Всі запитання ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 375

Математика. Всі запитання починаючи з 375

376377378379380381382383384385386387388389390 ▶

Завдання 376 з 1671

Точки $A,\ B,\ C$ та $D$ лежать в одній площині. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо точка $B$ належить відрізку $CD$, то $CB+BD=CD$.

II. Якщо точка $A$ не належить відрізку $CD$, то $CA+AD\lt CD$.

III. Якщо відрізок $CD$ перетинає відрізок $AB$ в точці О під прямим кутом i $AO=OB$, то $AC=CB$.

Алише І та ІІ

Блише І

Влише І та ІІІ

Глише ІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом планіметрії, нерівності трикутника, рівності трикутників.

Точки $A,\ B,\ C,\ D$ лежать в одній площині.

точка $B\in CD$, отже, за аксіомами планіметрії $CD=CB+BD$.

II.

точка $A\notin CD$, то за нерівностю трикутників $AC+AC\gt CD$.

III.

$CD\cap AB =0$, $CD$ – серединний перпендикуляр відрізка $AB$, отже, будь-яка точка серединного перпендикуляра рівновіддалена від кінців відрізка. Отже, $AC=CB$.

Правильними є твердження І та ІІІ.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24689

Завдання 377 з 1671

Спростіть вираз $2(x+5y)-(4y-7x)$.

А$9x+y$

Б$9x+14y$

В$-5x+6y$

Г$9x+6y$

Д$16x+2y$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} 2(x+5y)-(4y-7x)=2x+2\cdot 5y-4y+7x=\\[7pt] =2x+10y-4y+7x=9x+6y. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24688

Завдання 378 з 1671

Укажіть функцію, графік якої проходить через початок координат.

А$y=x-1$

Б$y=1-x$

В$y=1$

Г$x=-1$

Д$y=x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція, графік якої проходить через початок координат, проходить через точку $(0;\ 0)$. З наведених функцій це $y=x$.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24687

Завдання 379 з 1671

У рівнобедреному трикутнику $ABC$ з основою $AC\ \angle B=40^\circ$. Визначте градусну міру кута $A$.

А80°

Б70°

В60°

Г50°

Д40°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання теореми про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника $180^\circ$.

$\angle B=40^\circ$, тому $$ \angle A+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ. $$

За властивістю рівнобедреного трикутника $\angle A=\angle C$. Отже, $$ \angle A=140^\circ : 2= 70^\circ. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24686

Завдання 380 з 1671

Обчисліть суму коренів рівняння $x^2+3x-4=0$.

А-4

Б-3

В3

Г4

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння другого степеня, знання теореми Вієта.

І спосіб: заходимо корні рівняння

\begin{gather*} D=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot(-4) = 9+16=25\\[6pt] x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1\\[6pt] x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\\[6pt] x_1+x_2=1+(-4)=-3. \end{gather*}

ІІ спосіб: за теоремою Вієта: $$ x_1+x_2=-b=-3 $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24685

Завдання 381 з 1671

Точки $A$ та $B$ лежать на сфері радіуса 10 см. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка $AB$.

А20 см

Б100π см

В10 см

Г20π см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання про сферу та її основні елементи, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Відстань між точками на сфері – це хорда.

Найбільша відстань між двома точками на сфері – найбільша за довжиною хорда – діаметр $$ R = 10\ \text{см},\ \ d = 20\ \text{см}. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24684

Завдання 382 з 1671

Кількість відвідувачів ботанічного саду протягом червня становила чверть від їхньої сумарної кількості в травні й червні. На якій із діаграм правильно зображено розподіл відвідувачів цього ботанічного саду впродовж цих двох місяців?

	– кількість відвідувачів у травні
	– кількість відвідувачів у червні

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати інформацію, подану у графічній формі.

Кількість відвідувачів у червні становила $\frac 14$ від сумарної кількості всіх відвідувачів.

На діаграмі Г правильно зображено розподіл відвідувачів.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24683

Завдання 383 з 1671

У під'їзді шістнадцятиповерхового будинку на першому поверсі розташовано 6 квартир, а на кожному з решти поверхів – по 8. На якому поверсі квартира № 31, якщо квартири від № 1 і далі пронумеровано послідовно від першого до останнього поверху?

