Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання основних співвідношень між тригонометричними функціями одного аргументу.

Спростимо вираз

$$ (1+\mathrm{tg}^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})\cdot \sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac{1}{\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\cdot \sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\frac{\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\mathrm{tg}2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Якщо графік функції \(y=f(x)\) паралельно перенесли вздовж осі \(y\) на \(3\) одиниці вниз, то отримаємо \(y=f(x)-3.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкладемо вираз \((x+y)^2-9x^2\) на множники за формулою "різниця квадратів":

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\), \(OB=r\), \(AB=l\), \(\angle A=60^\circ.\) $$ \sin 60^\circ=\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.

III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Піднятись на гору можна \(1\) з \(5\) варіантів, а спуститися – \(1\) з \(4\) (спускатися треба іншою).

Усього варіантів вибору маршруту \(5 \cdot 4 = 20\) (за правилом добутку).

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння:

\begin{gather*} x^2-4x+3=0,\\[7pt] D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\\[7pt] x_1=\frac{4+2}{2}=3;\ \ x_2=\frac{4-2}{2}=1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Нуль функції – значення \(x\), при якому \(y=0.\) На рисунку – це точка перетину графіка з віссю \(x.\) Отже, \(x=1.\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

Довжина всіх ребер куба \(72\) см.

Усього в куба \(12\) ребер, тому довжина ребра дорівнює
\(72 : 12 = 6\) см.

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на \(3.\)

\(5x+8=3\), \(5x=-5\), \(x=-1.\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

\(1\) хвилина = \(60\) секунд.

За \(4\) секунди машина робить \(3\) копії.

Отже, \(60 : 4 \cdot 3 = 45\) копій.

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.

\(\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\) – суміжний до кута \(120^\circ.\)

\(\angle ACB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – вертикальні кути.

Сума кутів \(\Delta ABC\) дорівнює \(180^\circ\), тому $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=180^\circ-(50^\circ+60^\circ)=70^\circ. $$

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання означення степеня з цілим показником та його властивості.

Використаємо властивість \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\) $$ \left(\frac 13\right)^{-2}=3^2=9. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, ірраціональні та показникові рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

1. Розв'яжемо заміною:
\(x-\sqrt{x}-2=0,\) нехай \(\sqrt{x}=t\ge 0\)
ОДЗ: \(x\ge 0.\)
\(t^2-t-2=0.\)

За теоремою, оберненою до теореми Вієта $$ \left[\begin{array}{l} t_1=2,\\ t_2=-1\ \notin t\ge 0. \end{array}\right. $$ Отже, \(\sqrt{x}=2\), \(x=4.\)

2. Розв'яжемо рівняння залежно від значень параметра: \begin{gather*} \frac{(x-\sqrt{x}-2)(a^2-16)}{2^x-a}=0. \end{gather*} ОДЗ:\( \left\{\begin{array}{l} x\ge 0,\\ 2^x\ne a. \end{array}\right.\)

Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю. \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x-\sqrt{x}-2=0,\ \ (1)\\ a^2-16=0,\ \ \ (2) \end{array}\right. \\ x\ge 0,\\ 2^x\ne a. \end{array}\right. \end{gather*}

(1) \(x-\sqrt{x}-2=0\), \(x=4.\)

Підставимо в ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} 4\ge 0,\\ 2^4\ne a\ \ a\ne 16. \end{array}\right. $$ якщо \(a\in (-\infty; 16)\cup (16; +\infty)\ x=4\)
якщо \(a=16\) немає коренів.

(2) \(a=4\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ge 0,\\ 2^x\ne 4. \end{array}\right. \\[7pt] x\in [0; 2)\cup (2; +\infty). \end{gather*}

\(a=-4\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ge 0,\\ 2^x\ne -4. \end{array}\right. \\[7pt] x\in [0; +\infty). \end{gather*}