ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну раціональної функції, графік якої проходить через задану точку.

Нагадаємо, що функція \(F(x)\) називається первісною для функції \(f(x)\) на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-якого \(x \in (a; b)\) виконується рівність \(F'(x) = f(x).\)

Якщо \(F(x)\) – первісна для функції \(f(x)\), то для цієї функції існує безліч первісних і всі ці первісні мають вигляд \(F(x) + C\), де \(C \in R\) – довільна стала.

Правило знаходження первісних. Якщо \(F_{1}(x)\) – первісна для функції \(f_{1}(x)\), а \(F_{2}(x)\) – первісна для функції \(f_{2}(x)\), то \(F_{1}(x) + F_{2}(x)\) є первісною для \(f_{1}(x) + f_{2}(x).\)

У нашому випадку \(f_{1}(x) = 2x\), \(f_{2}(x) = 2\), тоді \(F_{1}(x) = x^{2}\), оскільки \((x^{2})' = 2x\), \(F_{2}(x) = 2x\), оскільки \((2x)' = 2.\)

Отже,

загальний вигляд первісної для функції $$ f(x) = 2x + 2, $$ де \(C\) – довільна стала.

Якщо графік первісної \(y = F(x)\) проходить через точку \((1; 4)\), то виконується умова \(4 = F(1).\) Підставивши у рівняння первісної $$ F(x) = x^{2} + 2x + C $$ значення \(x = 1\) і \(F(1) = 4\), отримаємо: $$ 4 = 1 + 2 + C, $$ звідки \(C = 1\). Отже, первісна функції \(y = 2x + 2\), що проходить через точку \((1; 4)\), має вигляд $$ F(x) = x^{2} + 2x + 1. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямокутний паралелепіпед. Розгортка прямокутного паралелепіпеда. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

Це завдання перевіряє вміння за розгорткою многогранника визначати його об’єм.

Основою прямокутного паралелепіпеда, розгортка якого зображена на рисунку, є прямокутник із сторонами \(3\ \text{см}\) і \(4\ \text{см}.\) Сума довжин бічного ребра паралелепіпеда і більшої сторони його основи дорівнює \(12\ \text{см}\), тому довжина бічного ребра дорівнює $$ 12 - 4 = 8\ \text{см}. $$ Отже, висота паралелепіпеда дорівнює \(8\ \text{см}.\)

Об’єм паралелепіпеда визначається за формулою: $$ V = abc, $$ де \(a, b, c\) – виміри прямокутного паралелепіпеда, тобто довжина і ширина його основи та висота. Тоді

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння перетворювати вирази, що містять тригонометричні функції.

Для розв’язання завдання потрібно знати основну тригонометричну тотожність: $$ \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1 $$ та формули синуса та косинуса подвійного кута: \begin{gather*} \sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha, \\[7pt] \cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha. \end{gather*}

Тоді $$ 1 - \cos^{2}\alpha = \sin^{2}\alpha. $$ Отже, 1 – Д.

$$ 2\sin\alpha \cos\alpha= \sin 2\alpha. $$ Отже, 2 – В.

$$ \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = \cos 2\alpha. $$ Отже, 3 – Б.

Перетворимо вираз 4:

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – В, 3 – Б, 4 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Основні властивості функцій: монотонність, парність та непарність, область значень.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

Щоб розв’язати це завдання, потрібно знати означення зростаючої (спадної) функції, парної та непарної функцій, області значень функції.

Функція \(y = f(x)\) називається зростаючою на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_{1} \in (a; b)\) і \(x_{2} \in (a; b)\) таких, що \(x_{1} \lt x_{2}\), виконується нерівність \(f(x_{1}) \lt f(x_{2})\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає більше значення функції.

Функція \(y = f(x)\) називається спадною на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_{1} \in (a; b)\) і \(x_{2} \in (a; b)\) таких, що \(x_{1} \lt x_{2}\), виконується нерівність \(f(x_{1}) \gt f(x_{2})\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає менше значення функції.

Функція \(y = f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x) = f(x).\)

Функція називається непарною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення виконується рівність \(f(-x) = -f(x).\)

Область визначення і парної, і непарної функції симетрична відносно точки \(x = 0.\) Графік парної функції симетричний відносно осі \(y\), а непарної – відносно початку координат.

Розглянемо кожну з функцій 1–4 окремо.

1. Функція \(y = x^{2}\) є парною: \((-x)^{2} = x^{2}\) для будь-якого дійсного \(x.\) Отже, 1 – Г.