А3

Б4

В5

Г6

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Поверхи	Номери квартир
1	1–6
2	7–14
3	15–22
4	23–30
5	31–38

Отже, квартира №31 знаходиться на 5 поверсі.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24682

Завдання 384 з 1671

Задано систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} ax^2+3ax+4^{1+\sqrt{y}}=8,\\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1, \end{array} \right. $$ де $x,\ y$ – зміннi, $a$ – довільна стала.

1. Розв'яжіть систему, якщо $a=0$.

2. Визначте всі розв'язки заданої системи залежно від значень $a$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Розв'яжемо систему, якщо $a=0$.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 4^{1+\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} 4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} 4^{\sqrt{y}}=2, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1. & \end{array}\right. \end{gather*}

Підставимо у друге рівняння замість $4^{\sqrt{y}}$ число 2.

\begin{gather*} x+2\cdot 2=1,\ \ x+4=1,\ \ x=-3.\\[6pt] 4^{\sqrt{y}}=2,\ \ 2^{2\sqrt{y}}=2^1,\ \ 2\sqrt{y}=1,\ \ \sqrt{y}=\frac 12,\ \ y=\frac 14. \end{gather*}

Отже, за $a=0$ розв'язком системи є $(-3;\ 0,25)$.

2. Нехай $a\ne 0$.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}-1=0\ |\cdot (-2); & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8,& \\ -2x-4\cdot 4^{\sqrt{y}}+2=0. & \end{array}\right. \end{gather*}

Почленно додамо рівняння \begin{gather*} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}-2x-4\cdot 4^{\sqrt{y}}+2=8\\[7pt] ax^2+3ax-2x-6=0,\\[7pt] ax^2+(3a-2)x-6=0. \end{gather*}

Отримаємо квадратне рівняння.

\begin{gather*} D=(3a-2)^2-4a\cdot (-6)=9a^2-12a+4+24a=(3a+2)^2\\[7pt] x_1=\frac{-3a+2+3a+2}{2a}=\frac{2}{a};\\[7pt] x_2=\frac{-3a+2-3a-2}{2a}=-3. \end{gather*}

Система рівносильна сукупності систем:

\begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ \frac 2a+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ -3+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ 4^{\sqrt{y}}=\frac{a-2}{2a}; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ y=\frac 14. & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \ \ \ (1) \end{gather*}

Оскільки $4^{\sqrt{y}}\geq 1\ \left(y\geq 0,\ \sqrt{y}\geq 0,\ 4^{\sqrt{y}}\geq 4^0\right)$, отримуємо

\begin{gather*} \frac{a-2}{2a}\geq 1,\ \ \frac{a-2}{2a}-1\geq 0,\ \ \frac{a-2-2a}{2a}\geq 0,\\[6pt] \frac{-a-2}{2a}\geq 0,\ \ \frac{a+2}{2a}\leq 0. \end{gather*}

Тоді \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ \sqrt{y}=\log_4\frac{a-2}{2a}, & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ y=\log^2_4\frac{a-2}{2a}. & \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь:
1. $(-3;\ 0,25)$
2. якщо $a\in (-\infty;\ -2)\cup [0;\ +\infty)$, то розв'язком є $(-3;\ 0,25)$
якщо $a\in [-2;\ 0)$, то розв'язками є $(-3;\ 0,25)$ та $\left(\frac 2a;\ \log^2_4\frac{a-2}{2a}\right)$.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23693

Завдання 385 з 1671

Доведіть тотожність
$$ \frac{2a^2+5a-3}{a+3}=\frac{1-2a}{2\cos 240^\circ}. $$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 3.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Доведемо тотожність.
I спосіб:

\begin{gather*} \cos 240^\circ=\cos(180^\circ+60^\circ)=-\cos 60^\circ=-\frac 12\\[6pt] \frac{2a^2+5a-3}{a+3}=\frac{1-2a}{2\cdot\left(-\frac 12\right)},\\[6pt] \frac{2a^2+5a-3}{a+3}=\frac{1-2a}{-1}\ \ \text{при}\ a\ne -3\\[6pt] (2a^2+5a-3)\cdot (-1)=(a+3)(1-2a)\\[7pt] -2a^2-5a+3=a-2a^2+3-6a\\[7pt] -2a^2-5a+3=-2a^2-5a+3\\[7pt] \end{gather*}

Отже, вирази рівні.

