ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних, ірраціональних виразів.

1. \(\lg 100.\)

Десятковий логарифм – це логарифм за основою \(10.\)

Застосуймо формули:

\begin{gather*} \log_{10} a=\lg a;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \lg 100=\log_{10} 10^2=2\cdot \log_{10} 10=2\cdot 1=2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\sin\dfrac{3\pi}{2}.\)

Кут \(\dfrac{3\pi}{2}\) радіан відповідає \(270^\circ.\)

За тригонометричним колом або таблицею значень:

\begin{gather*} \sin\frac{3\pi}{2}=-1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}).\)

Застосуймо формулу різниці квадратів:

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

A Графік функції \(f\) має лише одну спільну точку з графіком кола \((x-3)^2+(y+2)^2=1\).

Рівняння \((x-3)^2+(y+2)^2=1\) задає коло із центром у точці \((3; -2)\) і радіусом \(R=1.\)

Графік функції (пряма) проходить через точку \((3; -2)\), яка є центром кола. З рисунка видно, що він лише один раз перетинає коло. Отже, графік функції має з колом тільки одну спільну точку.

Отже, 2 – А.

Б Похідна функції \(f\) є додатною на проміжку \([–3; 3].\)

Якщо похідна \(f'(x)\gt 0\), то функція зростає на цьому проміжку. Це означає, що внаслідок збільшення значення \(x\) значення самої функції \(y\) також збільшується (графік функції підіймається).

Оскільки жоден графік не зростає безперервно від \(x=-3\) до \(x=3\), варіант Б є хибним в усіх трьох випадках.

В Функція \(f\) є непарною.

Графік непарної функції обов'язково симетричний відносно початку координат \((0; 0).\) Якщо повернути графік на \(180^\circ\) навколо точки \((0; 0)\), він має повністю збігтися сам із собою. Також графік непарної функції завжди проходить через точку \((0; 0)\) (якщо вона належить області визначення). Жоден графік не є симетричним відносно початку координат. Отже, варіант В є хибним в усіх трьох випадках.

Г Значення функції \(f\) на кінцях проміжку \([–3; 3]\) є рівними.

Перевірмо значення функції \(y=f(x)\) на кінцях проміжку \([-3; 3].\)

За графіком визначмо ординату точок з абсцисами \(x=-3\) та \(x=3\) \(f(-3)=2\) і \(f(3)=2.\)

Значення функції на кінцях проміжку є рівними \(f(-3)=f(3)=2.\) Отже, 1 – Г.

Д Функція \(f\) має два нулі.

Нулі функції – це точки перетину її графіка з віссю \(Ox\ (y=0).\) На рисунку графік перетинає вісь \(Ox\) точно у двох точках на проміжку \([-3; 0].\) Тобто функція має два нулі. Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. Сторона ромба \((AB).\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle AKB=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2;\\[7pt] AB^2=12^2+5^2=144+25=169;\\[7pt] AB=\sqrt{169}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Радіус кола, вписаного в ромб \((r).\)

Висота ромба \(h=AK=12\) см. Радіус вписаного в ромб кола дорівнює половині його висоти:

\begin{gather*} r=\frac h2=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(OK.\)

Оскільки \(ABCD\) – ромб, то центр його симетрії (точка перетину діагоналей) – це точка \(O.\) Відрізок \(OK\) є медіаною, проведеною з прямого кута \(\angle AKC\) прямокутного трикутника \(\Delta AKC\) до гіпотенузи \(AC.\)

Властивість: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині цієї гіпотенузи, тобто \(OK=AO=OC.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\) знайдімо відрізок \(KC.\) Усі сторони ромба рівні \(13\) см, тому \(BC=13\) см.

\begin{gather*} KC=BC-BK=13-5=8\ \text{см}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(\Delta AKC\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2;\\[7pt] AC^2=12^2+8^2=144+64=208;\\[7pt] AC=\sqrt{208}=\sqrt{16\cdot 13}=4\sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(OK=\dfrac{AC}{2}\),

\begin{gather*} OK=\frac{4\sqrt{13}}{2}=2\sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну суми, значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента, кутового коефіцієнта дотичної.

За геометричним змістом похідної \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання й табличні значення:

Пряма \(y=x\) має кутовий коефіцієнт \(k=1.\) Оскільки дотична паралельна цій прямій, їхні кутові коефіцієнти рівні: \(f'(x_0)=1{:}\)

\begin{gather*} 8-2x_0=1;\\[7pt] -2x_0=1-8;\\[7pt] -2x_0=-7;\\[7pt] x_0=3{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(3{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Для обчислення ймовірності випадкової події застосуймо класичне означення ймовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kN, \end{gather*}

де: \(N\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A.\)

Усього в салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць у кожному. Отже, усього в літаку \(N=6n\) місць.

У будь-якому ряду лише \(2\) місця біля проходу (по одному з кожного боку від проходу). Отже, у першому ряду таких місць \(k=2.\)

За означенням, імовірність – це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(2\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому

\begin{gather*} \frac{2}{6n}=\frac{1}{102};\\[6pt] \frac{1}{3n}=\frac{1}{102};\\[6pt] 3n=102;\\[7pt] n=34. \end{gather*}

Відповідь: \(34.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи конуса та правильної чотирикутної призми для обчислення об’єму призми.

Об'єм призми обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

В основі правильної чотирикутної призми квадрат з діагоналлю \(d=16\) см.

Радіус \(R\) кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині його діагоналі:

\begin{gather*} R=\frac d2=\frac{16}{2}=8\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою це також радіус основи конуса: \(R_\text{конуса}=8\) см.

Висота призми дорівнює висоті конуса:

\begin{gather*} H_\text{призми}=H_\text{конуса}=H. \end{gather*}

У конусі розгляньмо прямокутний трикутник, утворений твірною \(L=17\) см, радіусом основи \(R=8\) см і висотою \(H{:}\)

Основою правильної призми є квадрат. Площу квадрата через його діагональ \(d\) обчислімо за формулою:

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, та їх системи з параметрами.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола з центром в точці \(M\ (x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

Перепишемо рівняння так:

\begin{gather*} (x-(11+3a))^2+(y-(-2))^2=7^2. \end{gather*}

Це коло з центром в точці \(M\ (11+3a; -2)\) і радіусом \(R=7.\)

Центр кола може рухатися ліворуч або праворуч залежно від значення \(a\) (бо змінюється координата \(x_0\)), але по осі \(y\) він завжди зафіксований на позначці \(-2.\)

Графік перетинає вісь ординат у двох точках тоді й лише тоді, коли відстань від центра кола до цієї осі менша за радіус.

Вісь \(y\) – це пряма \(x=0.\) Відстань від центра \(O\ (x_0; -2)\) до осі \(y\) – це просто модуль координати \(x_0{:}\)

\begin{gather*} |x_0|\lt R;\\[7pt] |11+3a|\lt 7;\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 11+3a\lt 7,\\ 11+3a\gt -7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 3a\lt 7-11,\\ 3a\gt -7-11, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 3a\lt -4,\\ 3a\gt -18, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt -\dfrac 43,\\ a\gt -6, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\lt -1\dfrac 13,\\ a\gt -6. \end{array}\right. \end{gather*}

Тобто \(a\in \left(-6; -1\dfrac 13\right).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: \(\{-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\}\).

Найменше ціле значення: \(-5.\)

Відповідь: \(-5.\)