ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Циліндр. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра, вміння будувати переріз циліндра та знаходити зазначені відстані.

На рисунку зображено циліндр, точки \(A\) і \(B\), що лежать відповідно на колах верхньої та нижньої його основи, вісь циліндра \(OO_1.\)

Перерізом циліндра площиною, паралельною осі циліндра \(OO_1\), є прямокутник \(ALBC.\)

Відстань від точки \(O\) – центра нижньої основи – до заданої площини дорівнює довжині відрізка \(OK\), \(OK\ \perp\ BL\), де точка \(K\) – середина відрізка \(BL\) (оскільки радіус, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл), за умовою \(OK=2\) см. Для зручності введемо позначення: \(R\) – радіус основи циліндра, \(H\) – висота циліндра, \(BK=\frac{1}{2}BL=a.\) Шуканий відрізок \(AB\) є гіпотенузою прямокутного трикутника \(BLA.\) За теоремою Піфагора: $$ AB^2=4a^2+H^2. $$

Отже, щоб знайти довжину відрізка \(AB\), потрібно визначити висоту \(H\) і довжину відрізка \(BK.\) За умовою, площа утвореного перерізу дорівнює \(60\sqrt{2}\). Врахувавши, що площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін, записуємо рівняння: $$ 2aH=60\sqrt{2}, $$ тобто $$ aH=30\sqrt{2}. $$ Площа бічної поверхні циліндра радіуса \(R\) і висоти \(H\) дорівнює $$ S=2\pi RH, $$ отже, записуємо рівняння: $$ 2\pi RH=20\sqrt{30}\pi, $$ звідки $$ RH=10\sqrt{30}. $$ Розглянемо прямокутний трикутник \(BKO\), в якому відрізок \(OK\) є катетом. За теоремою Піфагора запишемо співвідношення: $$ a^2+4=R^2. $$ Отже, маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими:

У формулі для знаходження довжини відрізка \(AB\) радіус \(R\) не фігурує. Тому спочатку виключимо із системи змінну \(R.\) Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо $$ \frac{R}{a}=\frac{1}{3}\sqrt{15}, $$ звідки $$ R=\frac{a}{3}\sqrt{15}. $$ Підставимо це значення в останнє рівняння системи: $$ a^2+4=\left(\frac{a}{3}\sqrt{15}\right)^2, $$ звідки \begin{gather*} a^2+4=\frac{5}{3}a^2,\\[6pt] a^2=6. \end{gather*} Ураховуючи друге рівняння, дістаємо \begin{gather*} H=\frac{30\sqrt{2}}{a},\\[6pt] H^2=\frac{1800}{a^2}=\frac{1800}{6}=300. \end{gather*} Таким чином,

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Система рівнянь з параметром.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь залежно від значень параметра \(a.\)

Перетворимо систему, виконавши рівносильні перетворення

Побудуємо геометричний образ кожного рівняння в прямокутній системі координат.

1. З рівняння \(2|y-2|+3|x|=11-y\) виразимо \(y\) через \(x\), розкривши модуль \(|y-2|.\)

Якщо \(y\in(-\infty; 2)\), то \(2(-y+2)+3|x|=11-y\), звідки \(y=3|x|-7.\)

Якщо \(y\in[2; +\infty)\), то \(2(y-2)+3|x|=11-y\), звідки \(y=-|x|+5.\)

Таким чином, графіком рівняння \(2|y-2|+3|x|=11-y\) є об’єднання частин графіків двох функцій: \(y=3|x|-7\), якщо \(y\in(-\infty; 2)\), і \(y=-|x|+5\), якщо \(y\in[2; +\infty)\) (див. рисунок).

2. Геометричним образом рівняння \(|5x-2a|=|y|\) є сукупність двох прямих: \(y=5x-2a\) і \(y=-5x+2a.\) На рисунку зображено геометричні образи цього рівняння для певних значень параметра \(a.\) Зазначимо, що графік цього рівняння при кожному фіксованому значенні параметра \(a\) симетричний відносно прямої \(x=\frac{2}{5}a.\)

Після геометричної інтерпретації рівнянь системи $$ \left\{\begin{array}{l} 2\sqrt{y^2-4y+4}+3|x|=11-y,\\ 25x^2-20ax=y^2-4a^2, \end{array}\right. $$ зрозуміло, що єдине від’ємне значення параметра \(a\), при якому ця система матиме єдиний розв’язок буде лише у випадку, зображеному на рисунку.

В цьому випадку пряма \(y=5x-2a\) має пройти через точку \((-3; 2).\) З цієї умови і знаходимо значення параметра \(a{:}\) \(2=5\cdot(-3)-2a\), звідки \(a=-8{,}5.\)

Відповідь: \(-8{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки.

