Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рацiональнi, iррацiональнi, степеневі, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Спростимо вираз за допомогою формул скороченого множення:

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму циліндра.

Об'єм циліндра обчислюємо за формулою

\begin{gather*} V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H=S_\text{основи}\cdot H;\\[6pt] H=\frac VS. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

Кількість відвідувачів менше ніж \(170\) була на І та ІІ сеансі. Отже, кількість відвідувачів не менше ніж \(170\) осіб було на ІІІ, IV, V, VI сеансах.

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо показникову нерівність:

\(2^{4x-5}\ge 2.\) Функція \(y=2^x\) – зростає, отже,

\begin{gather*} 2^{4x-5}\ge 2^1,\\[7pt] 4x-5\ge 1,\\[7pt] 4x\ge 6,\\[7pt] x\ge 1\mathord{,}5. \end{gather*}

\(x\in [1\mathord{,}5; +\infty).\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

За \(220\) грн можна купити шоколадок по \(35\) грн: $$ 220:35=6\frac{10}{35}. $$

Отже, \(6\) шоколадок зможе купити покупець маючи \(220\) грн і матиме решту \(10\) грн.

За кожні \(3\) шоколадки супермаркет надає одну безкоштовно.

\(6:3=2\) (рази).

Отже, \(2\) рази можна скористатися акцією і отримати \(+2\) шоколадки. Тоді

\(6+2=8\) шоколадок отримає покупець.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів, властивості прямокутника.

\(AK\) – бісектриса \(\angle A\), отже, \(\angle BAK=\angle KAD=45^\circ.\)

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

\begin{gather*} x^2\lt 9,\\[7pt] x^2-9\lt 0,\\[7pt] (x-3)(x+3)\lt 9. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів:

\(x=3\), \(x=-3\) – нулі функції

З наведених чисел лише число \(-2\in (-3; 3).\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лiнiйнi, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмiчнi та триroнометричнi функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

Графік функції перетинає вісь \(y\) в одній точці \(Д\ (0; 4).\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння та нерівності. Показникова функція.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати дробно-раціональні нерівності, показникові нерівності, а також їхні системи; розв'язувати нерівності та системи з параметрами; користуватися графічним методом розв'язування і дослідження рівнянь, нерівнстей та їхні системи.

1. Розв'яжемо першу нерівність методом інтервалів: $$ \frac{x+1}{x-2}\ge 0. $$

$$ x\in (\infty; -1]\cup (2; +\infty). $$

2. Розв'яжемо другу нерівність графічно. Спростимо вираз:

\begin{gather*} 2\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+\cos(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+x=\\[7pt] =2\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+\cos^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})-\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+x=\\[7pt] =\sin^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+\cos^2(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})+x=1+x\\[6pt] \left(\frac 12\right)^{x+1}\gt a. \end{gather*}

Побудуємо графік функції \(y=\left(\frac 12\right)^{x+1}\) за допомогою елементарних перетворень.

\(y=\left(\frac 12\right)^x\) перенесено вліво на \(1\) одиницю. Отримаємо графік функції \(y=\left(\frac 12\right)^{x+1}.\)

1) При \(a\in (-\infty; 0]\ x\in R.\)

2) При \(a\in (0; +\infty)\) \begin{gather*} y=\left(\frac 12\right)^{x+1}\gt a,\ \ \frac 12\cdot \left(\frac 12\right)^x\gt a,\\[6pt] \left(\frac 12\right)\gt 2a,\ \ \left(\frac 12\right)^x\gt \left(\frac 12\right)^{\log_{\frac 12}(2a)} \end{gather*} функція \(y=\left(\frac 12\right)^{x+1}\) спадна, тому
\(x\lt\log_{\frac 12}(2a)\), \(x\lt -\log_2(2a).\)

Відповідь: при \(a\in (-\infty; 0] x\in R.\)
при \(a\in (0; +\infty]\), \(x\in (-\infty; -\log_2(2a)).\)

3. Розв'яжемо систему нерівностей:

При \(a\in (-\infty; 0]\), \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty).\)

При \(a\in \left(0; \frac 18\right)\), \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; -\log_2(2a)).\)

При \(a\in \left[\frac 18; \right)\), \(x\in (-\infty; -1].\)

При \(a\in [1; +\infty)\), \(x\in (-\infty; -\log_2(2a)).\)

Відповідь: 1. \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty).\)
                   2. \(x\in R\), якщо \(a\in (-\infty; 0]\);
                   \(x\in (-\infty; -\log_2(2a))\), якщо \(a\in (0; +\infty).\)
                   3. \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; +\infty)\), якщо \(a\in (-\infty; 0]\);
                   \(x\in (-\infty; -1]\cup (2; -\log_2(2a))\), якщо \(a\in \left(0; \frac 18\right)\);
                   \(x\in (-\infty; -1]\), якщо \(a\in \left[\frac 18; 1\right)\);
                   \(x\in (-\infty; -\log_2(2a))\), якщо \(a\in [1; +\infty).\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла й поверхні обертання. Прямі й площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння будувати перерізи тіл обертання, застосовувати властивості циліндра до розв'язування стереометричних задач; ознаки паралельності прямої та площини.

\(AB=c\), \(\angle AO_1B=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), \(OO_1\) – вісь циліндра.