ІІ спосіб:

\begin{gather*} \cos 240^\circ=\cos(180^\circ+60^\circ)=-\cos 60^\circ=-\frac 12 \end{gather*}

Розкладемо вираз $2a^2+5a-3$ на множники:

\begin{gather*} 2a^2+5a-3=0,\ \ D=25-4\cdot 2\cdot (-3)=49\\[6pt] a_1=\frac{-5+7}{4}=\frac 24=\frac 12;\\[6pt] a_2=\frac{-5-7}{4}=\frac{-12}{4}=-3.\\[6pt] 2a^2+5a-3=2(a-\frac 12)(a+3)=(2a-1)(a+3). \end{gather*}

Розклали за формулою: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, де $x_1,\ x_2$ – корені квадратного тричлена.

Отримаємо, \begin{gather*} \frac{(2a-1)(a+3)}{a+3}=\frac{1-2a}{-1}\\[6pt] 2a-1=2a-1, \end{gather*} вирази рівні.

Тест 469. Запитання: 23692

Завдання 386 з 1671

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}$. На колі нижньої основи вибрано точку $K$ так, що градусна міра дуги $AK$ дорівнює 90°.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$ між площиною $(KBD)$ і площиною нижньої основи циліндра. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 2.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. Прямокутник $ABCD$ - осьовий переріз циліндра.

$AC=BD=d$. Точка $K$ лежить на колі нижньої основи циліндра $\smile AK=90^\circ$, тому $\angle AOK=90^\circ$.

Пряма $KD$ – пряма перетину площини $(KBD)$ з площиною нижньої основи.

$\angle AKD=90^\circ$ (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то $AK\perp KD$.

\begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} AB\perp (AKD) & \\ BK\ -\ \text{похила на площину}\ (AKD) & \\ AK\ -\ \text{проекція похилої}\ BK &\\ AK\perp KD,\ KD \subset\ (AKD) & \end{array}\right| \rightarrow \text{за теоремою про три перпендикуляри}\ BK \perp KD. \end{gather*}

Таким чином, $\angle AKB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}$ – лінійний кут двогранного кута між площинами ($BKD)$ і площиною основи циліндра.

2. $\triangle AKD$ – рівнобедрений ($KO$ – медіана та висота) $AD=d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}$, тому за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AK^2+KD^2=2AK^2,\\[6pt] AK^2=\frac{AD^2}{2}=\frac{d^2\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2},\\[6pt] AK=\sqrt{\frac{d^2\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=\frac{d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\sqrt{2}}.\\[6pt] AB=d\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\\[6pt] \text{У}\ \triangle ABK\ (\angle A=90^\circ)\ \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\frac{AB}{AK}, \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\frac{d\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \sqrt{2}}{d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}=\sqrt{2}\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}. \end{gather*}

Отже, $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\right)$.

Відповідь: 2. $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\right)$.

Тест 469. Запитання: 23691

Завдання 387 з 1671

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить в нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}$.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр i його осьовий переріз $ABCD$.

2. Укажіть кут $\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}$, що утворює пряма $AC$ із площиною нижньої основи циліндра.

3. Визначте об’єм циліндра.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру.

1. Осьовий переріз циліндра (прямокутник $ABCD$) зображено на рисунку:

2. Твірна $CD$ перпендикулярна основі, $CA$ – діагональ, $AD$ – проекція діагоналі на нижню основу циліндра. Отже, $\angle CAD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}$.

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де $R=OA=OD$ – радіус основи циліндра, $H=CD$ – висота.

\begin{gather*} \text{У}\ \triangle CDA\ (\angle D=90^\circ)\ AC=d,\ \angle A=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\\[6pt] AD=d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta} \rightarrow AO=\frac 12 AD=\frac{d\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\\[6pt] CD=d\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta} \end{gather*}

Отже,

$$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi} \cdot \left(\frac{d\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\right)^2\cdot d\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d^3\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{4}. $$

Відповідь: $\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d^3\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{4}$

Тест 469. Запитання: 23690

Завдання 388 з 1671

Задано функцію $y=x^3-3x$.

