ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати дані, наведені на графіку або в таблиці.

На горизонтальній осі час зазначено у хвилинах, тому виразимо у хвилинах час, заданий в умові:

\begin{gather*} 1\ \text{год}\ 20\ \text{хв}=60\ \text{хв}+20\ \text{хв}=80\ \text{хв}. \end{gather*}

На графіку значенню часу \(t=80\) хв відповідає заряд батареї \(70\ \%.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивості зовнішнього кута трикутника.

Кут \(\angle CBD=153^\circ\) є зовнішнім кутом трикутника \(ABD\) при вершині \(B.\) За властивістю зовнішнього кута трикутника, він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним:

\begin{gather*} \angle CBD=\angle CAD+\angle ADB;\\[7pt] \angle CAD=\angle CBD-\angle ADB. \end{gather*}

Підставмо відомі значення \(\angle ADB=90^\circ{:}\)

\begin{gather*} \angle CAD=153^\circ-90^\circ=63^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання ознаки паралельності площин і властивостей паралелепіпеда.

У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані лежать у паралельних площинах.

Грань \(AA_1D_1D\) проходить через точки \(A_1\), \(D_1\), \(D\), а грань \(BB_1C_1C\) – через точки \(C\), \(B\), \(B_1.\)

Оскільки це протилежні грані паралелепіпеда, площини \(A_1D_1D\) й \(CBB_1\) паралельні.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Перетворімо мішане число в правій частині рівняння у неправильний дріб:

\begin{gather*} -3\frac{12}{13}=-\frac{3\cdot 13+12}{13}=-\frac{51}{13}. \end{gather*}

Запишімо рівняння:

\begin{gather*} \frac{4}{13}x=-\frac{51}{13}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(13{:}\)

\begin{gather*} 4x=-51;\\[6pt] x=-\frac{51}{4}=-12,75;\\[7pt] -12{,}75\in (-55; -10). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Скористаймося формулою скороченого множення різниця квадратів:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє знання властивостей і вміння визначати парність і непарність функцій.

Функція \(f(x)\) є парною, якщо для всіх \(x\) з області визначення виконується умова:

\begin{gather*} f(-x)=f(x). \end{gather*}

Перевірмо варіанти відповіді:

А \(y=3^{2x},\)

\(f(-x)=3^{2(-x)}=3^{-2x}\ne f(x)\) – ні парна, ні непарна.

Б \(y=\sin x +1,\)

B \(y=\dfrac 3x,\)

\(f(-x)=\dfrac{3}{-x}=-\dfrac 3x=-f(x)\) – непарна.

Г \(y=2x^4,\)

\(f(-x)=2(-x)^4=2x^4=f(x)\) – парна.

Д \(y=2x,\)

\(f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x)\) – непарна.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Проведімо висоту трапеції \(BH\!\perp\!AD.\)

У прямокутному трикутнику \(BHO\ \angle BOH=45^\circ\), отже, трикутник \(BHO\) – рівнобедрений \((BH=HO).\)

Отже,

\begin{gather*} BH=HO=\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Оскільки \(ABCD\) – рівнобічна трапеція, проєкція бічної сторони

\begin{gather*} AH=\frac{AD-BC}{2}. \end{gather*}

За умовою \(AD=3BC.\)

Позначмо \(BC=x\), тоді \(AD=3x.\)

\begin{gather*} AH=\frac{3x-x}{2}=x=BC. \end{gather*}

Оскільки \(AO=AH+HO\), маємо

\begin{gather*} AO=x+\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Також

\begin{gather*} AO=\frac{AD}{2}=\frac{3x}{2}=1{,}5x. \end{gather*}

Прирівняймо вирази для \(AO{:}\)

\begin{gather*} 1{,}5x=x+\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] 1{,}5x-x=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] 0{,}5x=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] x=a\sqrt{2}. \end{gather*}

Отже, основи трапеції дорівнюють:

\begin{gather*} BC=x=a\sqrt{2};\\[7pt] AD=3x=3a\sqrt{2}. \end{gather*}

Площу трапеції обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h, \end{gather*}

де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} 2(x^2-x)=x^2+3. \end{gather*}

Розкриймо дужки в лівій частині рівняння й перенесімо всі доданки в ліву частину, щоб отримати квадратне рівняння вигляду \(ax^2+bx+c=0.\)

\begin{gather*} 2x^2-2x-x^2-3=0;\\[7pt] x^2-2x-3=0. \end{gather*}

Визначмо коефіцієнти: \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-3.\)

Обчислімо дискримінант за формулою \(D=b^2-4ac.\)

Формула для визначення коренів квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

Дискримінант \(D\gt 0\), обчислімо корені квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1;\\[6pt] x_2=\frac{2+4}{2}=\frac 62=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати типові задачі на відсотки, зокрема визначати число за значенням його відсотка.

Оскільки знижка була \(70\ \%\), покупець заплатив:

\begin{gather*} 100\ \%-70\ \%=30\ \% \end{gather*}

від початкової вартості. Тобто \(30\ \%\) становлять \(105\) грн. Складімо пропорцію:

\begin{gather*} 30\ \%\ - \ 105\ \text{грн};\\[6pt] 100\ \%\ -\ x\ \text{грн};\\[6pt] \frac{30}{100}=\frac{105\ \text{грн}}{x};\\[6pt] x=\frac{105\ \text{грн}\cdot 100}{30}=350\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Г.