1. Побудуємо твірні \(AD\), \(BC.\)
Твірні \(AD\) та \(BC\) – перпендикулярні основам циліндра. \(AD\ \perp\ AB\), \(BC\ \perp\ AB.\) Прямокутник \(ABCD\) – переріз циліндра площиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\) \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ ||\ OO_1:\)
\(\left.\begin{array}{l} OO_1\ ||\ AD,\\ AD \in \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}, \end{array}\right| \rightarrow OO_1\ ||\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)
(за ознакою паралельності прямої та площини).

2. Проведемо \(OK\ \perp AB.\) \(OK\ \perp\ OO_1\), \(OO_1\ ||\ AD\rightarrow OK\perp\ AD.\)

Отримали, що \(OK\) перпендикулярна двом прямим, що перетинаються з площини \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ (AB\cap AD)\), тому \(OK\ \perp \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

Отже, \(OK=d\) – відстань від \(OO_1\) до \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\) (Відстань від прямої до площини – це довжина перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки прямої до площини).

3. \(\Delta AOB\) – рiвнобедренний (\(OA=OB\) як радіуси). \(OK\) – висота та медіана.
\(AK=KB=\frac 12AB=\frac{c}{12}.\)

\(\Delta AO_1B\) – рівнобедренний. \(O_1A=O_1B\) (\(OA=OB\) як радіуси, рівним проекціям відповідають рівні похилі). \(O_1K\) – висота (\(OK\ \perp\ AB\), \(O_1K\ \perp AB\) за теоремою про три перпендикуляри). \(O_1K\) – бісектриса (за властивістю рівнобедренного трикутника).

\(\angle AO_1K=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.\)

У \(\Delta AO_1K\ (\angle K=90^\circ)\ O_1K\ \mathrm{ctg}\ \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}=\frac c2\mathrm{ctg}\ \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}.\)

У \(\Delta OO_1K\ (\angle O=90^\circ)\ OO_1^2=O_1K^2-OK^2\) (за теоремою Піфагора)

$$ OO_1=\sqrt{\frac{c^2}{4}\mathrm{ctg}^2\ \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-d^2}. $$

Площа переріза \(ADCB\) (прямокутника)

$$ S=AB\cdot AD=c\sqrt{\frac{c^2}{4}\mathrm{ctg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-d^2}=\frac c2\sqrt{c^2\mathrm{ctg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-4d^2}. $$

Відповідь: \(S=\frac c2\sqrt{c^2\mathrm{ctg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{2}-4d^2}.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степеневі функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, знаходити похідні елементарних функцій, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції.

1-2. \(f(x)=\frac 2x\) – обернена пропорційність, графік – гіпербола.

Обчислимо кілька значень функції та побудуємо графік.

\(g(x)=5-8x\) – лінійна функція, графіком якої є пряма. Побудувати пряму можна за двома точками.

Якщо \(x=0\), то \(g(0)=5-8\cdot 0=5.\)

Перша точка: \((0; 5).\)

Якщо \(x=1\), то \(g(0)=5-8\cdot 1=-3.\)

Друга точка: \((1; -3).\)

Позначимо ці точки на координатній площині та проведемо через них пряму.

3. \(f(x)=2x^{-1}\), \(f'(x)=2\cdot (-1)x^{-2}\),
\(f'(x)=-\frac{2}{x^2}.\)

4. Оскільки дотична паралельна прямій \(g(x)=5-8x\), то їхні кутові коефіцієнти рівні, і дорівнюють \(-8.\) Отже, значення похідної в точці дотику дорівнює \(-8.\) Маємо рівняння: \(-\frac{2}{x^2}=-8\), \(x^2=\frac{-2}{-8}=0\mathord{,}25.\)
Тоді, \(x=0\mathord{,}5\) та \(x=-0\mathord{,}5.\)

Відповідь: 3. \(f'(x)=-\frac{2}{x^2}.\)
                   4. \(x=0\mathord{,}5;\ x=-0\mathord{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, прямокутну систему координат; уміння застосовувати координати до розв'язування планіметричних задач.

Рівняння кола зведемо до стандартного вигляду: \begin{gather*} (x+3)^2+y^2-4y=21,\\[7pt] (x+3)^2+y^2-4y+4=25,\\[7pt] (x+3)^2+(y-2)^2=25. \end{gather*}

Коло з центром у точці \(A(-3; 2)\) та радіусом \(5.\ 3AC=BC.\)

\(AC\ ||\ Oy\), тому \(x_c=-3\).
\(AC=5\), \(y_c=7.\) Отже, \(C(-3; 7).\)

\(\Delta ACB,\) \(\angle C=90^\circ\), \(BC\ ||\ Ox\), \(BC=3AC=15.\)
Отже, \(x_\text{в}=12\), \(y_\text{в}=7.\)
\(B(12; 7)\), \(12+7=19.\)

Відповідь: \(19.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики. Перестановки. Комбінаторні правила добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру; знання комбінаторного правила добутку.

Солісті – \(4\), гурти – \(3.\)

Варіантів скласти послідовності виступів солістів \(4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.\)

Варіантів скласти послідовність гуртів \(3!=1\cdot 2\cdot 3=6.\)

За комбінаторним правилом добутку знаходимо кількість варіантів виступів:
\(24\cdot 6=144.\)

Відповідь: \(144.\)