Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 400

Математика. Всі запитання починаючи з 400

401402403404405406407408409410411412413414415 ▶

Завдання 401 з 2199

Функцію \(y=x^4+2x-3\), визначену на множині всіх дійсних чисел, подайте у вигляді \(y=f(x)+g(x)\), де \(f(x)\) – парна функція, \(g(x)\) – непарна функція. У відповідь запишіть значення виразу \(f(-1)-4\cdot g(3)\).

Впишіть відповідь:

-26

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

\(y = x^{4} + 2x - 3\), \(D(y) = R.\)

Подамо функцію у вигляді

\begin{gather*} y = f(x) + g(x), \end{gather*}

де \(f(x)\) – парна функція, \(g(x)\) – непарна функція.

\begin{gather*} f(x) = x^4 - 3\left(f(-x) = (-x)^4 - 3 = x^4 - 3 = f(x)\right).\\[7pt] g(x) = 2x\left(g(-x) = -2x = -g(x)\right);\\[7pt] f(-1) = (-1)^4 - 3 = 1 - 3 = -2;\\[7pt] g(3) = 2 \cdot 3 = 6. \end{gather*}

Значення виразу

\begin{gather*} f(-1) - 4g(3) = -2 - 4 \cdot 6 = -2 - 24 = -26. \end{gather*}

Відповідь: \(-26.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6413

Завдання 402 з 2199

Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{2\cos x+1}{\sqrt{27+6x-x^2}}=0\).

У відповідь запишіть кількість усіх його коренів. Якщо рівняння має безліч коренів, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні та квадратні рівняння, нерівності та їхні системи.

Знайдемо область допустимих значень \(x{:}\)

\begin{gather*} 27 + 6x - x^2\gt 0;\\[7pt] x^2 - 6x - 27\lt 0;\\[7pt] x^2 - 6x - 27 = 0;\\[7pt] D = 36 + 4 \cdot 27 = 144;\\[6pt] x_1=\frac{6 + 12}{2} = 9;\\[6pt] x_2 = \frac{6 - 12}{2} = -3. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (-3; 9). \end{gather*}

\begin{gather*} 2\cos x + 1 = 0;\\[6pt] \cos x = -\frac 12;\\[6pt] x = \pm \arccos\left(-\frac 12\right) + 2\pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \pm \left(\pi - \arccos \frac 12\right) + 2\pi n,\ n \in Z;\\[6pt] x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in Z. \end{gather*}

Знайдемо корені, які належать ОДЗ.

\begin{gather*} n = 0\ x = \frac{2\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] n = 1\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \in \text{ОДЗ};\\[6pt] n = 2\ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] n = -1\ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \notin \text{ОДЗ};\\[6pt] x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \notin \text{ОДЗ}. \end{gather*}

Отже, кількість коренів – \(4.\)

Відповідь: \(4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6414

Завдання 403 з 2199

Точки \(K\) і \(L\) – середини сторін \(AB\) і \(AD\) паралелограма \(ABCD\) (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника \(KBCDL\) (у см\(^2\)), якщо площа паралелограма \(ABCD\) дорівнює \(24\) см\(^2\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, властивостей та ознак подібних трикутників.

Площа паралелограма \(S_{ABCD} = 24\ \text{см}^2.\)

У \(\Delta ABD\) \(KL\) середня лінія, \(KL = \dfrac 12BD.\)

\(\Delta AKL\) подібний \(\Delta ABD.\)

\begin{gather*} \frac{KL}{BD} = \frac 12 = k;\\[6pt] \frac{S_{AKL}}{S_{ABD}} = \frac 14 = k^{2};\\[6pt] S_{AKL} = \frac 14S_{ABD} = \frac 14 \cdot 12 = 3\ \text{см}^2;\\[6pt] S_{KBCDL} = S_{ABCD} - S_{AKL} = 24 - 3 = 21\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(21.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6415

Завдання 404 з 2199

Знайдіть найбільше значення параметра \(a\), при якому рівняння \(\left|x^2-3|x|-4\right|=a\) має тільки чотири корені. Якщо такого значення \(a\) не існує, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

6.25

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння розв'язувати рівняння графічним методом, рівнянь з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно.

Побудуємо графік \(y=\left|x^2-3|x|-4\right|.\)

Використаємо елементарні перетворення графіка \(y=x^2-3x-4\Rightarrow y=x^2-3|x|-4\) симетрія відносно осі \(Oy\Rightarrow y=\left|x^2-3|x|-4\right|\) симетрія відносно осі \(Ox.\)

\begin{gather*} x_0=\frac 32=1{,}5;\\[6pt] y_0=1{,}5^2-3\cdot 1{,}5-4=-6{,}25. \end{gather*}

\((1{,}5; -6{,}25)\) – вершина параболи.

Точки перетину з осями:

– з \(Ox{:}\)

\begin{gather*} y=0;\\[7pt] x^2-3x-4=0;\\[7pt] D=9+16=25;\\[6pt] x_1=\frac{3+5}{2}=4;\\[6pt] x_2=\frac{3-5}{2}=-1. \end{gather*}

– з \(Oy{:}\)

\begin{gather*} x=0;\\[7pt] y=-4. \end{gather*}

\(a=1\) гілки напрямлені вгору.