Це завдання перевіряє вміння записувати число у вигляді відсотка.

Щоб виразити число у відсотках, треба помножити його на \(100\ \%.\) Тоді $$ \frac{1}{5} \cdot 100\ \% = 20\ \%. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Довжина відрізка.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, використовуючи основну властивість вимірювання відрізків.

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які відрізок ділиться будь-якою його точкою.

Розділимо відрізок \(AB\) точками \(K\), \(L\), \(M\) на рівні відрізки \(AK\), \(KL\), \(LM\) та \(MB\) (див. рисунок).

Тоді довжина кожного з цих відрізків дорівнює $$ \frac{1}{4} AB = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15\ \text{см}. $$ Нехай точки \(C\) і \(D\) – середини крайніх відрізків \(AK\) і \(MB\) відповідно. Тоді

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Квадратні рівняння. Теорема Вієта.

Це завдання перевіряє вміння знаходити добуток коренів квадратного рівняння.

Перший спосіб. За теоремою Вієта, якщо зведене квадратне рівняння $$ x^{2} + px + q = 0 $$ має корені \(x_{1}, x_{2}\), то \begin{gather*} x_{1} + x_{2} = -p,\\[7pt] x_{1} \cdot x_{2} = q. \end{gather*} Задане рівняння $$ x^{2} + 6x - 55 = 0 $$ має два корені, оскільки його дискримінант

Тоді за теоремою Вієта їх добуток дорівнює \(-55.\)

Другий спосіб. Можна розв’язувати це завдання, не використовуючи теорему Вієта. Знайдемо корені заданого квадратного рівняння:

Тоді \(x_{1}\cdot x_{2} = (-11)\cdot 5 = -55.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні дроби.

Це завдання перевіряє вміння спрощувати раціональні дроби, використовуючи основну властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу домножити або розділити на одне і те ж саме відмінне від нуля число, то значення дробу не зміниться.

Дріб можна скоротити, якщо його чисельник і знаменник мають спільні множники. Оскільки \begin{gather*} 3x^{2}y = 3xy \cdot x,\\[7pt] 9xy^{3} = 3\cdot 3xy \cdot y^{2}=3xy\cdot 3y^2, \end{gather*} то спільним множником чисельника і знаменника є вираз \(3xy.\) Тоді

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати належність точки графіку функції.

Точка \((x_{0}; y_{0})\) належить графіку функції \(y = f(x)\), якщо її координати задовольняють умову \(f(x_{0}) = y_{0}\).

Перевіримо кожну з наведених точок:

А. Точка \((2; 7)\) не може належати графіку функції \(y = \frac{5 + x}{x - 2}\), оскільки абсциса цієї точки \(x = 2\) не входить до області визначення функції. При \(x=2\) знаменник дробу перетворюється на нуль, тому вираз не має змісту.

Б. \(\frac{5 + 1}{1 - 2} = -6 \ne 6\), точка \((1; 6)\) не належить графіку функції.

В. \(\frac{5 + (-3)}{-3 - 2} = -0{,}4 \ne 0{,}4\), точка \((-3; 0{,}4)\) не належить графіку функції.

Г. \(\frac{5 + 0}{0 - 2} = -2{,}5 \ne 2{,}5\), точка \((0; 2{,}5)\) не належить графіку функції.

Д. \(\frac{5 + 4}{4 - 2} = 4{,}5\), точка \((4; 4{,}5)\) належить графіку функції.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма. Розглянемо окремо кожне твердження.

I. \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\) – твердження є правильним, оскільки сума внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює \(360^\circ.\)

II. \(\angle B + \angle D = 180^\circ\) – це твердження неправильне. Протилежні кути паралелограма рівні, їх сума може дорівнювати \(180^\circ\) лише тоді, коли ці кути прямі. Але з рисунка видно, що кути \(B\) і \(D\) – тупі (їх градусна міра перевищує \(90^\circ\), отже, їх сума більша за \(180^\circ\)).

III. \(\angle B - \angle A \gt 0^\circ\) – ця нерівність рівносильна нерівності \(\angle B \gt \angle A.\) З рисунка видно, що це твердження є правильним. Отже, правильні твердження I і III.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші логарифмічні рівняння.

