ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

\(40\) учасників семінару мають бути забезпечені двома пляшками води. Отже, потрібно \(80\) пляшок.

Упаковка містить \(12\) пляшок води. \(80:12=6\) (остача \(8\)). Тобто, потрібно \(6\) упаковок та \(8\) пляшок води.

Отже, найменша кількість упаковок, яких вистачить для всіх учасників семінару - \(7\) шт.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих телевізорів.

У січні – \(270\),
лютому – \(160\),
березні – \(260\),
квітні – \(230\),
травні – \(280\),
червні – \(320.\)

Правильна відповідь – B (у березні продано телевізорів більше, ніж у лютому).

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності, логарифмічні нерівності з параметрами та їхні системи.

1. Розв'яжемо методом інтервалів першу нерівність: $$ \frac{3(x+2)}{x}\le 0,\ \ x=-2,\ \ x\ne 0. $$

Отже, \(x\in [-2; 0).\)

2. Розв'яжемо другу нерівність:

1) При \(a\in (1; 2)\) функція \(y=\log_{(a/2)}x\) спадна, отже,

$$ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3]. $$

2) При \(a\in (2; +\infty)\) логарифмічна функція зростаюча

\begin{gather*} |x-a+2|\ge a-1,\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x-a+2\ge a-1,\\ x-a+2\le 1-a, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ge 2a-3,\\ x\le -1. \end{array}\right. \end{gather*}

$$ x\in (-\infty; -1]\cup [2a-3; +\infty). $$

Відповідь: при \(a\in (0; 1]\cup {2}\) немає розв'язків;

3. Розв'яжемо систему нерівностей:

при \(a\in (1; 1\mathord{,}5)\)

$$ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-3] $$

при \(a\in (1\mathord{,}5; 2)\)

$$ x\in [-1; a-2)\cup (a-2; 2a-0] $$

при \(a\in (2; +\infty)\)

$$ x\in [-2; -1] $$

при \(a= 1\mathord{,}5\)

$$ x\in [-1; -0\mathord{,}5)\cup (-0\mathord{,}5; 0). $$

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

\(OA=R\), \(SA=l\), \(AB\) – хорда.

1. \(\Delta SAB\) – переріз площиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\), яка проведена через вершину \(S\) та хорду \(AB.\) \(SA=SB=l\) – твірна конуса, отже, \(\Delta SAB\) – рівнобедрений.

2. Проведемо \(OK\ \perp\ AB.\) \(SO\ \perp\ (OAB)\), \(SK\) – похила, \(OK\) – проекція похилої \(SK\) на \((OAB).\) За теоремою про три перепендикуляри: якщо \(OK\ \perp\ AB\), то \(SK\ \perp AB.\) \(SK\cap OK.\)

За ознакою перпендикулрності прямої та площини \(AB\ \perp\ (SOK)\), тому \(\angle SKO=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – лінійний кут відповідного двограного між площинами \((SAB)\) i \((OAB).\)

3. У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] SO^2=SA^2-OA^2=l^2-R^2,\\[7pt] SO=\sqrt{l^2-R^2}. \end{gather*}

У \(\Delta SAB\ SA=SB=l\), \(SK\) – висота, медіана. \(AK=KB.\)

У \(\Delta SKA\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(2l+\frac{2}{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\sqrt{R^2-l^2\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, розв'язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної.

Задано функції \(f(x)=\frac 3x\) i \(g(x)=5-3x.\)

1. \(f(x)=\frac 3x\) обернена пропорційність, графік – гіпербола.

2. \(g(x)=5-3x\) – лінійна функція, графік – пряма.

4. Дотичні до графіка функції \(f(x)=\frac 3x\) паралельні прямій \(g(x)=5-3x.\)

Отже, \(f'(x_0)=k=-3.\)

Підставимо значення похідної в точці в похідну:

\(\frac{-3}{x_0^2}=-3\), \(x_0^2=1\), \(x_0=1\) або \(x_0=-1.\)

Відповідь: 3. \(f'(x)=-\frac{3}{x^2}.\)
                   4. \(x_0=1\) або \(x_0=-1.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

Запишемо рівняння кола у вигляді:

\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус.
\((x^2-8x+16)+y^2-16+7=0\),
\((x-4)^2+y^2=9\), \(O(4; 0)\) – центр кола.