\(y=a\) – пряма, паралельна осі \(Ox.\) Кількість розв'язків рівняння \(\left|x^2-3|x|-4\right|=a\) – кількість точок перетину графіків.

Найбільше значення \(a\), при якому рівняння має чотири корені: \(a=6{,}25.\)

Відповідь: \(6{,}25.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6416

Завдання 405 з 2199

У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює \(36\pi\) см\(^2\). Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом \(60^\circ\). Знайдіть об’єм піраміди (у см\(^3\)).

Впишіть відповідь:

324

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для об’єму піраміди, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(EO\) – висота піраміди, центр квадрата.

Побудуємо апофеми \(EK\!\perp\!DC\), \(EL\!\perp\!AD\), \(EM\!\perp\!AB\), \(EN\!\perp\!BC.\) \(DK = KC = AL = LD = AM = MB = BN = NC.\)

За теоремою про три перпендикуляри \(OK\!\perp\!DC\), \(OL\!\perp\!AD\), \(OM\!\perp\!AB\), \(ON\!\perp\!BC.\)

\((EOK)\!\perp\!DC\), \(\angle EKO\) – лінійний кут відповідного двогранного, \(\angle EKO = 60^\circ.\) Аналогічно \(\angle ELO = \angle EMO = \angle ENO = 60^\circ.\)

Центр сфери, вписаної у піраміду, належить висоті \(EO\) (точка \(O_1\)). У \(\Delta EOK\) на катеті \(EO\) виберемо точку \(O_1\) так, щоб \(OO_1=O_1H\), \(O_1H\!\perp\! EK.\) \((EOK)\!\perp\!(EDC)\) за ознакою перпендикулярності площин. Отже, відстань від точки \(O_1\) до \((EDC)\) – відрізок \(O_1H.\)

Аналогічно доводиться, що \((EON)\!\perp\!(BEC)\), \((EOM)\!\perp\!(AEB)\), \((EOL)\!\perp\!(AED).\) \(\Delta EOK = \Delta EON = \Delta EOM = \Delta EOL\), відстані від точки \(O_1\) до апофем \(EL\), \(EM\), \(EN\), \(EK\) – рівні. Отже, точка \(O_1\) – рівновіддалена від бічних граней та основи. Точка \(O_1\) – центр вписаної сфери. \(O_1H=O_1O\) – радіус сфери.

\begin{gather*} S_\text{сфери}=4\pi R^2 = 36\pi;\\[7pt] R^2 = 9;\\[7pt] R = 3\ \text{см радіус сфери.} \end{gather*}

Точка \(O_1\) – рівновіддалена від сторін кута \(HKO\), \(KO_1\) – бісектриса кута. \(\angle O_1KO = 30^\circ.\)

\(\Delta OO_1K\ (\angle O = 90^\circ)\), \(OK = OO_1\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 3\sqrt{3}\) см.

\(AD = 2OK = 6\sqrt{3}\ \text{см}.\)

\(\Delta EOK\ (\angle O = 90^\circ)\), \(EO = OK\mathrm{tg}\ 60^\circ = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\) см.

\begin{gather*} V_\text{піраміди} = \frac 13S_\text{осн} \cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн} = S_{ABCD} = AD^{2} = (6\sqrt{3})^2 = 108\ \text{см}^2.\\[6pt] H = EO = 9\ \text{см}.\\[6pt] V_\text{піраміди} = \frac 13 \cdot 108 \cdot 9 = 324\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(324.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6418

Завдання 406 з 2199

Молоко містить \(3\, \%\) білків. Скільки всього білків (у г) міститься в \(600\) г молока?

А\(1{,}8\) г

Б\(18\) г

В\(20\) г

Г\(180\) г

Д\(200\) г

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знаходити відсоток від числа.

Знайдемо \(3\ \%\) від \(600\) г.

\begin{gather*} 600 : 100 \cdot 3 = 18\ \text{г білка в молоці.} \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6424

Завдання 407 з 2199

Знайдіть координати вектора \(\overrightarrow{AB}\), якщо \(A(-2;3)\), \(B(-8;-5)\).

А\(\overrightarrow{AB}(6;8)\)

Б\(\overrightarrow{AB}(-10;-8)\)

В\(\overrightarrow{AB}(-10;-2)\)

Г\(\overrightarrow{AB}(-6;-2)\)

Д\(\overrightarrow{AB}(-6;-8)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора на площині.

Якщо \(A(x_1; y_1)\), \(B(x_2; y_2)\), то координати вектора \(\overrightarrow{AB}(x_2 - x_1; y_2 - y_1).\)

\begin{gather*} A(-2; 3);\\[7pt] B(-8; -5);\\[7pt] \overrightarrow{AB}(-8 - (-2); -5 - 3);\\[7pt] \overrightarrow{AB}(-6; -8). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6429

Завдання 408 з 2199

Задано геометричну прогресію (\(b_n\)), для якої другий член \(b_2=12\) і знаменник \(q=-2\). Знайдіть \(b_1\).