Зазначимо, що графіком цієї функції є парабола з вершиною в точці \((0; 0)\), вітки якої напрямлені вгору і симетричної відносно осі ординат (див. рисунок).

Область значень: \(E(x^{2}) = [0; +\infty)\) (важливо не обрати замість Г варіант Д).

2. Функція \(y = x^{3} + 1\) визначена на всій дійсній осі й зростає на всій області визначення. Графік цієї функції можна отримати з графіка \(y = x^{3}\) шляхом перенесення останнього на одну одиницю вгору вздовж осі \(y.\) Оскільки функція \(y = x^{3}\) є зростаючою на проміжку \((-\infty; +\infty)\), то функція \(y = x^{3} + 1\) також є зростаючою на цьому проміжку, тобто на всій області визначення. Отже, 2 – А.

3. Графіком лінійної функції \(y = 3 - x\) є пряма (див. рисунок). Для побудови графіка достатньо встановити, що пряма проходить через точки \((0; 3)\) та \((3; 0).\)

З рисунка видно, що функція \(y=3-x\) є спадною на всій числовій прямій. Отже, 3 – Б.

4. Для будь-якого \(x \in (-\infty; +\infty)\) виконується рівність \(\sin(-x) = -\sin x.\) Отже, функція \(y = \sin x\) є непарною, тому 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Формули для обчислення площі трикутника. Теорема синусів. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач.

Дамо характеристику трикутникам, зображеним на рисунках 1–5.

А. Трикутник, у якого дві сторони рівні, є рівнобедреним. Оскільки кут між ними, тобто кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює \(60^\circ\), то кут при основі цього трикутника дорівнює $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ. $$ Отже, всі кути трикутника рівні, тому він є рівностороннім. А в рівносторонньому трикутнику центри описаного та вписаного кіл збігаються. Тому 1 – А.

Б. На цьому рисунку зображено прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють \(5\ \text{см}\). Гіпотенуза цього трикутника дорівнює \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Центр кола, описаного навколо цього трикутника, є серединою гіпотенузи. Тому діаметр описаного кола дорівнює довжині гіпотенузи, тобто \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Внутрішні кути дорівнюють \(45^\circ\), \(45^\circ\) та \(90^\circ\), а площа: $$ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\ \text{см}^2. $$ Отже, трикутник, зображений на рис. Б, не може бути відповіддю на жодне із запитань 1–4.

В. У прямокутному трикутнику, один з катетів якого удвічі менший за гіпотенузу, гострий кут, що є протилежним до меншого катета, дорівнює \(30^\circ.\) Оскільки катет трикутника дорівнює \(5\) см, а гіпотенуза \(10\) см, то гострий кут дорівнює \(30^\circ.\) Отже, 2 – В.

Г. У трикутнику задано два кути та одну сторону, тому можна скористатися теоремою синусів та наслідком з цієї теореми: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, $$ де \(R\) – радіус кола, описаного навколо трикутника із сторонами \(a\), \(b\), \(c\) та відповідними кутами \(\alpha\), \(\beta\) та \(\gamma.\)

Виконується рівність $$ \frac{10}{\sin 45^\circ} = 2R, $$ звідки отримуємо \begin{gather*} \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R,\\[6pt] 2R = 10\sqrt{2}. \end{gather*} Отже, діаметр кола, описаного навколо трикутника, зображеного на рис. Г дорівнює \(10\sqrt{2}\). Тому 4 – Г.

Д. Неохопленим залишилося лише запитання 3, якому може відповідати лише рисунок Д. Покажемо, що площа трикутника, зображеного на рис. Д, дорівнює \(10\ \text{см}^2.\) Висота цього трикутника ділить трикутник на два прямокутні трикутники з катетами \(2\ \text{см}\) і \(3\ \text{см}\) та \(2\ \text{см}\) і \(7\ \text{см}.\) Сума площ цих трикутників становить площу заданого трикутника і дорівнює

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі. Формула для обчислення відстані між двома точками.

Це завдання перевіряє розуміння декартової системи координат у просторі, а також уміння визначати відстань від заданої точки до геометричних об’єктів (точки, прямої та площини).

Нагадаємо, що відстань \(d\) між точками \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) та \(M_2(x_2; y_2; z_2)\) можна обчислити за формулою:

1. Відстань від точки \(M(1; -4; 8)\) до площини \(xy\) дорівнює відстані від точки \(M\) до її проєкції на цю площину, тобто до точки \((1; -4; 0)\). Ця відстань дорівнює \(8.\) Отже, 1 – Г.

