ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Арифметичні дії.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з буквениими виразами.

Під час виконання завдання важливо правильно розкрити дужки, перед якими стоїть знак «–». Якщо перед дужками стоїть знак «–», то дужки можна прибрати, змінивши знак всіх доданків, що стоять у дужках, на протилежні. Підставимо у вираз \(7-m\) замість \(m\) вираз \(n-1{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати графік функції, заданої формулою.

Функція \(y=\frac{5}{x}\) визначена для всіх дійсних значень аргументу, крім значення \(x=0\) (на \(0\) ділити не можна), на проміжку \((0; +\infty)\) набуває лише додатних значень, а на проміжку \((-\infty; 0)\) – лише від'ємних. Отже, графік шуканої функції розміщений у першій та третій координатних чвертях і не перетинає вісь ординат. Серед наведених на рисунках графіків ці умови виконуються лише для графіка на рисунку Г. Отже, відповідь – Г.

Охарактеризуємо детальніше функцію \(y=\frac{5}{x}\). Ця функція є окремим випадком оберненої пропорційності \(y=\frac{k}{x}\), де \(k\ne 0\), число \(k=5\) – коефіцієнт оберненої пропорційності. Графік оберненої пропорційності називають гіперболою.

Зазначимо, що графік функції \(y=\frac{5}{x}\) можна отримати з графіка функції \(y=\frac{1}{x}\) (див. рисунок) за допомогою його розтягнення в \(5\) разів уздовж осі \(y.\)

Проаналізуємо решту наведених на рисунках ескізів графіків.

А. Зображена на рисунку лінія може бути ескізом графіка показникової функції \(y=5^x\), адже цій функції притаманні такі властивості: вона є зростаючою та \(R\), набуває лише додатних значень, графік проходить через точки \((0; 1)\) та \((1; 5)\) (\(5^0=1\) та \(5^1=5\)).

Б. Є всі підстави вважати, що на рисунку зображено ескіз графіка логарифмічної функції \(y=\log_5 x\), яка визначена лише для додатних значень аргументу, є зростаючою, графік проходить через точки \((1; 0)\) та \((5; 1)\), оскільки \(\log_5 1=0\) та \(\log_5 5=1.\)

В. На рисунку зображено пряму, яка проходить через точки \((0; 0)\) та \((1; 5)\), її рівняння \(y=5x.\)

Д. На рисунку зображено ескіз графіка функції \(y=\frac{5}{|x|}\). Графік цієї функції симетричний відносно осі ординат і збігається з графіком функції \(y=\frac{5}{x}\) на проміжку \((0; +\infty).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Система координат у просторі. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати вектора, зображеного на рисунку.

Нехай точки \(A(x_1; y_1; z_1)\) та \(B(x_2; y_2; z_2)\) є відповідно початком та кінцем вектора \(\overrightarrow{AB}.\) Тоді вектор \(\overrightarrow{AB}\) має координати \((x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\) З рисунка видно, що вектор \(\overrightarrow{OA}\) лежить на осі аплікат, його початком є точка \(O(0; 0; 0)\), а кінцем – точка \(A(0; 0; 3).\) Отже, вектор \(\overrightarrow{OA}\) має координати \((0-0; 0-0; 3-0)=(0; 0; 3).\)

Зауважимо, що коли точка \(O\) є початком координат, то координати вектора \(\overrightarrow{OA}\) збігаються з координатами точки \(A.\) Отже, правильна відповідь В.

Також важливо пам’ятати, що якщо вектор паралельний одній з осей координат, то у нього відмінна від нуля лише одна координата, наприклад, якщо у просторі вектор \(\overrightarrow{a}\) паралельний осі ординат, то він має координати \((0; y; 0)\), де \(y\ne 0.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Корінь рівняння.

Це завдання перевіряє знання та розуміння означення кореня рівняння.

Число \(a\) є коренем рівняння \(f(x)=g(x)\), якщо при його підстановці у рівняння замість змінної \(x\) отримаємо числову тотожність: \(f(a)=g(a)\), тобто ліва і права частини рівняння набувають однакових значень. Щоб отримати відповідь на запитання завдання, можна розв’язувати окремо кожне з наведених рівнянь, або ж скористатися означенням кореня рівняння. Підставимо число \(2\) у кожне з наведених рівнянь.

