ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні й показникові рівняння, аналізувати й досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

Область допустимих значень (ОДЗ):

Вираз під знаком логарифма має бути додатним:

\begin{gather*} 3a-17x\gt 0;\\[7pt] 17x\lt 3a;\\[7pt] x\lt \frac{3a}{17}. \end{gather*}

Добуток двох виразів дорівнює нулю, коли хоча б один із них дорівнює нулю.

Оскільки \(\lg^2(3a - 17x)\ge 0\), оцінімо другий множник:

\begin{gather*} 3+\lg^2(3a-17x)\ge 3\gt 0. \end{gather*}

Отже, другий множник завжди більший за нуль, тому відповідне рівняння не має коренів.

Прирівнюємо перший множник до нуля:

\begin{gather*} 4^{x+1}+15\cdot 2^x-4=0;\\[7pt] 4\cdot 4^x+15\cdot 2^x-4=0;\\[7pt] 4\cdot (2^x)^2+15\cdot 2^x-4=0. \end{gather*}

Зробімо заміну \(t=2^x\ (t\gt 0){:}\)

Рівняння матиме корінь \(x=-2\), якщо він задовольняє ОДЗ:

\begin{gather*} -2\lt \frac{3a}{17}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(17{:}\)

\begin{gather*} -34\lt 3a;\\[7pt] 3a\gt -34. \end{gather*}

Поділімо на \(3{:}\)

\begin{gather*} a\gt -\frac{34}{3};\\[6pt] a\gt -11\frac 13. \end{gather*}

Найменше ціле значення \(a\), що задовольняє цю нерівність, дорівнює \(-11.\)

Відповідь: \(-11.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія імовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

За класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де \(n=20\) – загальна кількість усіх рівноможливих варіантів (усього запитань, з яких учень може витягнути одне), \(k=4\) – кількість сприятливих варіантів для події \(A\) (запитань про властивості кислот).

\begin{gather*} P(A)=\frac{4}{20}=\frac 15=0{,}2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних кутів і паралелограма.

Оскільки \(ABCD\) – паралелограм, то протилежні сторони \(AB\) і \(CD\) паралельні \((AB\!\parallel\!CD).\) Унаслідок перетинання цих паралельних прямих січною \(MD\) утворюються рівні відповідні кути:

\begin{gather*} \angle DAB=\angle NDC=55^\circ. \end{gather*}

Кути \(\angle MAB\) та \(\angle DAB\) суміжні, тому їхня сума дорівнює \(180^\circ{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння підносити числа до степеня з від'ємним цілим показником і перетворювати мішані числа на неправильні дроби.

Перетворімо мішане число на неправильний дріб:

\begin{gather*} 1\frac 23=\frac{1\cdot 3+2}{3}=\frac 53. \end{gather*}

Застосуймо властивість степеня з від'ємним показником:

\begin{gather*} \left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba.\\[6pt] \left(1\frac 23\right)^{-1}=\left(\frac 53\right)^{-1}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

\begin{gather*} 2-|x|=0{,}1;\\[7pt] |x|=2-0{,}1;\\[7pt] |x|=1{,}9. \end{gather*}

За означенням модуля, рівняння має два корені:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x_1=1{,}9;\\ x_2=-1{,}9. \end{array}\right. \end{gather*}

З наведених чисел \(-1,9\) є коренем рівняння.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, прямокутного трикутника.

У ромба всі сторони рівні: \(AB=BC=CD=AD.\)

\begin{gather*} AB=\frac P4=\frac{80}{4}=20\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(ABH\ (\angle AHB=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Обчислімо довжину відрізка \(HC{:}\)

\begin{gather*} HC=BC-BH=20-16=4\ \text{см}. \end{gather*}

Визначмо довжину меншої діагоналі \(AC\) в прямокутному трикутнику \(AHC\ (\angle AHC=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Винесімо число \(3\) за дужки в чисельнику й скоротимо дріб:

\begin{gather*} \frac{6x+12}{3}=\frac{3(2x+4)}{3}=2x+4. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми, ознаки паралельності прямої і площини.

За ознакою паралельності прямої і площини: якщо пряма, що не лежить у площині, паралельна якійсь прямій цієї площини, то вона паралельна й самій площині.

Пряма \(AB\) належить граням \(ABCD\) й \(ABB_1A_1\) й перетинає грані \(ADD_1A_1\) і \(BCC_1B_1.\) За ознакою паралельності прямої і площини їй паралельні лише дві протилежні грані – \(DCC_1D_1\), бо \(AB\!\parallel\!CD\), і \(A_1B_1C_1D_1\), бо \(AB\!\parallel\!A_1B_1.\)

Отже, таких площин лише дві.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Нуль функції – це значення аргументу \(x\), за якого значення функції дорівнює нулю \((f(x)=0).\) На графіку це точка перетину з віссю абсцис \((Ox)\), тобто точка з координатами \((-4; 0).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.