А\(24\)

Б\(14\)

В\(10\)

Г\(-6\)

Д\(-24\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

\((b_n)\) – геометрична прогресія, \(b_2 = 12\), \(q = -2.\)

За означенням геометричної прогресії:

\begin{gather*} b_2 = b_1 \cdot q;\\[6pt] b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{12}{-2} = -6. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6430

Завдання 409 з 2199

Довжина кола дорівнює \(16\pi\) см. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом.

А\(128\pi\) см\(^2\)

Б\(64\pi\) см\(^2\)

В\(32\pi\) см\(^2\)

Г\(16\pi\) см\(^2\)

Д\(8\pi\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та його частин.

Довжина кола \(C = 16\pi\) см,

\begin{gather*} C = 2\pi R = 16\pi;\\[7pt] R = 8\ \text{см – радіус};\\[7pt] S = \pi R^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6431

Завдання 410 з 2199

Відомо, що \(a\lt b\). Серед наведених нерівностей укажіть правильну нерівність.

А\(-2a\lt-2b\)

Б\(\sqrt2a\gt\sqrt2b\)

В\(\dfrac a3\gt\dfrac b3\)

Г\(a-4\gt b-4\)

Д\(0{,}5-a\gt0{,}5-b\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Числові нерівності.

Це завдання перевіряє знання властивостей числових нерівностей.

Відомо, що \(a \lt b.\)

Використаємо властивість числових нерівностей:
якщо до обох частин нерівності додати те саме число або помножити їх на те саме додатне число, отримаємо правильну нерівність;
якщо обидві частини нерівності помножити на те саме від’ємне число, то знак нерівності треба поміняти на протилежний.

\begin{gather*} a\lt b;\\[7pt] -a\gt -b;\\[7pt] -a + 0{,}5\gt -b + 0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6432

Завдання 411 з 2199

Обчисліть \(\dfrac13\cdot5{,}8+\dfrac13\cdot8{,}3\).

А\(3{,}7\)

Б\(4{,}07\)

В\(4{,}7\)

Г\(4{,}9\)

Д\(47\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з раціональними числами.

\begin{gather*} \frac 13\cdot 5{,}8 + \frac 13\cdot 8{,}3 = \frac 13(5{,}8 + 8{,}3) = \frac 13\cdot 14{,}1 = 4{,}7. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6435

Завдання 412 з 2199

Спростіть вираз \(\sqrt[\scriptstyle3]{\sqrt[\scriptstyle4]{a^6}}\), якщо \(a\ge0\).

А\(\sqrt[\scriptstyle 3]{a^2}\)

Б\(\sqrt a\)

В\(a^2\)

Г\(\sqrt[\scriptstyle 6]a\)

Д\(\sqrt[\scriptstyle 7]{a^6}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей коренів, вміння виконувати тотожні перетворення з ними.

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 3]{\sqrt[\scriptstyle 4]{a^6}} = \sqrt[\scriptstyle 3\cdot 4]{a^6} = \sqrt[\scriptstyle 12]{a^6} = \sqrt{a}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6438

Завдання 413 з 2199

Скільки всього граней у піраміди, яка має \(12\) ребер?

А\(4\)

Б\(6\)

В\(7\)

Г\(12\)

Д\(13\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників для знаходження невідомих елементів.

У піраміді \(2n\) ребер (де \(n\) – кількість вершин основи).

Отже, \(2n = 12\), \(n = 6\) – кількість вершин основи.

\(n + 1 = 6 + 1 = 7\) – кількість граней (\(6\) – бічних, \(1\) – основа).

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6442

Завдання 414 з 2199

Лучник здійснив \(11\) пострілів по мішені і набрав відповідно \(6\), \(5\), \(7\), \(9\), \(6\), \(9\), \(10\), \(8\), \(7\), \(9\), \(10\) очок. Знайдіть моду цього ряду даних.

А\(5\)

Б\(7\)

В\(8\)

Г\(9\)

Д\(10\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння знаходити моду випадкової величини.

Мода вибірки – значення випадкової величини, що трапляється найчастіше в сукупності значень.

Отже, мода даної вибірки – \(9.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6443

Завдання 415 з 2199

Обчисліть \(27^{\textstyle\frac23}-16^{\textstyle\frac14}\).

А\(1\)

Б\(2\)

В\(4\)

Г\(5\)

Д\(7\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей степенів, уміння виконувати тотожні перетворення з ними.

\begin{gather*} 27^{\textstyle \frac 23} - 16^{\textstyle \frac 14} = (3^3)^{\textstyle \frac 23} - (2^4)^{\textstyle \frac 14} = 3^{\textstyle 3\cdot\frac 23} - 2^{\textstyle 4 \cdot \frac 14} = 3^2 - 2^1 = 9 - 2 = 7. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 131. Запитання: 6445