У загальному випадку відстань від точки \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) до площини \(xy\) дорівнює \(|z_1|\), до площини \(xz\) — \(|y_1|\), до площини \(yz\) — \(|x_1|\).

2. Відстань від точки \(M\) до початку координат – це відстань від проекції точки \(M\) до точки \((0; 0; 0)\) і дорівнює

Отже, 2 – Д.

3. Відстань від точки \(M\) до осі \(z\) – це відстань від проєкції точки \(M\) на площину \(xy\) до початку координат, тобто точки \((0; 0; 0)\). Отже, шуканa відстань – це відстань між точками \((1; -4; 0)\) та \((0; 0; 0)\) і дорівнює

Отже, 3 – В.

4. Відстань від точки \(M\) до точки \(N(1; 0; 8)\) дорівнює

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – В, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

1. Позначимо через \(x\) швидкість пішохода, тоді \(x + 12\) – швидкість велосипедиста. Оскільки відстань між двома містами велосипедист долає за \(2\ \text{год}\), а пішохід – за \(6\ \text{год}\), то виконується рівність $$ 2(x + 12) = 6x, $$ звідси отримуємо \begin{gather*} x + 12 = 3x,\\[7pt] x = 6\ \text{ км/год}. \end{gather*} Тоді відстань між містами становить $$ 6 \cdot 6 = 36\ \text{км}. $$

2. Оскільки швидкість пішохода дорівнює \(6\ \text{км/год}\), а швидкість велосипедиста на \(12\ \text{км/год}\) більша, тобто дорівнює \(18\ \text{км/год}\), то за одну годину пішохід подолає \(6\ \text{км}\), а велосипедист – \(18\ \text{км}\). Тому через одну годину відстань між ними зменшиться на $$ 6 + 18 = 24\ \text{км}. $$ Щоб визначити через скільки годин після початку руху вони зустрінуться, потрібно відстань між містами, а вона дорівнює \(36\ \text{км}\), розділити на \(24\ \text{км}\). Отримаємо $$ 36 : 24 = 1{,}5\ \text{год}. $$

Відповідь: 1. \(36.\)
                   2. \(1{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Ромб та його властивості. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, вписане в ромб. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжини відрізків, які є складовими рівностороннього та прямокутного трикутників.

З умови випливає, що сторона ромба дорівнює \(48 : 4 = 12\ \text{см}.\)

1. Проведемо діагональ \(BD\) і розглянемо трикутник \(ABD\) (див. рисунок).

Оскільки \(AB = AD\) і \(\angle A = 60^\circ\), то цей трикутник є рівностороннім. Тоді $$ BD = AB = AD = 12\ \text{см}. $$ Проведемо радіуси \(OK\) та \(OM\) і розглянемо трикутники \(OKB\) та \(OMD\). Оскільки \(OK\ \perp\ AB\) і \(OM\ \perp\ AD\) (дотична до кола перпендикулярна до радіуса, який сполучає центр кола з точкою дотику), \(OK = OM\) (як радіуси вписаного кола). \(\angle ABD = \angle ADB = 60^\circ\), то ці прямокутні трикутники рівні (за стороною та двома кутами). Тому $$ OB = OD = \frac{1}{2}BD = 6\ \text{см}. $$

2. Доведемо спочатку, що трикутник \(AKM\) є рівностороннім. З рівності трикутників \(OKB\) та \(OMD\) випливає, що \(KB = MD.\) Оскільки \(AB = AD\) i \(AK+KB=AB\), \(AM+MD=AD\), то \(AK=AM\). Оскільки \(\angle A = 60^\circ\), то трикутник \(AKM\) є рівностороннім. У прямокутному трикутнику \(OKB\) \(\angle KBO = 60^\circ\), тоді \(\angle KOB = 30^\circ.\) Отже, катет \(KB\) удвічі менший за гіпотенузу \(OB\mathord{:}\) $$ KB = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\ \text{см}. $$ Тоді

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(9.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати практичні задачі на арифметичну прогресію.