А. Дріб \(\frac{a}{b}\) дорівнює нулю лише тоді, коли чисельник \(a=0\) і знаменник \(b\ne 0.\) Чисельник рівняння \(\frac{1}{x-2}=0\) дорівнює \(1\) незалежно від значення \(x.\) Отже, це рівняння коренів не має.

Б. \(2^2+4=4+4=8\ne 0.\) Це означає, що число \(2\) не є коренем рівняння \(x^2+4=0.\) Окрім цього зазначимо, що вираз \(x^2+4\) за будь-яких \(x\) набуває лише додатних значень, точніше, дорівнює \(4\), якщо \(x=0\), та більше \(4\), якщо \(x\ne 0.\)

В. \(5\cdot 2+12=10+12=22\ne 2\) – число \(2\) не є коренем рівняння.

Г. \(\frac{3\cdot 2-6}{2}=\frac{6-6}{2}=0=0\) – число \(2\) є коренем рівняння.

Д. \(2+2=4\ne 2\) – число \(2\) не є коренем рівняння.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей вертикальних та суміжних кутів, які відносяться до найпростіших геометричних фігур на площині.

Нагадаємо, що суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути \(AOC\) та \(COB\) є суміжними.

Вертикальними називаються два кути, в яких сторони одного кута є доповнювальними променями сторін другого. На рис. 2 кути \(AOB\) та \(COD\) є вертикальними. Вертикальними також є кути \(AOD\) та \(BOC.\)

Проаналізуємо наведені твердження.

I. Вертикальні кути є рівними, але їх сума дорівнює \(180^\circ\) лише тоді, коли ці кути прямі. Тому твердження I не є правильним.

II. Суміжні кути в сумі утворюють розгорнутий кут, градусна міра якого дорівнює \(180^\circ.\) Отже, твердження II є правильним.

III. Кут називається гострим, якщо його градусна міра менше \(90^\circ\), і тупим, якщо його градусна міра більше \(90^\circ\) і менше \(180^\circ.\) Їх сума не обов’язково дорівнює \(180^\circ\), а дорівнює \(180^\circ\) лише тоді, коли вони суміжні. Отже, твердження III не є правильним.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовуючи правило добутку.

Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то вибір пари \(A\) і \(B\) можна здійснити \(nm\) способами. Оскільки студенту необхідно вибрати одну з трьох іноземних мов (\(3\) варіанти) і одну з п’яти спортивних секцій (\(5\) варіантів), то за правилом добутку загальна кількість варіантів вибору дорівнює $$ 3\cdot 5=15. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази.

Це завдання перевіряє розуміння означення арифметичного кореня \(n\text{-го}\) степеня (зокрема, кубічного кореня) та вміння його добувати.

Оскільки \(64=4^3\), то $$ \frac{\sqrt[3]{64}}{64}=\frac{\sqrt[3]{4^3}}{64}=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формула загального члена арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії та вміння за формулою загального \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії визначати її різницю.

Послідовність \((a_n)\) називається арифметичною прогресією, якщо кожен її член, починаючи з другого, відрізняється від попереднього на одне й те саме число \(d\). Число \(d\) – різниця прогресії. Загальний член арифметичної прогресії визначається за формулою: $$ a_n=a_1+d(n-1)=a_1-d+dn. $$

Оскільки за умовою \(n\text{-й}\) член задано формулою \(a_n=4-8n\), то коефіцієнт біля \(n\) є різницею прогресії: \(d=-8.\)

Різницю прогресії можна визначити ще таким способом. Підставимо у формулу $$ a_n=4-8n $$ значення \(n=1\) і \(n=2\). Отримаємо: \begin{gather*} a_1=4-8\cdot 1=-4,\\[7pt] a_2=4-8\cdot 2=-12. \end{gather*}

Тоді $$ d=a_2-a_1=-12+4=-8 $$ шукана різниця прогресії.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Декартова система координат на площині. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координат точок та вміння визначати координати точки, розташованої на координатній осі.

Згідно з умовою точка \(C\) лежить на осі \(x\), тому її координати \((x_0; 0)\). Оскільки відрізок \(AC\) перетинає вісь \(y\), то \(x_0\gt 0\) і відрізок розташований так, як показано на рисунку. Трикутник \(AKC\) є прямокутним із катетом \(AK=4\) (довжина \(AK\) дорівнює модулю ординати точки \(A\)) і гіпотенузою \(AC=5\), тобто його другий катет \(KC\) можна визначити за теоремою Піфагора:

Додавши до \(-2\) число \(3\), дістанемо абсцису \(x_0=1\) точки \(C.\) Тоді \(C(1; 0)\) – шукана точка.

