ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь і вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Оскільки точка \(D\) є ортогональною проєкцією точки \(C(-1; 3; -4)\) на вісь \(Ox\), її \(x\)-координата залишається такою ж, а \(y\)- і \(z\)-координати дорівнюють нулю: \(D(-1; 0; 0).\)

Обчислімо відстань між точками \(C\) і \(D\).

За формулою відстані між двома точками у просторі:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Запишімо масу солі, яку кристалізують з літра ропи, у кілограмах.

Оскільки \(1\) кг \(=\ 1000\) г, то:

\begin{gather*} 300\ \text{г}=0{,}3\ \text{кг}. \end{gather*}

Щоб дізнатися, скільки солі можна кристалізувати з \(9000\) літрів ропи, треба помножити об'єм ропи на масу солі, яку видобувають із літра ропи:

\begin{gather*} m=9000\cdot 0{,}3=2700\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. \(\dfrac{1}{\delta}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}.\)

Звільнімося від ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз \(\sqrt{2}-1{:}\)

Два вирази називають взаємно спряженими, якщо вони різняться лише знаком між доданками.

Оскільки \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\), то \(\sqrt{2}-1\approx 0{,}41\gt 0.\) Це число містить корінь, який не можна добути, тому воно ірраціональне додатне.

Отже, правильна відповідь – Г.
 

2. \begin{gather*} \log_2(\delta-1)=\log_2(\sqrt{2}+1-1)=\log_2\sqrt{2}=\log_2 2^{\textstyle \frac 12}=\frac 12\cdot \log_2 2=\frac 12\cdot 1=\frac 12. \end{gather*}

Число \(\dfrac 12=0{,}5\) – це дріб, отже, воно є раціональним нецілим числом.

Для спрощення виразу застосовували формули:

Отже, правильна відповідь – B.
 

Число \(-1\) є цілим від'ємним числом.

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійних і квадратичних функцій, кола.

1. Побудуймо графік рівняння \(y+x=0.\)

Перенесімо \(x\) у праву частину: \(y=-x.\)

Це лінійна функція, графіком якої є пряма, що проходить через II й IV координатні чверті (бісектриса II й IV чвертей).

Отже, 1 – Г.

2. Побудуймо графік рівняння \(y+x^2=0.\)

Виразімо \(y{:}\ y=-x^2.\)

Це квадратична функція, графіком якої є парабола. Оскільки коефіцієнт біля \(x^2\) від'ємний \((a=-1\lt 0)\), вітки параболи напрямлені вниз.

Отже, 2 – Б.

3. Побудуймо графік рівняння \(y^2+x^2=1.\)

Запишімо в канонічному вигляді: \(x^2+y^2=1^2.\)

Це стандартне рівняння кола із центром у початку координат \((0; 0)\) і радіусом \(R=1.\)

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата, прямокутника та прямокутного трикутника.

1. Сторона ромба \(ABCD.\)

Периметр квадрата \(P=40\) см.

Оскільки у квадрата всі чотири сторони рівні, то сторона квадрата:

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(CK.\)

З прямокутного трикутника \(\Delta CDM\ (\angle D=90^\circ)\) за теоремою Піфагора шукаємо сторону \(DM{:}\)

Оскільки \(DCKM\) – прямокутник, то \(CK=DM=24\) см.

Отже, правильна відповідь – Д.

3. Відстань між центром квадрата і точкою перетину діагоналей прямокутника \(ABKM.\)

Центр квадрата \(ABCD.\)

Точка перетину діагоналей квадрата знаходиться на відстані від його сторони, що дорівнює половині цієї сторони. Відстань від сторони \(AB\) до точки \(O_1{:}\)

Центр прямокутника \(ABKM.\)

Знайдемо всю основу

Відстань від центра прямокутника (точки перетину його діагоналей) до сторони \(AB\) дорівнює половині його основи \(AM.\) Відстань від сторони \(AB\) до точки \(O_2{:}\)

Оскільки відрізок \(O_1O_2\) паралельний основам \(BC\) та \(AM\), його довжина — це різниця відстаней від сторони \(AB\) до точок \(O_2\) та \(O_1{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна і визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Обчислімо площу зафарбованої фігури за допомогою визначеного інтеграла:

\begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*}

де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

Визначмо точку перетину графіків \(y=9\) та \(y=x^3+1.\) Для цього прирівняймо їхні вирази:

\begin{gather*} x^3+1=9;\\[7pt] x^3=9-1;\\[7pt] x^3=8;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Площу \(S\) фігури, що обмежена зверху графіком \(y=9\) (верхня), знизу – \(y=x^3+1\), а зліва – прямою \(x=0\), обчислімо за допомогою визначеного інтеграла:

Застосували формулу Ньютона – Лейбніца:

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_a^b f(x)\ dx=F(x)\Big |_a^b=F(b)-F(a), \end{gather*}

де \(f(x)\) – неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її первісна.

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати інформацію з полігона частот й обчислювати середнє значення.

З полігона частот виписуємо значення елементів \((x_i)\) й відповідні їм частоти \((n_i){:}\)

Обчислімо загальну кількість елементів (суму частот):

\begin{gather*} N=3+7+1+3+3+5=22. \end{gather*}

Середнє значення обчислімо як середнє арифметичне:

Відповідь: \(21.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей многогранників і тіл обертання, формул площ поверхонь й об'ємів многогранників і тіл обертання.

Формула площі поверхні сфери:

\begin{gather*} S=4\pi R^2. \end{gather*}

За умовою \(S=432\pi\), тому:

\begin{gather*} 4\pi R^2=432\pi. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівності на \(4\pi{:}\)

\begin{gather*} R^2=108;\\[7pt] R=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює діаметру сфери \(D{:}\)

\begin{gather*} H=D=2R=2\cdot 6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Основою піраміди є правильний трикутник. За умовою радіус описаного навколо нього кола дорівнює радіусу сфери:

\begin{gather*} R_\text{осн}=R=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Сторона основи \((a){:}\)

\begin{gather*} R_\text{осн}=\frac{a}{\sqrt{3}};\\[6pt] a=R_\text{осн}\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площа основи \((S_\text{осн}){:}\)

Формула об'єму піраміди:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння аналізувати кількість розв’язків системи двох лінійних рівнянь із двома змінними залежно від значень параметра.

Система лінійних рівнянь виду

\begin{gather*} \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \end{gather*}

не має розв'язків, якщо коефіцієнти при змінних пропорційні, але не дорівнюють відношенню вільних членів:

\begin{gather*} \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}. \end{gather*}

Запишімо відношення коефіцієнтів:

\begin{gather*} \frac{2}{5a+6}=\frac{a}{16}\ne \frac{3}{24}. \end{gather*}

Розв'яжімо першу рівність:

\begin{gather*} \frac{2}{5a+6}=\frac{a}{16}. \end{gather*}

За властивістю пропорції:

\begin{gather*} a(5a+6)=2\cdot 16;\\[7pt] 5a^2+6a-32=0. \end{gather*}

Для розв'язання квадратного рівняння вигляду \(ax^2+bx+c=0\) обчислімо дискримінант \(D=b^2-4ac.\)

Оскільки \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\\[6pt] a_1=\frac{-6+26}{2\cdot 5}=\frac{20}{10}=2;\\[6pt] a_2=\frac{-6-26}{2\cdot 5}=\frac{-32}{10}=-3{,}2. \end{gather*}

Перевірмо умову нерівності \(\dfrac{a}{16}\ne\dfrac{3}{24}\) \(\left(\text{де}\ \dfrac{3}{24}=\dfrac 18\right){:}\)

• якщо \(a=2,\)

\(\dfrac{2}{16}=\dfrac 18.\) Умова не виконується (за \(a=2\) система має безліч розв'язків);

• якщо \(a=-3{,}2,\)

\(\dfrac{-3{,}2}{16}=-\dfrac{32}{160}=-\dfrac 15\ne \dfrac 18.\) Умова виконується (система не має розв'язків).

Отже, система не має розв’язків лише за \(a=-3{,}2.\)

Відповідь: \(-3{,}2.\)