Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє знання властивості рівних векторів, координат вектора; уміння складати рівняння кола, знаходити координати середини відрізка.

Коло задано рівнянням $$ x^2-4x+y^2+12y=9. $$

Запишемо в стандартному вигляді:

\begin{gather*} (x^2-4x+4)-4+(y^2+12y+36)-36=9,\\[7pt] (x-2)^2+(y+6)^2=49. \end{gather*}

Точка \(O(2; -6)\) – центр кола, \(R=7.\)

Нехай точка \(A(x_\text{A}; y_\text{A})\), \(\overrightarrow{OA}(x_\text{A}-2; y_\text{A}+6)\), \(\overrightarrow{OA}(-1; 2).\)

Отже,

\begin{gather*} x_\text{A}-2=-1,\ \ x_\text{A}=1,\\[7pt] y_\text{A}+6=2,\ \ y_\text{A}=-4,\\[7pt] A(1; -4). \end{gather*}

Точка \(O\) середина відрізка \(AC.\)

За формулами $$ x=\frac{x_1+x_2}{2},\ \ y=\frac{y_1+y_2}{2} $$ знаходимо координати точки \(C:\)

\begin{gather*} x_0=\frac{x_\text{A}+x_\text{C}}{2},\ \ x_\text{C}=2x_0-x_A=2\cdot 2-1=3,\\[7pt] y_0=\frac{y_\text{A}+y_\text{C}}{2},\ \ y_\text{C}=2y_0-y_\text{A}=2\cdot (-6)+4=-8,\\[7pt] x_\text{C}\cdot y_\text{C}=3\cdot (-8)=-24. \end{gather*}

Відповідь: \(-24.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події, знання правила добутку для знаходження ймовірності.

Серед \(24\) студентів першої групи проживають у гуртожитку \(6\) студентів.

Отже, ймовірність того, що студент проживає у гуртожитку $$ P_1=\frac{6}{24}=\frac 14. $$

Серед \(28\) студентів другої групи у гуртожитку проживають \(14\) студентів.

Отже, $$ P_2=\frac{14}{28}=\frac 12. $$

За правилом добутку ймовірність того, що обидва студенти проживають у гуртожитку $$ P=P_1\cdot P_2=\frac 14\cdot \frac 12=\frac 18=0\mathord{,}125. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}125.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’єму піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

\(EABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(O=AB\cap BD\),

\(EO\) – висота, \(EO=12\) см. \(EK\perp AB\) – апофема.

У \(\Delta EOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} EK^2=OK^2+OE^2,\\[7pt] OK=\sqrt{EK^2-EO^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \textit{см},\\[7pt] AD=2OK=10\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H=\frac 13S_{ABCD}\cdot EO=\frac 13\cdot 10^2\cdot 12=400\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(400.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Середню температуру знаходимо як середнє арифметичне значень

Відповідь: \(15\mathord{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.

Нехай власна швидкість човна \(x\) км/год.

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
За течією	$$x+2\mathord{,}5$$	$$\frac{48}{x+2\mathord{,}5}$$	$$48$$
Проти течії	$$x-2\mathord{,}5$$	$$\frac{18}{x-2\mathord{,}5}$$	$$18$$

Відстань проти течії човен подолав за час, вдвічі менший, ніж за течією. $$ \frac{48}{x+2\mathord{,}5}=\frac{18\cdot 2}{x-2\mathord{,}5}. $$ Поділимо обидві частини рівняння на \(12.\) \begin{gather*} \frac{4}{x+2\mathord{,}5}=\frac{3}{x-2\mathord{,}5}\\[6pt] 4(x-2\mathord{,}5)=3(x+2\mathord{,}5)\\[7pt] 4x-10=3x+7\mathord{,}5\\[7pt] x=17\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(17\mathord{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

1. \(a_2-a_5=7\mathord{,}8\); \(a_2=a_1+d\); \(a_5=a_1+4d\)
\(a_1-a_5=a_1+d-(a_1+4d)=a_1+d-a_1-4d=-3d=7\mathord{,}8\)
\(d=7\mathord{,}8:(-3)=-2\mathord{,}6.\)

2. \(a_3=a_1+2d\)
\(-1\mathord{,}8=a_1+2\cdot (-2\mathord{,}6)\)
\(-1\mathord{,}8=a_1-5\mathord{,}2\)
\(a_1=-1\mathord{,}8+5\mathord{,}2=3\mathord{,}4\).