За формулою знаходження координат середини відрізка знаходимо координати точки \(D:\)

Знайдемо координати векторів \(\overline{AB}\) та \(\overline{AD}:\)

\(\overline{AB}(0-(-4); 3-(-3))\), \(\overline{AB}(4; 6)\), \(\overline{AD}(12; 0).\)

Знайдемо довжини векторів:

Відповідь: \(72.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів вибрати тарілку – \(6\), чашку та блюдце \(8\cdot 12=96.\)

Якщо влаштовує варіант вибрати або тарілку, або чашку та блюдце, то, використовуючи комбінаторне правило додавання, отримаємо \(96+6=102\) способи купити подарунок.

Відповідь: \(102.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач.

\(2\) год \(15\) хв \(=2\frac 14\) год.

Нехай власна швидкість телохода \(x\) км/год, тоді швидкість за течією \((x+2)\) км/год, проти течії – \((x-2)\) км/год. Оскільки відстань, яку пройшов теплохід за течією та проти течії, однакова, то складемо рівняння

Отже, власна швидкість теплохода \(34\) км/год.

Відповідь: \(34.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання властивостей геометричної прогресії, уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Якщо \(x-8\), \(3x\) та \(6x\) є послідовними членами геометричної прогресії, то \begin{gather*} b_1=x-8\\[7pt] b_2=3x\\[7pt] b_3=6x. \end{gather*}

За властивістю геометричної прогресії:

Ненульове значення \(x=-16.\)

Відповідь: \(-16.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, формули площі прямокутного трикутника.

\(BK=8\) см, \(\Delta KCL=\Delta LDM\), \(KC=LD=15\) см.

1. \(ABCD\) квадрат.

У \(\Delta KCL\ (\angle C=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

2. Нехай \(\angle CKL=\angle MLD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), \(\angle CLK=\angle LMD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\) \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=90^\circ\) (сума гострих кутів прямокутного трикутника).

\(\angle CLK+\angle KLM+\angle DLM=180^\circ\), \(\angle KLM=180^\circ-(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta})=90^\circ.\)

Отже, \(\Delta KLM\) – прямокутний, тому

Відповідь: 1. \(17.\)
                   2. \(144\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відсотка.

1. \(100\text{%}-46\text{%}=54\text{%}\) – складає кількість дітей у страшій групі.

\(27:54\cdot 100=50\) дітей – всього у шаховому клубі.

\(50-27=23\) дітей – відвідує молодшу групу.

2. Для того, щоб при незмінності кількості дітей старшої групи (\(27\) дітей), відношення кількості відвідувачів молодшої групи до кількості дітей старшої було \(4 : 3\), необхідно:

\(27:3\cdot 4=36\) дітей молодшої групи. Отже, необхідно додатково набрати
\(36-23=13\) дітей.

Відповідь: 1. \(23.\)
                   2. \(13.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.

1. \(CB\ \perp\ BA\) та \(CB\ \perp\ BB_1\), звідси \(CB\ \perp\ (AA_1B_1).\) Отже, 1 – Б.

2. \(CD_1\in (CC_1D_1)\);

Отже, 2 – A.

3. \(AC\) – похила до площини \((ABA_1)\), \(BC\ \perp\ (ABA_1)\), \(BA\) – проекція \(AC\) на \((ABA_1).\) \(\angle (AC,\ (ABA_1))=\angle CAB=45^\circ.\) \(ABCD\) – квадрат, \(AC\) – бісектриса \(\angle A.\) Отже, 3 – Д.

4. \(A_1B\in (AA_1B_1B)\), тому що точки \(A_1\) i \(B\) належать \((AA_1B).\) Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Д, 4 – B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про середню лінію трапеції, вміння застосовувати властивості трапеції до розв'язування планіметричних задач.

\(BC=7\) см, \(AD=25\) см, \(BD\ \perp\ AB.\)

1. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює:

Отже, 1 – Г.

2. \(BK\ \perp\ AD\), \(AK\) – проекція \(AB\) на пряму \(AD.\) Проведемо перпендикуляр з вершини \(C\) на пряму \(AD.\) \(CP\ \perp\ AD\) \(BCPK\) – прямокутник, \(BC=KP=7\) см.

Отже, 2 – А.

3. \(KD=25-9=16\) см.

За властивістю висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи:

Отже, 3 – Б.

4. У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рацiональнi, iррацiональнi, степеневі, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів, знання властивостей кореня \(n\text{-го}\) степеня.

1. \(a^{-1}=\frac{1}{a^1}=\frac 1a.\) Отже, 1 – Б.

2. \(\sqrt{(-a)^2}=|-a|=a\ (a\gt 0).\) Отже, 2 – B.

3. \(5:\frac{1}{5a}=5\cdot \frac{5a}{1}=25a.\) Отже, 3 – Д.

4. \(25^{\log_5a}=5^{2\log_5a}=(5^{\log_5a})^2=a^2.\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Д, 4 – Г.