За означенням логарифмом числа \(b\) за основою \(a\) (позначають \(\log_a b\)) називають показник степеня, до якого треба піднести основу \(a\), щоб одержати число \(b.\) Отже, якщо \(\log_a b = t\), то \(b = a^t.\) Зазначимо, що \(a \gt 0\), \(a \ne 1\), \(b \gt 0.\)

Звідси випливає, що коренем рівняння \(\log_3 x = -1\) є число \(x = 3^{-1} = \frac{1}{3}.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа сфери.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу сфери за заданим діаметром сфери.

Якщо діаметр \(d\) сфери дорівнює \(12\) см, то радіус сфери $$ R = \frac{1}{2} d, $$ тобто \(R = 6\) см.

Площа сфери радіуса \(R\) обчислюється за формулою $$ S = 4\pi R^2. $$ Підставивши у цю формулу замість \(R\) його довжину, отримаємо

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори. Сума векторів. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння визначати довжину вектора, що є сумою зображених на рисунку векторів.

Для розв’язання завдання необхідно вміти виконувати операцію додавання двох векторів, використовувати теорему Піфагора для знаходження невідомих елементів прямокутних трикутників.

Для визначення суми зображених на рисунку векторів скористаємося правилом паралелограма. Побудуємо паралелограм \(ABCD\), причому \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD}.\) Тоді сумою векторів \(\overrightarrow{a}\) і \(\overrightarrow{b}\) є вектор \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AC}\mathord{:}\) $$ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \text{або} $$ $$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} $$ (див. рисунок).

Оскільки за умовою вектори \(\overrightarrow{a}\) і \(\overrightarrow{b}\) перпендикулярні, то паралелограм \(ABCD\) є прямокутником, довжина вектора \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) дорівнює довжині гіпотенузи \(AC\) прямокутного трикутника \(ADC\) з катетами \(AD = 8\) та \(DC = 6\) (див. рисунок).

За теоремою Піфагора

Отже, довжина вектора \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) дорівнює \(10.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати систему рівнянь з двома змінними.

Запишемо задані рівності у вигляді системи: $$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt{x} + y = 5,\\ 2\sqrt{x} - y = 7. \end{array}\right. $$ Ця система є лінійною відносно \(\sqrt{x}\) та \(y.\)

Перший спосіб. Додамо почленно обидва рівняння системи: $$ \sqrt{x} + y + 2\sqrt{x} - y = 5 + 7. $$ Звівши подібні доданки, отримаємо рівняння \(3\sqrt{x} = 12\), або \(\sqrt{x} = 4.\) Підставивши у перше рівняння системи замість \(\sqrt{x}\), його значення \(4\), отримаємо \(4 + y = 5\), звідки \(y = 1.\)

Другий спосіб. З першого рівняння системи виразимо \(\sqrt{x}\) через \(y\mathord{:}\) \(\sqrt{x} = 5 - y\) і підставимо в друге рівняння замість \(\sqrt{x}\) значення \(5 - y.\) Отримаємо:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події. Ймовірність суми подій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події, використовуючи класичне означення ймовірності та формулу ймовірності суми несумісних подій.

Оскільки майстер обслуговує в певний момент часу лише один верстат, то ймовірності того, що в цей момент часу він обслуговує I, II або III верстат, дорівнюють \(0{,}2\), \(0{,}3\) і \(0{,}5\) відповідно.

Оскільки події \(A =\) «майстер обслуговує I верстат» і \(B =\) «майстер обслуговує III верстат» несумісні (тобто поява однієї з цих подій виключає появу другої), то ймовірність суми цих подій \(A + B =\) «майстер обслуговує I верстат або III верстат» дорівнює сумі ймовірностей подій \(A\) і \(B\), тобто

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати графік функції, заданої формулою.

Щоб розв’язати завдання, потрібно знати властивості показникової функції \(y = a^{x}\), яка визначена на всій дійсній осі, на всій області визначення зростає, якщо \(a \gt 1\), і спадає, якщо \(0 \lt a \lt 1\), не перетинає вісь \(x\), набуває лише додатних значень і перетинає вісь \(y\) у точці \((0; 1).\)

Зазначені властивості мають лише функції, графіки яких зображено на рисунках Б і Г. Показникова функція \(y = 2^{-x}\), або \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\), є спадною (більшому значенню \(x\) відповідає менше значення функції). Тому відповіддю є варіант Б.

Зазначимо, що відповідь можна отримати просто. Для цього обчислимо значення заданої функції, наприклад, в точці \(x = 1\mathord{:}\) $$ 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5. $$ Отже, точка \((1; 0{,}5)\), що міститься у першій координатній чверті, належить графіку шуканої функції. Із запропонованих варіантів лише у варіанті Б графік містить точку, що належить першій координатній чверті, тому відповіддю може бути лише варіант Б.

Відповідь: Б.