1. Для наведених у таблиці значень аргумента $x$ визначте відповідні їм значення $y$.

2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції $y=x^3-3x$ із віссю $x$.

3. Знайдіть похідну $f'$ функції $f(x)=x^3-3x$.

4. Визначте нулі функції $f'$.

5. Визначте проміжки зростання i спадання, точки екстремуму й екстремуми функції $f$.

6. Побудуйте ескіз графіка функції $f$.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.

Задано функцію $y=x^3-3x$

\begin{gather*} x=0,\ \ y=0^3-3\cdot 0=0\\[7pt] x=-1,\ \ y=(-1)^3-3\cdot (-1)=-1+3=2\\[7pt] x=2,\ \ y=2^3-3\cdot 2=8-6=2 \end{gather*}

x	y
0	0
–1	2
2	2

2. Точки перетину графіка $y=x^3-3x$ із віссю $x$ знаходимо за умови $y=0$: \begin{gather*} x^3-3x=0,\ \ x(x^2-3)=0,\\[7pt] x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x=0 & \\ x=\sqrt{3}& \\ x=-\sqrt{3}& \end{array}\right. \end{gather*} $(0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)$ – точки перетину з віссю $x$.

\begin{gather*} f'(x)=(x^3-3x)'=3x^2-3 \end{gather*}

4. \begin{gather*} f'(x)=0,\ \ 3x^2-3=0,\\[7pt] 3(x^2-1)=0,\ \ 3(x-1)(x+1)=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x-1=0 & \\ x+1=0& \end{array}\right. \ \ \left [ \begin{array}{l l} x=1 & \\ x=-1& \end{array}\right. \end{gather*}

5. Визначимо проміжки зростання і спадання функції

При $f'(x)\gt 0$ функція зростає, при $f'(x)\lt 0$ – спадає. Отже,
$f(x)$ зростає при $x \in (-\infty;\ -1]$ i $[1;\ +\infty)$;
$f(x)$ спадає при $x\in [-1;\ 1]$.

Точки екстремуму: $x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1$,
екстремуми функції: $f_{max}=f(-1)=2;\ \ f_{min}=f(1)=-2$.

Відповідь:

1. $x=0,\ \ y=0,$
$x=-1,\ \ y=2,$
$x=2,\ \ y=2$.
2. $(0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)$.
3. $f'(x)=3x^2-3$.
4. $x=1;\ \ x=-1$.
5. Проміжки зростання: $(-\infty;\ -1],\ [1;\ +\infty)$
проміжок спадання: $[-1;\ -1]$
$x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1$.
$f_{max}=2;\ \ f_{min}=-2$.

Тест 469. Запитання: 23689

Завдання 389 з 1671

Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити 6 різних новин: 2 політичні, 3 суспільні й 1 спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих 6 новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина – бути останньою? Уважайте, що кожну із цих 6 новин у стрічці не повторюють.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановок, комбінаторних правил суми та добутку.

Послідовність розміщення 6 новин у стрічці:

Кількість розміщень політичних новин в стрічці $2!$, а суспільних новин – $3!$. Спортивна новина 1 та йде останньою.

За правилом добутку кількість розміщення цих 6 новин: $$ 2!\cdot 3!=1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12 $$

Відповідь: 12.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23688

Завдання 390 з 1671

Розв'яжіть рівняння $x^4-x^2-20=0$. У відповіді запишіть добуток усіх його дійсних коренів.

Впишіть відповідь:

-5

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних.

Рівняння $x^4-x^2-20=0$ – біквадратне. Розв'яжемо заміною:

\begin{gather*} x^2=t\geq 0\\[7pt] t^2-t-20=0\\[7pt] D=1-4\cdot (-20)=81\\[7pt] t_1=\frac{1+9}{2}=5\\[7pt] t_2=\frac{1-9}{2}=-4\ \text{не задовольняє умові}\ t\geq 0. \end{gather*}

Повернемось до заміни:

\begin{gather*} x^2=5\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x_1=\sqrt{5} & \\ x_2=-\sqrt{5}& \end{array}\right. \end{gather*}

Добуток його дійсних коренів: $$ x_1\cdot x_2=\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})=-5. $$

Відповідь: –5.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23687

Facebook

Twitter