Оскільки вартість підійому меблів на кожен наступний поверх перевищує вартість підійому на попередній на одну й ту саму величину, тоді й повна вартість підійому меблів на кожен наступний поверх перевищує повну вартість їх підйому на попередній на одну й ту саму величину, тобто утворює арифметичну прогресію. Позначимо через \(a_n\) повну вартість підійому меблів на \(n\text{-й}\) поверх. За умовою \(a_4 = 142\ \text{грн}\), \(a_7 = 154\ \text{грн}\). Потрібно визначити \(a_{11}.\)

Оскільки $$ a_n = a_1 + d(n-1), $$ де \(d\) – різниця арифметичної прогресії, то \begin{gather*} a_1 + 3d = 142,\\[7pt] a_1 + 6d = 154. \end{gather*} Звідси отримуємо \begin{gather*} 3d = 154 - 142 = 12,\\[7pt] d = 4. \end{gather*} Тоді

Відповідь: \(170.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Перший спосіб. Оскільки $$ \lg \frac{4}{2x - 3} = \lg 4 - \lg (2x - 3), $$ то перепишемо нерівність у вигляді \begin{gather*} \lg 4 - \lg (2x - 3) \ge 0,\ \text{або}\\[7pt] \lg (2x - 3) \le \lg 4. \end{gather*} Ураховуючи, що логарифмічна функція \(y = \lg x\) (тут основа дорівнює \(10 \gt 1\)) є зростаючою, то задана нерівність рівносильна системі нерівностей $$ \left\{\begin{array}{l} 2x - 3 \le 4,\\ 2x-3\gt 0, \end{array}\right. $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x \le 7,\\ 2x \gt 3, \end{array}\right.\\[7pt] x \in (1{,}5; 3{,}5]. \end{gather*} Отже, найбільший розв’язок цієї нерівності – це число \(x = 3{,}5.\)

Другий спосіб. Ураховуючи, що \(0 = \lg 1\), перепишемо нерівність у вигляді $$ \lg \frac{4}{2x - 3} \ge \lg 1, $$ після чого переходимо до рівносильної нерівності

звідки \(x \in (1{,}5; 3{,}5].\)

Відповідь: \(3{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних числових виразів.

Щоб розв’язати завдання, потрібно знати формулу скороченого множення: $$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, $$ а також властивості коренів, зокрема \begin{gather*} \sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab},\\[7pt] (\sqrt{a})^2 = a. \end{gather*}

Спростимо заданий вираз. Спочатку врахуємо, що $$ \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}. $$ Тоді

Отже,

Відповідь: \(-83.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання. Комбінації тіл.

Це завдання перевіряє вміння визначати твірну конуса за заданими його об’ємом та радіусом його основи.

Для розв’язання завдання потрібно знати властивості рівнобедреного трикутника, означення та властивості конуса, формулу об’єму конуса, теорему Піфагора.

Нехай \(ABC\) – рівнобедрений трикутник, у якому \(AB = CB\) (див. рисунок).

Висота \(BO\) є одночасно його медіаною та бісектрисою. Результатом обертання трикутника \(ABC\) навколо висоти \(BO\) (або прямокутного трикутника \(ABO\) навколо катета \(BO\)) є конус з висотою \(BO\) та радіусом основи \(AO.\) Трикутник \(ABC\) – осьовий переріз конуса. Бічна сторона трикутника \(ABC\) – твірна конуса.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника \(ABO\) виконується рівність $$ AB^{2} = AO^{2} + BO^{2}. $$ Оскільки точка \(O\) є серединою відрізка \(AC\), то $$ AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\ \text{см}. $$

Для визначення висоти конуса запишемо формулу об’єму конуса: $$ V = \frac{1}{3}\pi AO^{2} \cdot BO. $$ Оскільки \(AO = 8\ \text{см}\), а \(V = 320\pi\ \text{см}^3\), то \begin{gather*} 320\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^{2} \cdot BO,\\[6pt] 320\cdot 3=64\cdot BO,\\[6pt] BO = \frac{320 \cdot 3}{64} = 5\cdot 3=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, $$ AB^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289, $$ звідси $$ AB = \sqrt{289} = 17\ \text{см}. $$

Відповідь: \(17.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити значення функції в точці за її графіком.

Щоб знайти значення функції \(y=f(x)\) в точці \(x=2\), потрібно через точку \(2\) на осі \(x\) провести пряму, паралельну осі \(y\), до перетину з графіком, після чого опустити перпендикуляр на вісь \(y\) (див. рисунок).

Отримана точка \(5\) і буде значенням функції в точці \(x=2.\) Отже, \(f(2)=5.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Арифметичні дії.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з буквеними виразами.

Якщо перед дужками стоїть знак «–», то дужки можна прибрати, змінивши знаки всіх доданків, що стоять у дужках, на протилежні:

Зведемо подібні доданки:

Остаточно отримаємо:

Відповідь: A.