Відповідь: 1. \(-2\mathord{,}6.\)
                   2. \(3\mathord{,}4.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про коло та його елементи, теореми Піфагора, знання формули для обчислення площі трикутника.

1. \(O_2C=20\) см, \(O_2K\perp CD\), \(O_2K=12\) см.

За теоремою Піфагора \begin{gather*} \Delta O_2KC\ (\angle K=90^\circ),\\[7pt] O_2C^2=O_2K^2+CK^2,\\[7pt] CK=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\ \textit{см},\\[7pt] O_1H=CK=16\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(S_{DO_1C}=\frac 12CD\cdot O_1K\),

\begin{gather*} O_1K=O_1O_2+O_2K=O_1M+MO_2+O_2K=16+20+12=48\ \textit{см},\\[6pt] S_{DO_1C}=\frac 12\cdot 32\cdot 48=16\cdot 48=768\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(16.\)
                   2. \(768.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

1. За \(6\) діб норма пробігу \(6\cdot 50=300\) км. Автомобіль проїхав \(420\) км. Перевищення норми пробігу складає $$ 420-300=120\ \textit{км}. $$ За понаднормовий пробіг додаткова плата становитиме $$ P=120\cdot 6=720\ \textit{грн}. $$

2. За \(6\) діб основна плата за оренду становитиме $$ 6\cdot 400=2400\ \textit{грн}. $$ Сума \(P=720\) від \(2400\) становитиме $$ \frac{720}{2400}\cdot 100\text{%}=30\text{%}. $$

Відповідь: 1. \(720.\)
                   2. \(30.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні та об’єму циліндра, циліндра та його елементів.

1. Твірна дорівнює \(4.\)

Отже, 1 – В.

2. \(S_\text{бічної}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 2\cdot 6=24\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)

Отже, 2 – Г.

3. \(ABCD\) – прямокутник, обертається навколо сторони \(6.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1.

\(\angle A=90^\circ\), \(AC\) бісектриса, \(\angle BAC=45^\circ.\)

\(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((\angle B=90^\circ)\), \(AB=BC=6\) см.
Отже, 1 – A.

2. \(CH\perp AD\), \(HD\) – проекція \(CD\) на \(AD.\)

У \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ)\), \(CH=6\) см, \(HD=8\) см (єгипетський).
Отже, 2 – Б.

3. \(ABCH\) – квадрат.

\(BC=AH=6\) см, \(AD=AH+HD=14\) см.

Cередня лінія трапеції $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+14}{2}=10\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв’язування задач, виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних виразів.

1. \(a^0=1.\)
Отже, 1 – Г.

2. \(|a|+a=-a+a=0.\)

За означенням модуля $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \ \text{якщо}\ \ a\gt 0\\ 0,\ \ \text{якщо}\ \ a=0\\ -a,\ \ \text{якщо}\ \ a\lt 0 \end{array}\right. $$ Отже, 2 – A.

3. \(a\log_22^a=a^2\log_22=a^2.\)
Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=\sqrt{x-4}\) не визначена в точці \(x=1.\)

Отже, 1 – Б.

2. \(y=x+4\) набуває додатного значення при \(x=-3.\) $$ y(-3)=-3+4=1. $$

Отже, 2 – Г.

3. \(y=x^3\) – непарна (симетричний графік відносно початку координат). $$ y(-x)=(-x)^3=-x^3=-y(x). $$

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення первісної функції.

Функція \(F(x)=5x^4-1\) є первісною функції \(f(x).\)

Формула, яка задає всі первісні функції \(f(x)\) $$ F(x)=5x^4+C, $$ де \(C\) – будь-яке число.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжину кола та його дуги.

Довжина кола \(C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R\), \(R=27\) м. Отже, довжина всього кола $$ C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 27=54\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \textit{м}. $$

Оскільки до каркаса прикрілено \(18\) кабінок, то довжина дуги \(AB\) дорівнює

$$ l_{AB}=\frac{54\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{18}=3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\approx 3\cdot 3\mathord{,}14=9\mathord{,}42\ \textit{м}. $$

Найближча до точної відповідь Б.

Відповідь: Б.