \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення, зводити подібні доданки, виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. Перетворімо квадрат двочлена за формулою \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\)

\begin{gather*} (m+1)^2-1=n;\\[7pt] m^2+2m+1-1=n;\\[7pt] n=m^2+2m. \end{gather*}

Отже, 1 – В.

2. Запишімо корінь у вигляді степеня з дробовим показником:

Отже, 2 – Д.

3. Скористаймося означенням логарифма \((log_a b = c\Leftrightarrow a^c=b)\) й зведімо основи степенів до числа \(2{:}\)

\begin{gather*} \log_{\textstyle 2^n} 4^m=1;\\[7pt] (2^n)^1=4^m;\\[7pt] 2^n=(2^2)^m;\\[7pt] 2^n=2^{2m};\\[7pt] n=2m. \end{gather*}

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати кількість коренів рівняння \(f(x)=g(x)\) (або точок перетину графіків функцій) аналітичним чи графічним методом.

1. \(y=-x^3\) та \(y=-x.\)

Спосіб 1

Прирівняймо вирази:

\begin{gather*} -x^3=-x;\\[7pt] x^3-x=0;\\[7pt] x(x-1)(x+1)=0. \end{gather*}

Рівняння має три корені: \(x_1=0\), \(x_2=1\), \(x_3=-1.\)

Спосіб 2

Побудуймо графіки заданих функцій: пряму \(y=-x\) (бісектрису II та IV координатних чвертей) і кубічну параболу \(y=-x^3\) (розташована в II та IV чвертях).

Маємо три спільні точки. Отже, 1 – Г.

2. \(y=2-x\) та \(y=-x.\)

Спосіб 1

Прирівняймо вирази:

\begin{gather*} 2-x=-x;\\[7pt] 2=0x. \end{gather*}

Отримане рівняння не має розв’язків (прямі паралельні).

Спосіб 2

Побудуймо графіки заданих функцій (обидві функції лінійні): пряму \(y=-x\) (бісектрису II та IV координатних чвертей) і пряму \(y=2-x.\)

Прямі паралельні, отже, не мають жодної спільної точки. Отже, 2 – A.

3. \(y=2^x\) та \(y=-x.\)

Спосіб 1

Прирівняймо вирази:

\begin{gather*} 2^x=-x;\\[7pt] 2^x+x=0. \end{gather*}

Функція \(y=2^x\) зростає, а \(y=-x\) – спадає, тому їхні графіки можуть перетинатися не більш ніж в одній точці. Оскільки за \(x=-1\) маємо \(2^{-1}=0{,}5\lt 1\), а за \(x=0\) маємо \(2^0=1\gt 0\), за неперервністю корінь існує, і він єдиний (на проміжку \((-1; 0)\)).

Спосіб 2

Графік показникової функції \(y=2^x\) розміщений строго вище від осі \(Ox\) і проходить через точку \((0; 1).\) Пряма \(y=-x\) у II чверті проходить вище від осі \(Ox\), а в IV – нижче. Графіки перетинаються в одній точці в II чверті.

Тобто маємо одну спільну точку.

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, прямокутних трикутників.

1. Висота, проведена до \(AD.\)

Проведімо з вершини \(B\) висоту \(BH\!\perp\!AD.\)

Розгляньмо \(\Delta BHD.\) Оскільки \(BH\!\perp\!AD\) і \(OK\!\perp\!AD\), відрізки \(BH\) й \(OK\) паралельні. Оскільки \(O\) – середина \(BD\), то за означенням \(OK\) є середньою лінією \(\Delta BHD.\)

За властивістю середньої лінії трикутника, вона паралельна основі й дорівнює її половині \((OK=\dfrac 12BH).\)

Висота паралелограма

\begin{gather*} BH=2\cdot OK=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Проєкція \(AB\) на \(AD.\)

Оскільки \(OK\) – середня лінія \(\Delta BHD\), точка \(K\) ділить основу \(HD\) навпіл (\(KD=KH=17\) см). Тоді \(HD=2\cdot KD=34\) см. Проєкцією відрізка \(AB\) на пряму \(AD\) є відрізок \(AH{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(CD.\)

За властивістю паралелограма \(CD=AB.\)

З прямокутного трикутника \(ABH\ (\angle AHB=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Тобто \(CD=34\) см.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.