ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідні елементарних функцій, похідну суми; знання таблиці похідних елементарних функцій.

Використали формули

\begin{gather*} C,\ \alpha\ -\ \text{сталі}\\[7pt] (C)'=0;\\[7pt] (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1};\\[6pt] (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}};\\[7pt] (u+v)'=u'+v'. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

За властивістю степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[6pt] 2^{3-x}\gt \frac 14,\\[6pt] 2^{3-x}\gt 4^{-1},\\[7pt] 2^{3-x}\gt (2^2)^{-1},\\[7pt] 2^{3-x}\gt 2^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \((2)\) більша за одиницю \((2\gt 1)\), функція зростає, тому задана нерівність рівносильна нерівності \(3-x\gt -2.\)

Розв’яжімо лінійну нерівність:

\begin{gather*} -x\gt -2-3;\\[7pt] -x\gt -5. \end{gather*}

Тепер помножмо обидві частини нерівності на від'ємне число \(-1.\)

Важливо: унаслідок множення або ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.

\begin{gather*} x\lt 5. \end{gather*}

Розв'язок нерівності – проміжок \(x\in (-\infty; 5).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

Оскільки \(0{,}2=\dfrac{2}{10}=\dfrac 15=5^{-1}\) та \(25=5^2\), то:

Застосували властивості логарифмів:

і властивість степенів

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

Центр сфери розташований у початку координат – точці \(O(0; 0; 0).\) Оскільки точка \(A(0; 0; -5)\) належить сфері, радіус \(R\) дорівнює відстані від початку координат до точки \(A{:}\)

Рівняння сфери із центром у точці \((0; 0; 0)\) і радіусом \(R=5\) має вигляд:

\begin{gather*} x^2+y^2+z^2=25. \end{gather*}

Перевірмо запропоновані варіанти:

A \((5; 5; 5){:}\)

\(5^2+5^2+5^2=75\ne 25.\)

Б \((0; 0; 10){:}\)

\(0^2+0^2+10^2=100\ne 25.\)

B \((0; 0; 5){:}\)

\(0^2+0^2+5^2=25\) – підходить.

Г \((0; 1; 4){:}\)

\(0^2+1^2+4^2=17\ne 25.\)

Д \((5; 5; 0){:}\)

\(5^2+5^2+0^2=50\ne 25.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення й обчислювати значення виразів, а також визначати місце чисел на координатній прямій.

1. \(e\cdot \dfrac{1}{2e}=\dfrac e1\cdot \dfrac{1}{2e}=\dfrac 12=0{,}5.\)

Числу \(0{,}5\) на прямій відповідає точка \(N.\) Отже, 1 – Г.

2. \(\ln 2e-\ln 2=\ln\dfrac{2e}{2}=\ln e=1.\)

Натуральний логарифм \(\ln e\) – це логарифм за основою \(e\) від числа \(e.\) Застосували формули:

\begin{gather*} \log_a \frac bc=\log_a b-\log_a c;\\[6pt] \log_a a=1;\\[7pt] \ln e=1. \end{gather*}

Числу \(1\) на прямій відповідає точка \(P.\) Отже, 2 – Д.

3. За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Оскільки \(a\approx 2{,}7\gt 1\), то \(1-e\lt 0.\)

\begin{gather*} |1-e|=-(1-e)=e-1. \end{gather*}

Підставмо у вираз:

\begin{gather*} |1-e|-e=e-1-e=-1. \end{gather*}

Числу \(-1\) на прямій відповідає точка \(K.\) Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графік функції \(y=f(x)\) на заданих проміжках, визначати монотонність, точки екстремуму, знаки координат точок і перетин із горизонтальними прямими.

1. Проміжок \([-4; -2].\)

Початкова точка графіка має координати \((-4; -6)\), а в точці \(x=-2\) значення \(y=-3.\) Оскільки на цьому проміжку функція зростає від \(-6\) до \(-3\), її графік обов'язково перетинає пряму \(y=-4{,}5.\) Отже, 1 – В.

2. Проміжок \([-2; 2].\)

У точці \(x=0\) функція змінює зростання на спадання, отже, точка \(x=0\) є точкою максимуму \((y_{max}=1)\), яка належить цьому проміжку. Отже, 2 – Б.

3. Проміжок \([2; 5].\)

На цьому проміжку всі значення \(x\) додатні \((x_0\gt 0)\), а відповідні значення функції \(y\) від’ємні \((y_0\lt 0).\) Отже, добуток їхніх координат завжди від’ємний: \(x_0\cdot y_0\lt 0.\) Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата та прямокутного трикутника.

1. \(BK.\)

Оскільки периметр квадрата \(P_{ABCD}=120\) см, то сторона квадрата:

\begin{gather*} AB=BC=AD=120:4=30\ \text{см}. \end{gather*}

Точка \(K\) – середина \(BC\ (BK=KC)\), тому

\begin{gather*} BK=\frac{30}{2}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(BD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Д.

3. \(MD.\)

Оскільки \(BK\!\parallel\!AD\), трикутники \(\Delta BKM\) і \(\Delta DAM\) подібні за двома кутами (\(\angle KBM=\angle ADM\), \(\angle BKM=\angle DAM\) як внутрішні різносторонні).

З подібності трикутників випливає співвідношення відповідних сторін:

\begin{gather*} \frac{BM}{MD}=\frac{BK}{AD}=\frac{15}{30}=\frac 12. \end{gather*}

Отже, діагональ \(BD\) ділиться точкою \(M\) у відношенні \(1:2\), тобто складається з \(1+2=3\) рівних частин. На відрізок \(M\) припадає \(2\) частини з \(3{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей і правил обчислення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

Відповідь: \(50.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічне зображення статистичної інформації. Статистичні характеристики рядів даних.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену у вигляді графіків або діаграм, обчислювати середнє арифметичне кількох чисел.

Випишімо з графіка відповідні значення для \(2010\text{–}2014\) років:

Обчислімо середнє арифметичне цих п'яти значень:

З-поміж значень на графіку виберімо найближче до середнього \((\overline{x}=4{,}5){:}\) найближчим є значення \(4{,}6\) (для \(2010\) року).

Обчислімо модуль різниці між середнім і найближчим до нього значенням:

\begin{gather*} |4{,}5-4{,}6|=|-0{,}1|=0{,}1. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}1.\)