ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

Будь-яка призма завжди має дві рівні основи (верхню і нижню). Кількість бічних граней призми дорівнює кількості сторін многокутника, що лежить у її основі. Оскільки призма трикутна, у її основі лежить трикутник (\(3\) сторони), тому вона має три бічні грані. Отже, трикутна призма має дві основи й три бічні грані.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 3-x=2\frac 13;\\[6pt] x=3-2\frac 13. \end{gather*}

Запишімо ціле число \(3\) у вигляді мішаного числа зі знаменником \(3{:}\)

\begin{gather*} 3=2\frac 33;\\[6pt] x=2\frac 33-2\frac 13;\\[6pt] x=\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати множину значень функції за її графіком і застосовувати правила геометричних перетворень графіків функцій.

Графік функції \(y=f(x)\) визначений на проміжку \([-4; 3].\) Множину значень \(E(f)\) визначено проєкцією графіка на вісь \(Oy{:}\)

\begin{gather*} E(f)=[-1; 2]. \end{gather*}

Щоб побудувати графік функції \(y=f(x)-2\), треба перенести графік \(y=f(x)\) уздовж осі \(Oy\) на \(2\) одиниці вниз.

Віднімання числа \(2\) від усієї функції означає паралельне перенесення графіка на \(2\) одиниці вниз уздовж осі \(Oy.\) Отже, від кожного значення y потрібно відняти \(2.\)

Обчислення нової області значень:

\begin{gather*} E(f-2)=[-1-2; 2-2]=[-3; 0]. \end{gather*}

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Для розв'язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

Підставмо обчислене значення у вираз під знаком модуля:

\begin{gather*} |1-0{,}5^{-3}|=|1-8|=|-7|=7. \end{gather*}

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I. Існує прямокутна трапеція, навколо якої можна описати коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) У прямокутній трапеції два кути при меншій бічній стороні – прямі \((90^\circ\ \text{і}\ 90^\circ).\) Отже, кути при більшій бічній стороні – гострий і тупий, але їхня сума також має бути \(180^\circ\), тобто трапеція має бути рівнобічною (а не прямокутною). Твердження неправильне.

II. Існує прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло.

У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні \((a+b=c+d).\) Для прямокутної трапеції це цілком можливо (наприклад, якщо основи дорівнюють \(3\) і \(6\), а бічні сторони – \(4\) й \(5{:}\ (3+6=4+5=9\)). Твердження правильне.

III. Існує прямокутна трапеція, висота якої вдвічі менша за більшу бічну сторону.

Якщо гострий кут прямокутної трапеції дорівнює \(30^\circ\), то у прямокутному трикутнику, утвореному висотою і більшою бічною стороною, висота (катет проти кута \(30^\circ\)) удвічі менша за більшу бічну сторону (гіпотенузу). Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійнi, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Нерівність виду \(f(x)^2\lt a^2\) рівносильна подвійній нерівності

\begin{gather*} -a\lt f(x)\lt a. \end{gather*}

Оскільки \(9=3^2\), то

\begin{gather*} (2x+1)^2\lt 3^2, \end{gather*}

маємо подвійну нерівність:

\begin{gather*} -3\lt 2x+1\lt 3. \end{gather*}

Віднімімо \(1\) від усіх частин нерівності:

\begin{gather*} -3-1\lt 2x\lt 3-1;\\[7pt] -4\lt 2x\lt 2. \end{gather*}

Поділімо всі частини на \(2{:}\)

\begin{gather*} -2\lt x\lt 1. \end{gather*}

Отже, \(x\in (-2; 1)\) – множина розв'язків заданої нерівності.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати первісну тригонометричної функції.

Застосуймо правила визначення первісних для кожного доданка окремо:

Отримаємо

\begin{gather*} F(x)=3\sin x-\frac{x^{1+1}}{1+1};\\[6pt] F(x)=3\sin x-\frac{x^2}{2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника, уміння визначати площу паралелограма.

Розгляньмо чотирикутник \(KBCD.\) У ньому \(BC\!\parallel\!KD\), тобто це трапеція з основами \(BC\) та \(KD.\) Відрізок \(MN\) з'єднує середини її бічних сторін \(BK\) та \(CD\), тому \(MN\) – середня лінія трапеції \(KBCD.\) За властивістю середньої лінії:

\begin{gather*} MN=\frac{BC+KD}{2}. \end{gather*}

Протилежні сторони паралелограма рівні \((BC=AD)\), тому

\begin{gather*} 24=\frac{AD+18}{2};\\[6pt] AD+18=48;\\[7pt] AD=30\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину відрізка \(AK{:}\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle AKB=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ A=\frac{BK}{AK};\\[6pt] \mathrm{tg}\ 30^\circ=\frac{BK}{12};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{BK}{12};\\[6pt] BK=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

За формулою площі паралелограма \(S=a\cdot h_a\) обчислімо площу \(ABCD{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} W=\frac{q^2}{2C}. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівності на \(C\), щоб винести шукану змінну зі знаменника:

\begin{gather*} W\cdot C=\frac{q^2}{2}. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(W{:}\)

\begin{gather*} C=\frac{q^2}{2W}. \end{gather*}

Відповідь: Б.