Це завдання можна розв’язати, використовуючи лише формулу довжини відрізка за заданими координатами його кінцевих точок.

Оскільки точка \(C\) лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює нулю, тобто \(C(x; 0)\). Тоді, довжина відрізка \(AC{:}\)

Розв’язавши це рівняння, одержимо два корені: \(x=-5\) та \(x=1.\) Значення \(x=-5\) не може бути абсцисою точки \(C\), оскільки в цьому випадку відрізок \(AC\) не перетинатиме вісь ординат. Отже, \(C(1; 0).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Монотонність функцій. Періодичність функцій. Парність і непарність функцій.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функції: парності, періодичності, монотонності.

Функція \(y=f(x)\) називається періодичною, якщо існує таке число \(T\ne 0\) (\(T\) – період функції), що для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується умова \(f(x)=f(x+T).\)

Функція \(y=f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується умова \(y(-x)=y(x).\) Графік парної функції симетричний відносно осі \(y.\)

Функція \(y=f(x)\) називається непарною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується умова \(y(-x)=-y(x).\) Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Функція \(y=f(x)\) зростає (спадає) на проміжку \([a; b]\), якщо для будь-яких \(x_1\) та \(x_2\) з цього проміжку і таких, що \(x_1\lt x_2\), виконується умова \(f(x_1)\lt f(x_2)\) (\(f(x_1)\gt f(x_2)\)).

Зображена на рисунку функція не є періодичною і парною. Вона зростає на проміжках \([-6; 3]\), \([-1; 1]\) і \([3; 6]\), спадає на проміжках \([3; -1]\), \([1; 3]\). Функція є непарною, оскільки її графік симетричний відносно початку координат.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Піднесемо обидві частини рівняння до кубу, отримаємо рівносильне рівняння: \begin{gather*} 2x=(-3)^3,\ \text{або}\\[7pt] 2x=-27,\\[6pt] x=-\frac{27}{2}=-13{,}5. \end{gather*} Отже, корінь рівняння належить проміжку \((-20; -10)\).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Висота трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє знання означення висоти трикутника і вміння використовувати тригонометричні функції для знаходження елементів прямокутного трикутника.

Висота трикутника – це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону. Оскільки \(BM\) – висота, то трикутник \(AMB\) є прямокутним (див. рисунок). У цьому трикутнику сторона \(AB\) є гіпотенузою.

Синусом гострого кута \(\alpha\) називається відношення протилежного до нього катета \(BM\) до гіпотенузи \(AB.\)

Отже, $$ \sin\alpha=\frac{BM}{AB}=\frac{12}{AB}, $$ звідки $$ AB=\frac{12}{\sin\alpha}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння визначати координатну чверть, в якій тригонометричні функції набувають певних знаків, та можливе значення іншої тригонометричної функції для кута, що належить цій чверті.

Якщо \(\mathrm{ctg}\alpha\lt 0\), то кут \(\alpha\) належить першій або третій координатній чверті (див. рисунок); \(\cos\alpha\gt 0\) для кутів першої та четвертої чверті (див. рисунок). Отже, якщо одночасно \(\mathrm{ctg}\alpha\lt 0\) і \(\cos\alpha\gt 0\), то кут \(\alpha\) знаходиться у IV координатній чверті. Для кутів \(\alpha\) цієї чверті виконується нерівність \(\sin\alpha\lt 0\) (див. рисунок), причому \(\sin\alpha \ne -1.\) Якщо припустити, що \(\sin\alpha=-1\), то \(\mathrm{ctg}\alpha=\cos\alpha=0\), що суперечить умові завдання. Тому

\(\sin\alpha\) серед наведених значень може приймати лише значення \(-\frac{1}{2}.\)

Або можна міркувати наступним чином: оскільки $$ \mathrm{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\lt 0 $$ і \(\cos\alpha\gt 0\), то \(\sin\alpha\lt 0\), причому \(\sin\alpha\ne -1\), тому що тоді \(\mathrm{ctg}\alpha=\cos\alpha=0\), що суперечить умові завдання.

Відповідь: Б.